Свойства нормального вектора ( ).

1. Распределения компонент нормального вектора нормальны, причем , .

2. , .

3. и независимы.

То есть для нормальных CB некоррелируемость эквивалентна независимости.

4. Если – нормальный случайный вектор, то распределение случайной величины нормальное (или вырожденное) для произвольного . (Обратное утверждение тоже верно: если для произвольного постоянного вектора распределение случайной величины нормальное (или вырожденное), то – нормальный случайный вектор.)

5. Условные плотности распределения и – нормальны.

6. (Теорема о нормальной корреляции) Если двумерная СВ X распределена по нормальному закону, то и связаны линейной корреляционной зависимостью:

, ;

, .

Задача 3. Пусть дан нормальный случайный вектор с параметрами

, , , , . Найдите закон распределения .

Решение. Согласно свойству 5, распределение нормально. Найдем параметры, используя свойства математического ожидания и дисперсии.

.

Выпишем плотность: .

Занятие 5. Центральная предельная теорема и збч.

Теорема 1 (неравенства Чебышева). Для любого имеют место неравенства:

Доказательство.

Второе неравенство получается из первого подстановкой вместо :

Следствие.

Теорема 2 (закон больших чисел Чебышева). Пусть - независимые случайные величины и существует такая константа , что все ,

Тогда при любом

Доказательство. Если , то

. Следовательно,

Теорема 3 (ЦПТ). Если случайные величины - независимы, одинаково распределены и имеют конечные то

Задача 1. Имеется 100 квадратов, сторона которых может принимать значения 0.5 или 1 с вероятностями 0.3 и 0.7 соответственно. С какой вероятностью суммарная площадь всех квадратов будет в пределах от 750 до 805?

Решение. Рассмотрим независимые случайные величины , распределенные по закону: , .

Тогда имеет смысл суммарной площади. Воспользуемся ЦПТ:

Задача 2. Театр на 1000 зрительских мест имеет два входа. Около каждого входа имеется свой гардероб. Предполагается, что зрители приходят в театр парами и с вероятностью 0,7 выбирают первый вход. Сколько мест должно быть в гардеробе у второго входа, чтобы в 95 случаях из 100 зрители, вошедшие через этот вход, могли сдать верхнюю одежду в ближайший гардероб?

Решение. Рассмотрим независимые случайные величины , распределенные по закону: , .

Тогда нужно найти такое , что .

Воспользуемся ЦПТ:

Задача 3. Урожайность куста картофеля равна 0 кг с вероятностью 0,1, 1 кг с вероятностью 0,2, 1,5 кг с вероятностью 0,2, 2 кг с вероятностью 0,3 и 2,5 кг с вероятностью 0,2. Какое наименьшее число клубней надо посадить, чтобы с вероятностью не менее 0,975 урожай был не менее 1 тонны?

Решение. Рассмотрим независимые случайные величины , распределенные по закону: , , , ,

Тогда нужно найти такое , что .

Воспользуемся ЦПТ:

Задача 4. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит в город на поезде, который ходит раз в сутки. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще, чем 1 раз в 100 дней?

Решение. Рассмотрим независимые случайные величины , распределенные по закону: , ,

Тогда нужно найти такое , что .

Воспользуемся ЦПТ:

Задача 5. Вероятность некоторого события равна . Производится независимых опытов. Каково срединное отклонение числа появлений события от математического ожидания этого числа?

Решение. Пусть , тогда , . Используем теорему 3 и правило трех сигм:

Ответ.

Задача №1 (ДЗ№4).Первоначальная обработка статистических данных.

Определение 1. Все значения, которые может принимать случайная величина , называют выборочным пространством, или генеральной совокупностью.

Выборкой объема называют возможных значений случайной величины:

- реализация выборки.

Определение 2. Статистикой, называется любая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения.

Примеры. 1) - выборочное среднее

(или - для статистического ряда)

2) – выборочная дисперсия

- для статистического ряда

Определение 3. Если выборку упорядочить в порядке возрастания, то получим вариационный ряд: ; при этом - -ая порядковая статистика

3) - статистика (функция от выборки)

Рассмотрим вариационный ряд , построенный по выборке

из распределения

Теорема 1. Если независимая выборка взята из генеральной совокупности с функцией распределения , то функции распределения крайних членов вариационного ряда и их совместная функция распределения имеют вид:

Доказательство. По определению функции распределения и в силу независимости выборки получаем:

.

Аналогично,

Далее, в предположении находим, что

Определение 4. Выборочной функцией распределения называется

, , ,

То есть , если ровно наблюденных значений меньше .

- статистика (при каждом ), то есть функция от выборки

Пример. Рассмотрим выборку: 1,3,4,6,3,1,7,2,3,7

Строим статистический ряд и находим эмпирическую функцию распределения:

	1	2	3	4	6	7
Относительные частоты
Относительные накопленные частоты

Теорема 2. Если взята выборка объема из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения то дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет вид:

,

Доказательство. При каждом индикаторы – независимые случайные величины с законом распределения:

Следовательно, –распределена по закону Бернулли, то есть

.

Задача 1. Первоначальная обработка статистических данных

По данной выборке

1. Найдите крайние члены вариационного ряда и размах выборки

2. Осуществите группировку данных (количество интервалов находим по правилу Стерджеса)

3. По сгруппированным данным постройте гистограмму относительных частот

4. Найдите эмпирическую функцию распределения и постройте ее график

5. Вычислите выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Пример выполнения задания в среде MATHCAD и оформления работы в прилагаемом файле.