2.4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций одной переменной

Монотонность: Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка , то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке , то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительная) на этом промежутке: , , т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

Практическое нахождение участков монотонности функции

Пусть функция задана на . Отметим на точки, в которых либо , либо не существует, либо терпит разрыв. Пусть это точки , , занумерованные в порядке возрастания. На каждом из интервалов производная непрерывна и сохраняет знак, который совпадает со знаком , где - выбранная для удобства вычислений точка этого интервала. Следовательно, на любом из этих интервалов возрастает при или убывает при .

Пример № 1.

Найти интервалы монотонности функции .

Решение.

Имеем . Очевидно, при и при , так как:

.

– +

2

Т.е. функция убывает на интервале и возрастает на интервале .

Пример № 2.

Найти интервалы монотонности функции .

Решение.

Находим первую производную функции:

.

в точках , . Наносим точки на числовую прямую.

+ _ +

о

-2 -1 0

В промежутках функция возрастает; а в промежутках - убывает (точку необходимо “выкалывать”, т.к. функция в этой точке не существует).

Экстремумы функции

Определение.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Значение функции в точке называется соответственно максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой.

Необходимое условие экстремума: Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными).

Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума: если при переходе через критическую точку производная функции меняет свой знак с плюса на минус, то - есть точка максимума, а если с минуса на плюс, то - точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум.

1. Найти ОДЗ функции .

2. Найти производную .

3. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.

4. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

5. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример № 3.

Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

1. ОДЗ: .

2. .

3. - критические точки.

– + +

1

Нанести критические точки на числовую ось.

1. Согласно достаточному условию - точка минимума данной функции. В точке экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума: если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции ; если отрицательна, то – точка максимума функции .

Схема исследования на экстремум функции с помощью второго достаточного условия в целом аналогична схеме приведенной выше.

Выпуклость функции. Точки перегиба.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом промежутке.

Определение.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти ОДЗ функции .

2. Найти вторую производную функции .

3. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.

4. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

5. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение.

1. ОДЗ: .

2. (см. пример №3).

.

3. Т.е. при и .

+ – +

1

4. на интервалах и , следовательно, на этих интервалах функция вогнута.

на интервале . Следовательно, функция на нем выпукла.

5. и есть точки перегиба.

Асимптоты графика функции

Определение.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки , лежащей на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки графика от начала координат.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

1. Вертикальные.

Если при , то - вертикальная асимптота.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции .

2. Наклонные.

Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы:

, .

3. Горизонтальные.

Горизонтальные асимптоты – частный случай наклонных .

Пример.

Найти асимптоты кривой .

Решение.

Функция определена в интервалах , а и -точки разрыва. Так как , то прямая является вертикальной асимптотой кривой; , т.е. прямая не является вертикальной асимптотой. Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как и не являются конечными величинами. Определим, существуют ли наклонные асимптоты.

Находим:

;

.

Таким образом, существует правая наклонная асимптота .

Аналогично находятся:

;

.

Итак, существует наклонная асимптота .

Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции и точки разрыва.

2. Исследовать функцию на четность ( ) – нечетность ( ), периодичность ( ).

3. Найти точки пересечения графика функции с осью и если это несложно – с осью .

4. Найти асимптоты кривой.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

7. На основе проверенного анализа построить график функции.

Пример.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения , т.е. . Точка – точка разрыва.

2. Четность, нечетность, периодичность:

.

Значит, функция не является ни четной, ни нечетной; и не является периодичной, т.к. нет такого Т, чтобы выполнилось равенство .

3. График функции проходит через начало координат.

4. Так как – точка разрыва, найдем предел функции при :

Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой.

Проверим, имеет ли кривая наклонные асимптоты:

.

.

Т.о., прямая - наклонная асимптота.

Горизонтальных асимптот нет.

5. Экстремумы и интервалы монотонности. Найдем:

.

Производная обращается в ноль, если , т.е. при ; производная не существует при .

Однако критическими точками являются только точки (так как значение не входит в область определения функции).

Поскольку при , а при , то - точка максимума и - максимум функции ( - точка разрыва, т. е. в ней функция не может иметь экстремума).

На интервале функция убывает, на интервалах - возрастает.

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем:

.

Вторая производная обращается в ноль при х=0 и не существует при х=-1. Очевидно, что на интервале и функция вогнута на этом интервале на интервалах , и на этих интервалах функция выпукла. Точкой перегиба является .

7. По данным исследований строим график:

-3 -1 0 2