Методические указания

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий (испытанием). Всякий исход или результат испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие непременно должно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, -

невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из них не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т. е. 

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т. е. 0 Р(А)  1. Невозможному событию соответствует вероятность Р(А)=0, а достоверному – вероятность Р(А)=1.

Задача. Среди 1000 новорождённых оказалось 512 мальчиков. Найти вероятность

рождения девочки.

Решение:

m – число родившихся девочек

m==488

n – число всех новорождённых (n=1000)

Событие А – родилась девочка.

 или Р(А)=48,8%

Ответ: Р(А)=48,8%.

Задача. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 чёрных шара, вынимают один шар.

Найти вероятность того, что шар окажется чёрным.

Решение. Событие А – появление чёрного шара. Общее число случаев n=5+3=8. Число случаев, благоприятствующих появлению события А, равно 3. Получим

 или Р(А)=37,5%

Ответ: Р(А)=37,5%.

Теорема сложения несовместных вероятностей событий.

Вероятность одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Пример. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причём пять из них стандартные. Рабочий берёт наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной (событие А).

Решение:

1)  По крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдёт любое из трёх несовместных событий: В – одна деталь стандартная, две нестандартные; С – две детали стандартные, одна нестандартная и Д – три детали стандартные.

Событие А можно представить в виде суммы этих трёх событий: А=В+С+Д.

Р(А)=Р(А)+Р(С)+Р(Д). Находим вероятность каждого из этих событий:

2) Событие А (хотя бы одна из трёх взятых деталей оказалась стандартной) и   (ни одна из взятых деталей не оказалась стандартной) являются противоположными; поэтому Р(А)+Р( )=1 Р(А)=1-Р( ).

 тогда

или Р(А) 6,01%.

Ответ: Р(А) 60,1%.

Теорема сложения вероятностей совместных

событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Задача. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется

кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Решение:

Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратное 3, а В – в том, что оно кратно 5. Найдём Р(А+В). Т. к. АиВ – совместные события, то

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Всего 90 двузначных чисел: 10; 11;…; 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события А); 18 кратными 5 (благоприятствуют наступлению события В) и 6 – кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события АВ).

     т. е.

 или 

Ответ: