Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Если в знакочередующемся ряде:
,
члены таковы,
что
и
,
то ряд сходится, его сумма положительна
и не превосходит первого члена.
Пример.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
– каждый член ряда по модулю меньше
предыдущего;
,
т.о. по признаку Лейбница ряд сходится.
5.3. Степенные ряды. ИНтервал сходимости
Степенным рядом называют ряд вида:
,
где
– постоянные числа (коэффициенты ряда).
Интервал сходимости степенного ряда
можно находить с помощью признака
Даламбера, т.е. находим
.
Известно, что ряд сходится при
,
расходится при
,
а при
необходимы дополнительные исследования.
Пример.
Определить
интервал сходимости ряда
.
Решение.
Выпишем
,
,
тогда:
.
Таким образом, ряд сходится при любых .
Пример.
Определить
интервал сходимости ряда
.
Решение.
Выпишем
-ный
и
-ый
члены ряда:
тогда:
.
Ряд будет сходящимся, если
.
Отсюда
,
т.е. исходный ряд сходится на интервале
.
Контрольная работа
В задачах 1.1 – 1.35 найти пределы
1.1. |
1.2. |
а) |
а) |
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
.
1.3. |
1.4. |
а)
|
а) |
б) |
б) |
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
.
1.5. |
1.6. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
.
1.7. |
1.8. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
.
1.9. |
1.10. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
1.11. |
1.12. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
.
;
;
;
;
;
;
.
.
1.13. |
1.14. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
.
1.15. |
1.16. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
.
1.17. |
1.18. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
1.19. |
1.20. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
.
;
;
;
;
;
;
.
.
1.21. |
1.22. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
|
|
1.23. |
1.24. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
|
|
1.25. |
1.26. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
1.27. |
1.28. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
|
|
1.29. |
1.30. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
.
;
;
;
;
;
;
.
.
;
;
;
;
;
;
.
.
;
;
;
;
;
;
.
.
;
;
;
;
;
;
.
.
1.31. |
1.32. |
а)
|
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
|
|
1.33. |
1.34. |
а) |
а)
|
б)
|
б)
|
в)
|
в)
|
г)
|
г)
|
;
;
;
;
;
;
.
.
;
;
;
;
;
;
.
.
-
1.35.
а)
;б)
;в)
;г)
.
В задачах 2.1. –2.35 вычислить производную
.
2.1. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.2. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.3. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.4. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.5. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.6. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.7. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.8. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
2.9. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.10. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.11. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.12. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.13. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.14. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.15. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.16. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.17. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.18. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
2.19. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
2.20. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.21. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.22. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.23. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.24. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.25. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.26. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.27. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.28. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.29. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.30. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.31. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.32. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.33. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.34. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
2.35. |
|
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
|
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
В задачах 3.1.-3.35. исследовать средствами дифференциального исчисления функцию. Найти асимптоты и построить график.
3.1.
|
3.2. ; |
3.3.
|
|
3.4.
|
3.5.
|
3.6.
|
|
3.7.
|
3.8.
|
3.9.
|
|
3.10.
|
3.11.
|
3.12.
|
|
3.13.
|
3.14.
|
3.15.
|
|
3.16.
|
3.17.
|
3.18.
|
|
3.19.
|
3.20.
|
3.21.
|
|
3.22.
|
3.23.
|
3.24. ; |
|
3.25.
|
3.26.
|
3.27.
|
|
3.28.
|
3.29.
|
3.30.
|
|
3.31.
|
3.32.
|
3.33.
|
|
3.34.
|
3.35.
|
||
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
В задачах 4.1.- 4.35 вычислить интегралы.
4.1. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.2. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.3. |
а)
|
б)
|
в)
|
г) |
;
;
;
.
4.4. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.5. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.6. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.7. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.8. |
а)
|
б)
|
в) |
г)
|
;
;
;
.
4.9. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.10. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.11. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.12. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.13. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.14. |
а)
|
б)
|
в)
|
г) |
;
;
;
.
4.15. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
.
4.16. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.17. |
а)
|
б)
|
в)
|
г) |
;
;
;
.
4.18. |
а)
|
б) |
в)
|
г)
|
;
;
.
4.19. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
4.20. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
;
;
;
.
4.21. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
.
4.22. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.23. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.24. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.25. |
а)
|
б)
|
в)
|
г) . |
;
;
4.26. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.27. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.28. |
а)
|
б)
|
в) |
г) |
;
;
.
4.29. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.30. |
а)
|
б)
|
в)
|
г) |
;
;
;
.
4.31. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.32. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.33. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
.
4.34. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
4.35. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
В задачах 5.1- 5.35 решить дифференциальные уравнения:
5.1. |
||
а)
|
б)
|
в)
|
5.2. |
||
а)
|
б)
|
в)
|
5.3. |
||
а)
|
б)
|
в)
|
5.4. |
||
а)
|
б)
|
в)
|
5.5. |
||
а)
|
б)
|
в)
|
5.6. |
||
а)
|
б)
|
в)
|
5.7. |
||
а)
|
б)
|
в)
|
5.8. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.9. |
|
|
а)
|
б) ; |
в)
|
5.10. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
.
;
;
.
5.11. |
|
|
а) |
б) |
в) . |
5.12. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.13. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.14. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.15. |
|
|
а)
|
б) |
в) . |
5.16. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.17. |
|
|
а) |
б) |
в)
|
5.18. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.19. |
|
|
а)
|
б) |
в) . |
5.20. |
||
а)
|
б)
|
в) . |
5.21. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.22. |
|
|
а) |
б)
|
в)
|
5.23. |
||
а)
|
б)
|
в) . |
5.24. |
|
|
а)
|
б)
|
в) . |
5.25. |
|
|
а) |
б)
|
в) . |
5.26. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.27. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.28. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.29. |
|
|
а)
|
б) |
в)
|
5.30. |
|
|
а)
|
б) ; |
в)
|
5.31. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.32. |
|
|
а)
|
б)
|
в)
|
5.33. |
|
|
а) |
б)
|
в)
|
5.34. |
|
|
а)
|
б) |
в)
|
5.35. |
|
|
а)
|
б) |
в) . |
;
;
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
;
;
;
;
.
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
В задачах 6.1-6.35 найти интервал сходимости степенного ряда:
6.1.
|
6.2.
|
6.3.
|
|
6.4.
|
6.5.
|
6.6.
|
|
6.7.
|
6.8.
|
6.9.
|
|
6.10.
|
6.11.
|
6.12.
|
|
6.13.
|
6.14.
|
6.15.
|
|
6.16.
|
6.17.
|
6.18.
|
|
6.19.
|
6.20.
|
6.21.
|
|
6.22.
|
6.23.
|
6.24.
|
|
6.25.
|
6.26.
|
6.27.
|
|
6.28.
|
6.29.
|
6.30.
|
|
6.31.
|
6.32.
|
6.33.
|
|
6.34.
|
6.35.
|
||
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.