Практика ТВиМС (3 семестр) 2016-17

Занятие 1. Абсолютно непрерывные случайные величины и их характеристики. Функции от случайных величин.

Абсолютно непрерывная случайная величина принимает значения в подмножестве множества действительных чисел, и ее закон распределения задается плотностью вероятностей так, что вероятности

как интеграл от по множеству :

При этом от функции плотности требуется выполнение естественных свойств:

1. ,

2. .

Определение. Функцией распределения случайной величиной называют .

Свойства .

1. определена для всех значений , непрерывна слева и не убывает.

2. , причем , .

3. Функция распределения однозначно определяет закон распределения случайной величины и однозначно определяется законом распределения:

СВДТ
СВНТ

Определения числовых характеристик случайных величин для удобства дадим в виде таблицы.

	Математическое ожидание	Математическое ожидание функции от СВ	Дисперсия
СВДТ
СВНТ

Задача 1. Время ожидания у бензоколонки заправочной станции является случайной величиной , распределенной по показательному закону со средним временем ожидания . Найти вероятности следующих событий: .

Решение. Плотность распределения вероятностей для показательного закона имеет вид , где . Тогда

,

.

Задача 2. Случайная величина распределена по закону Симпсона в интервале (на рисунке ). Написать выражение для плотности , вычислить функцию распределения , математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение (с.к.о.) .

Решение. Выражение для плотности получим, выписывая уравнения прямых:

.

Вычисляем .

При

,

при ,

при ,

при .

То есть .

.

Задача 3. При стрельбе по плоской мишени расстояние от точки попадания до центра распределено по закону Рэлея с плотностью распределения , где

- параметр, характеризующий распределение. Построить эскиз графика и вычислить , и .

Ответ. , , .

Задача 4. Скорость молекул идеального газа, находящегося в равновесии при определенной температуре, является случайной величиной, распределенной по закону Максвелла с плотностью . Найти среднее значение и дисперсию .

Ответ. , .

Функции от случайных величин.

Теорема. Если случайная величина имеет плотность распределения , а , где монотонная дифференцируемая (на множестве значений ) функция, то плотность случайной величины может быть вычислена по формуле:

Задача 5. Найти закон распределения случайной величины , если случайная величина распределена по закону Парето с параметрами .

Решение. .

Согласно общей формуле для монотонно возрастающей

функции . Находим обратную функцию:

и ее производную . Пересчитываем плотность: .

То есть случайная величина распределена по показательному закону с параметром

Задача 6. Найти плотность распределения случайной величины , если .

Решение. Воспользуемся соотношением = . Выразим через . По определению = .

1. Если , то , а значит и =0.

2. Если , то

= .

=

,

поскольку . График функции приведен на рисунке.

Задача 7. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром . Найти плотности распределения случайных величин , , .

Ответ: , ,

.

Занятия 2-3.

Многомерные законы распределения. Функции от св.

Случайным вектором называют числовую вектор-функцию, определенную на таким образом, что все множества вида содержатся в .

Абсолютно непрерывные случайные вектора задаются функцией плотности вероятностей , удовлетворяющей стандартным требованиям неотрицательности и нормированности . Вероятность принятия случайным вектором значения во множестве при этом полагают равной .

Функцией распределения случайного вектора называется

, где .

Функция распределения случайного вектора может быть найдена с помощью плотности распределения: .

Функция распределения обладает следующими свойствами (для :

где и - функции распределения составляющих и соответственно. 4) – неубывающая функция по каждому из своих аргументов.

5) непрерывна слева по каждому из своих аргументов;

6) Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат может быть вычислена по формуле:

;

7) В точках непрерывности существует .

Совместный закон распределения однозначно определяет законы распределения компонент: , ,

где и плотности распределения составляющих и случайного вектора;

Математическим ожиданием или центром рассеивания случайного вектора называется неслучайный вектор .

Дисперсией случайного вектора называется неслучайный вектор .

Величина называется ковариацией СВ и .

Ковариацию также можно вычислить по формуле: .

Формулы для вычисления основных числовых характеристик:

Критерии независимости.

Теорема 1. Для того, чтобы СВ и были независимы, необходимо и достаточно, чтобы ФР системы была равна произведению ФР составляющих

.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием независимости двух непрерывных случайных величин, образующих систему является равенство

.

З адача 1. Система непрерывных случайных величин , равномерно распределена в области , ограниченной линиями , и . Найдите:

1) совместную плотность распределения ;

2) маргинальные плотности компонент и ; установить зависимость и ;

3) коэффициент корреляции .

Решение. Изобразим область на координатной плоскости.

1. Совместная плотность системы случайных величин, равномерно распределенных в области , имеет вид , где - площадь области Находим ее:

Таким образом, .

2. Находим маргинальные плотности: ,

.

и приведены на рисунках.

3. Вычислим коэффициент корреляции: ,

,

,

,

=

= ,

.

Задача 2. Найдите законы распределения компонент случайного вектора, равномерно распределенного в круге радиуса с центром в начале координат.

Решение. Плотность равномерно распределения в круге имеет вид:

.

Найдем плотности компонент: ,

аналогично .

Откуда , а также .

Вычислим , следовательно, .

Таким образом, и некоррелированы, но поскольку , то и зависимы.

Задача 2. Независимые СВ и имеют равномерное распределение на [0;1]. Найдите плотность распределения случайной величины .

Решение. Плотности распределения вероятностей и равны

. Пусть - плотность распределения суммы .

По формуле свертки получим:

Если , то отрезок лежит левее отрезка [0;1], поэтому

.

Если , то , поэтому

.

Если , то , поэтому

.

Если , то отрезок лежит правее отрезка [0;1], поэтому

.

В итоге получаем .

Распределение с плотностью называется треугольным распределением на отрезке [0;2] или распределением Симпсона.

Задача 3. Случайные величины и независимы и одинаково распределены по закону . Найдите плотность распределения вероятностей СВ .

Решение. Найдем сначала совместную плотность:

, так как независимы.

Далее, при вычисляем

= =

При .

Теперь находим . То есть Рэлея с параметром .

Задача 4. В классической модели идеального газа скорость молекулы рассматривают как нормально распределенный случайный вектор с одинаково распределенными независимыми компонентами . Найдите закон распределения абсолютной величины скорости .

Ответ. (закон Максвелла).

Задача 5. Случайный вектор распределен по закону, определяемому плотностью . Найти плотности распределения случайных величин , , , .

Р ешение. 1) Согласно общей закономерности Функция отлична от нуля только внутри треугольника, изображенного на рисунке. Следовательно, при

, а при остальных значениях . Получаем формулу .

Аналогично, .

2) Вычислим функцию распределения с.в. .

. Из рисунка видно, что дальнейшие вычисления зависят от значения .

Если , то полуплоскость не имеет общих точек с треугольником, и тогда .

Если , то вычисление сводится к интегрированию по треугольнику, ограниченному прямыми ,

и . Получаем

.

Для расставляем пределы по- другому:

.

П ри График функции приведен на рисунке.

Наконец, .

Задачи для самостоятельного решения.

1. Независимые СВ и имеют показательное распределение с параметром . Найдите плотность распределения случайной величины .

Ответ. .

2. Независимые случайные величины и имеют равномерное распределение на [0;3]. Найдите плотность распределения СВ .

Ответ. .

3. Независимые СВ и имеют плотности распределения соответственно и . Найдите .

Ответ. .

4. Независимые СВ и имеют показательное распределение с параметром . Найдите плотность распределения СВ .

Ответ. СВ имеет показательное распределение с параметром .