Занятие 4. Зависимые случайные величины. Числовые характеристики случайных векторов.

1. Вектор математических ожиданий

2. Матрица ковариаций

Примеры.

1)Нормально распределенный вектор,

2)равномерное распределение в области.

Свойства Математического ожидания и дисперсии.

1. .

2. .

3. .

4. , если независимы.

5. 

частности

,

.

6. .

7. .

8. 

З адача 1. Рассмотрим систему непрерывных случайных величин , равномерно распределенную в области , ограниченной линиями , и . Найти 1) совместную плотность распределения , 2) маргинальные плотности компонент и , 3) коэффициент корреляции , 4) условные плотности и , 5) условные математические ожидания и , 6) построить графики линий регрессии.

Решение. Изобразим область на координатной плоскости.

4. Совместная плотность системы случайных величин, равномерно распределенных в области , имеет вид

.

Найдем площадь области

Таким образом, .

5. Находим маргинальные плотности: ,

.

и приведены на рисунках.

6. Вычислим коэффициент корреляции: ,

,

,

,

=

= ,

.

7. Условной плотностью называется функция от переменной , равная отношению и определенная при дополнительном условии . Это условие выполнено при всех значениях параметра (см. график плотности ). При

условная плотность не определена. При допустимых значениях (см. область )

, то есть условное распределение будет равномерным на отрезке .

Аналогично определено только при значениях параметра 1). Получаем . Естественно, полученный закон распределения равномерный на отрезке .

8. Вычислим условное математическое ожидание . По определению .

Аналогично

.

9. Л иния регрессии на - это геометрическое место средних значений случайной величины при фиксированном значении случайной величины , то есть график . Соответственно, линия регрессии на - это геометрическое место средних значений случайной величины при фиксированном значении случайной величины , то есть график .

Графики линий регрессии приведены на рисунке.

Задача 2. Пусть и - случайные величины из задачи 1. Найти

1) , 2) .

Решение. Согласно свойствам математического ожидания .

По определению ковариации .

Согласно свойствам дисперсии = .

Гауссовский случайный вектор

Определение. Нормальным случайным вектором называется случайный вектор , имеющий плотность распределения вида

,

где – столбец переменных,

– координаты постоянного вектора , – невырожденная положительно определенная симметричная матрица.

Замечание. Выражение в показателе экспоненты представляет собой положительно определенную квадратичную форму от переменных.

Для плотность зависит от пяти параметров: , , , , .

Положительная определенность матрицы означает, что , ,

. Тогда , и плотность примет вид .

Вид графика функции показан на рисунке.