Ііі. Интегральное исчисление

3.1. Понятие неопределеннного интеграла, свойства

Определение 1:

Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутке .

Определение 2:

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом: , где - некоторая первообразная для , с – произвольная постоянная.

В частности: .

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.:

.

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.:

.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.:

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.:

, где

- некоторое число.

4. Интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

.

5. Если числитель подынтегральной дроби есть производная от знаменателя, то интеграл равен логарифму модуля знаменателя:

.

Таблица интегралов от основных элементарных функций

;	;
;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	.

3.2. Определенный интеграл. Основные свойства

Если - первообразная функция от , т.е. , то .

Эта формула вычисления определенного интеграла называется формулой Ньютона-Лейбница.

Геометрический смысл. Если функция непрерывна на отрезке и внутри этого отрезка всюду неотрицательна, то определенный интеграл представляет собой в декартовой системе координат площадь криволинейной трапеции (см. рис. 12), ограниченной графиком подинтегральной функции , осью и двумя прямыми .

0

Рис. 12

Свойства определенного интеграла

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Если постоянная, то ;

6. .