Интегрирование тригонометрических выражений
Рассмотрим интеграл следующего вида:
.
Если
(нечетное), тогда полагают:
и делают замену
;
Если
(нечетное), тогда полагают:
и делают замену
;
Если
и
- четные, то преобразуют с помощью
формул:
,
,
;
Если и - целые отрицательные числа одинаковой четности (
,
),
тогда полагают:
и делают
замену
.
Интегралы вида:
,
,
,
вычисляются при помощи формул:
;
;
.
При интегрировании тригонометрических
выражений также применяют универсальную
подстановку
.
Іv. Дифференциальные уравнения
4.1. Основные понятия
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.
В общем случае дифференциальное уравнение можно записывать в виде:
(4.1)
при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.
Решением
дифференциального уравнения (4.1)
называется такая функция
,
которая при подстановке ее в это уравнение
обращает его в тождество.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общим решением дифференциального уравнения (4.1) -го порядка называется такое его решение:
(4.2)
которое является
функцией переменной
и
произвольных независимых постоянных
.
(Независимость постоянных означает
отсутствие каких-либо соотношений между
ними).
Частным решение дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .
К дифференциальным уравнениям приводят многие задачи экономики, физики, биологии, экологии и т.п.
Уравнения, интегрируемые непосредственно.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением, интегрируемым непосредственно, если оно может быть представлено в виде:
(4.3)
или в виде:
(4.4)
где
,
,
- некоторые функции переменной
.
В этом случае уравнение (4.3) можно проинтегрировать непосредственно, т. е.
(4.5)
Уравнение (4.4) можно привести к виду (4.3):
,
тогда
.
(4.6)
Пример
Решить
уравнение
.
Решение.
.
Проинтегрируем непосредственно:
.
Итак,
.
Пример
Решить
уравнение
.
Решение.
Преобразуем уравнение:
;
.
Итак,
.
4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:
(4.7)
или в виде:
(4.8)
где
- некоторые функции переменной
;
- функции переменной
.
Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства.
Пример
Решить уравнение
.
Решение.
.
Умножим обе части равенства на .
.
Получившееся равенство
разделим на
.
;
откуда:
;
;
;
.
Однородные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде:
,
(4.9)
где
- некоторая функция (одной переменной).
Понятие
однородного дифференциального уравнения
связано с однородными функциями. Функция
называется однородной степени
,
если для произвольного числа
выполняется равенство:
(4.10)
Однородные
уравнения при помощи подстановки
приводятся к уравнениям с разделяющимися
переменными.
Пример.
Решить уравнение:
.
Решение.
Так как
,
то уравнение имеет вид (4.9) при
.
Положим
,
отсюда
и
.
Подставим в преобразованное уравнение:
,
.
Получим уравнение с разделяющимися переменными:
.
Разделим
обе части равенства на
и умножим на
(
,
т.е.
,
но следует отметить, что
является решением исходного уравнения).
.
Интегрируя почленно последнее равенство, получаем:
,
,
.
Возвращаясь к первоначальным переменным, получим:
,
откуда
( при
получаем решение
).
Линейные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид:
(4.11)
где
и
- некоторые (непрерывные) функции
переменной
.
Рассмотрим
один из возможных способов решения
уравнения: будем искать решение в виде
,
тем самым искомыми становятся функции
и
,
одна из которых может быть выбрана
произвольно, а другая – должна определяться
из уравнения (4.11). Т.е. используется в
решении замена
.
Пример.
Решить уравнение:
.
Решение.
Разделив левую и правую части на приходим к линейному неоднородному уравнению:
.
Пусть
,
,
тогда уравнение примет вид:
или
.
Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций (например ) можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными.
или
;
откуда:
.
Проинтегрировав,
найдем какое-либо частное решение этого
уравнения, например, при
,
откуда
.
При исходное уравнение обратится в уравнение:
или
.
Решая это уравнение
с разделяющимися переменными, получаем
.
Тогда окончательно имеем:
.