§1. Операции над множествами и их свойства.
Основные определения.
Множество есть
набор любых объектов. Объекты, из которых
множество состоит, называются элементами
множества. Для каждого множества
указывают его имя (обозначение):
.
Синонимы слова «множество»:
совокупность,
класс, система, мешок.
Если
является элементом множества, то это
записывается так:
(читается:
принадлежит множеству
).
Если
не является элементом множества
,
то это записывается так:
(читается:
не принадлежит множеству
).
Множество, не содержащее ни одного
элемента, называется пустым
множеством и обозначается символом
.
В традиционных курсах математики для технических университетов множества обычно изучают, опираясь на интуицию и здравый смысл.
Множество, состоящее
из конечного числа элементов, называется
конечным множеством. Множество, не
являющееся конечным, называется
бесконечным множеством. Множества
и
называются равными, если они состоят
из одних и тех же элементов. Обозначение:
.
Для задания (описания) множеств чаще всего используются два способа.
Способ 1. Явное перечисление всех элементов множества.
.
В фигурных скобках перечисляются через запятую все элементы множества . Элементы в списке не должны повторяться. Этот способ удобен для описания (задания) конечных множеств с небольшим числом элементов.
Пример 1.1.
.
Видно, что
,
,
,
.
Способ 2. Указание
свойства
,
которым обладают все
элементы множества.
.
Читается так: множество состоит из всех элементов , которые обладает свойством (свойство указывается после вертикальной черты). Этот способ удобен для описания (задания) конечных множеств с большим числом элементов или бесконечных множеств.
Пример 1.2.
.
Перейти от второго способа задания
множества к первому способу задания
этого же множества.
Решение.
Ясно, что
(см.
пример 1.1).
1.2. Операции над множествами.
Операция 1
(
).
Включение множеств.
множество
содержится
в множестве
множество
часть
множества
все элементы множества
являются элементами множества
.
Считается, что
.
Ясно, что
.
Видно также, что верно утверждение:
.
Если
,
то говорят, что множество
является подмножеством
множества
.
Операция 2
(
.
Объединение (сумма) двух множеств .
объединение или
сумма
множеств
и
.
Другими словами,
объединением
или суммой
множеств
и
называется такое множество
,
элементами которого являются те и только
те элементы, которые принадлежат хотя
бы одному из множеств
или
(рис.1.2).
Ясно, что
.
Операция 3(
.
Пересечение (произведение ) двух множеств
.
пересечение или
произведение
множеств
и
(точка обычно опускается).
Другими словами,
пересечением
или произведением
множеств
и
называется такое множество
,
элементами которого являются те и только
те элементы, которые принадлежат
одновременно обоим этим множествам.
Говорят также, что
это
общая часть
множеств
и
(рис.1.1).
Ясно, что
.
Операция 4 (
).
Разность двух множеств.
разность
множеств
и
.
Другими словами,
разностью
множеств
и
является множество
элементами которого
являются те и только те элементы, которые
одновременно являются элементами
множества
и не являются элементами множества
(рис.1.1).
Говорят также, что множество
получается из
множества
удалением
всех элементов, попадающих в множество
.
Ясно, что
.
Операция 5(черта сверху). Дополнение множеств.
Предположим, что
все
изучаемые нами множества содержатся в
одном множестве
.
Будем называть множество
универсальным
множеством.
Такая ситуация возникает в теории
вероятностей. Итак, пусть
.
дополнение
к множеству
(в
)
(рис.1.2).
Видно, что верны
утверждения:
,
;
если
,
то
,
т.е.
;
,
;
,
.
Операция 6
.
Объединение (сумма)
множеств.
,
,
,
……………………………………………………………
.
Такое определение возможно из-за двух обстоятельств:
1)объединение (сумма) двух множеств уже определена;
2) объединение (сумма) двух множеств обладает свойством ассоциативности (см. свойства операций над множествами).
Другими словами,
объединением
или суммой
множеств
целое,
называется такое множество
,
элементами которого являются те и только
те элементы, которые принадлежат
хотя бы одному
из множеств
целое.
Естественно
считать, что
.
Операция 7
.
Пересечение (произведение)
множеств .
,
,
,
……………………………………………………………
.
Такое определение возможно из-за двух обстоятельств:
1)пересечение (произведение) двух множеств уже определено;
2) пересечение (произведение) двух множеств обладает свойством ассоциативности (см. свойства операций над множествами).
Другими словами,
произведением
множеств
целое,
называется такое множество
,
элементами которого являются те и только
те элементы, которые принадлежат
всем
множествам
целое.
Естественно
считать, что
.
Операция 8 (
,
для двух множеств). Пусть
и
непустые множества. Множество всех
упорядоченных пар двух объектов, где
первый объект берется из множества
,
а второй объект берется из множества
,
называется прямым
произведением множеств
и
.
Обозначение:
прямое произведение двух множеств
и
.
Видно, что
.
Операция 9 (
,
для
множеств). Пусть
непустые множества,
.
Множество всех упорядоченных наборов
объектов, где первый объект берется из
множества
,
второй объект берется из множества
,
ый
объект берется из множества
,
называется прямым
произведением множеств
Обозначение:
прямое произведение
множеств
Видно, что
.
Рис. 1.1. Геометрическая интерпретация операций 3,4 с множествами.
Пример 1.3. Пусть даны два множества:
и
.
Найти множества:
,
,
,
.
Решение.
Ясно, что
– это множество целых решений неравенства
,
а
–
множество целых решений уравнения
.
Неравенство и уравнение легко решаются.
Это позволяет перейти от второго способа
описания множеств
и
к первому способу:
,
После этого легко находятся множества , , , , если применить определения соответствующих операций:
,
,
.