1. Относительное движение. Это движение происхо­дит по закону

s = AM= . (2)

Сначала установим, где будет находиться точка М на дуге ADB в момент времени t₁. Полагая в уравнении (2) t=1 с_, получим:

. Тогда АСМ

или ВСМ=30°. Изображаем на рисунке К 2, а точку в положении, определяемом этим углом (точка M₁).

Теперь находим числовые значения :

; ; ,

где — радиус кривизны относительной траектории, т. е. дуги ADB, Для момента времени t₁=1с, учитывая, что R=0,5 м, получим:

м/с; м/с²; м/с² (3)

Знаки показывают, что вектор v_0T направлен в сторону поло­жительного отсчета расстояния s, а вектор —в противополож­ную сторону; вектор направлен к центру С дуги ADВ. Изобра­жаем все эти векторы на рисунке К 2, а. Для наглядности приведен рисунок К 2, б, где дуга ADB совмещена с плоскостью чертежа.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) про­исходит по закону . Найдем угловую скорость ω и уг­ловое ускорение ε переносного вращения: и при t₁=1с

(4)

Знаки указывают, что при t₁ = 1 с направление ε совпадает с направлением положительного отсчета угла φ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рисунке К 2, а соответствующими дуговыми стрелками.

Для определения и находим сначала расстояние h точки М₁ от оси вращения. Получаем 30°=0,25 м. Тогда в момент времени t₁ =1 с, учитывая равенства (4), получим:

м/с м/с² м/с² (5)

Изображаем на рисунке К 2, а векторы и с учетом направ­лений ωи ε вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между век­тором и осью вращения (вектором ω) равен 60°, то численно в момент времени t₁ = l с [см. равенства (3) и (4)]

м/с² (6)

Направление найдем, спроектировав вектор на плос­кость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ), и повернув затем эту проекцию в сторону ω, т, е. по ходу часовой стрелки, на 90°. Иначе направление можно найти, учтя, что Изображаем вектор на рисунке К 2, а.

Теперь можно вычислить значения и .

4. Определение . Так как , а векторы и взаимно перпендикулярны (см. рисунок К 2, а), то в момент вре­мени t₁ =1 c м/с

5. Определение . По теореме о сложении ускорений

(7)

Для определения проведем координатные оси М₁хуz (см. рисунок К 2, а) и вычислим проекции вектора а_аб на эти оси. Учтем при этом что векторы и лежат на проведенной оси х, а векторы , и расположены в плоскости дуги ADB, т. е. в плоскости М₁yz (см. рисунок К 2, б). Тогда, проектируя обе части ра­венства (7) на координатные оси и учтя одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t₁= 1 с:

м/с²;

м/с²

м/с²

Отсюда находим значение в момент времени t₁ =1 с:

м/с²

О т в е т: м/с =4,1 м/с²

Динамика

Задача Д 1

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость , движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизон­тальный, а другой наклонный (рисунки Д 1.0—Д 1.9, таблица Д 1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют посто­янная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила со­противления среды R, зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ прене­бречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на учас­ток ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила F, проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние AB=L или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон дви­жения груза на участке ВС, т. е. x=f(t), где x=BD.

Рекомендации. Задача Д 1—на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференци­альное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t=0. При интегрировании урав­нения движения на участке АВ в случае, когда задана длина L участка, целесообразно перейти к переменному х, учтя, что

Таблица Д 1 Исходные данные к задаче Д 1

	Номер условия	m, кг	, м/с	Q, Н		R, Н	l, м	t, c	Fx, Н
	0	2	20	6		0,4	-	2,5	2sin(4t)
	1	2,4	12	6		0,8	1,5	-	6t
	2	4,5	18	9		0,5	-	3	3sin(2t)
	3	6	14	22		0,6	5	-	-3cos(2t)
	4	1,6	18	4		0,4	-	2	4cos(4t)
	5	8	10	16		0,5	4	-	-6sin(2t)
	6	1,8	24	5		0,3	-	2	9t2
	7	4	12	12		0,8	2,5	-	-8cos(4t)
	8	3	22	9		0,5	-	3	2cos(2t)
	9	4,8	10	12		0,2	4	-	-6 sin(4t)
Рисунок Д 1.0					Рисунок Д 1.1
Рисунок Д 1.2					Рисунок Д 1.3
Рисунок Д 1.4					Рисунок Д 1.5
Рисунок Д 1.6					Рисунок Д 1.7
Рисунок Д 1.8					Рисунок Д 1.9

Пример Д 1. На вертикальном участке АВ трубы (рисунок Д 1) на груз D массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R; движение от точки А, где = 0, до точки В длится t₁ с. На на­клонном участке ВС на груз действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу равен f) и переменная сила F=F(t), заданная в ньютонах.

Дано: m=8 кг, R=µ , где µ=0,2 кг/м, =0, t₁ =2 с, f=0,2 F_x =16 sin (4t), α=30°.

Определить: x=f (t) - закон движения груза на участке ВС.

Рисунок Д 1

Решение 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р = mq и R. Проводим ось Аz и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

или (1)

Далее находим P_z=P=mq, R_z=—R=- µ подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что , получим:

q или (2)

Введем для сокращения записей обозначение

(n=20 м/с) (3)

где при подсчете принято q≈м/с². Тогда, разделяя в уравнении (2) переменные и взяв затем от обеих частей равенства интегралы, получим

и (4)

По начальным условиям при t=0 , что дает . Введя еще одно обозначение

c^-1 (5)

получим из (4)

и

Отсюда находим, что

(6)

Полагая здесь t=t₁=2 с и заменяя n и k их значениями (3) и (5), определим скорость груза в точке В (число е=2,7):

м/с (7)

2. Рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная ско­рость будет для движения на этом участке начальной скоростью . Изображаем груз (в произвольном положении) и дейст­вующие на него силы P=mq, N, F_тр и F. Проведем из точки В оси Вх и By и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:

или (8)

где F_тр=fN . Для определения N составим уравнение в проекции на ось By. Так как a_y=0 , получим 0 = N-mqcosα, откуда N=mqcosα. Следовательно, F_тр=fmqcosα; кроме того, F_x=16 sin (4 t) и уравнение (8) примет вид

(9)

Разделив обе части равенства на m, вычислим q(sinα-fcosα)=q(sin30°—0,2cos30°) =3,2; 16/m=2 и подставим эти зна­чения в (9). Тогда получим:

(10)

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем: (11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз нахо­дится в точке В, считая в этот момент t=0. Тогда при t=0 , где дается равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим:

При найденном значении С₂ уравнение (11) дает:

(12)

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем: (13)

Так как при t=0 х=0, то С₃=0 и окончательно искомый закон движения груза будет:

(14)

где х —в метрах, t—в секундах.

Задача Д 2

Груз 1 массой m укреплен на пружинной подвеске в лифте (рисунок Д 2.0—Д 2.9, таблица Д 2). Лифт движется вертикально по зако­ну (ось направлена по вертикали вверх; выражено в метрах, t — в секундах). На груз дей­ствует сила сопротивления среды R = где —скорость груза по отношению к лифту.

Найти закон движения груза по отношению к лифту, т. е. х= f(t); начало координат поместить в положении статического рав­новесия груза при неподвижном лифте (во избежание ошибок в знаках, направить ось х в сторону удлинения пружины, а груз изо­бразить в положении, при котором х>0 и пружина растянута). При подсчетах можно принять q≈10 м/с². Массой пружин и сое­динительной планкой 2 пренебречь.

В таблице обозначено: c₁, с₂, с₃ —коэффициенты жесткости пру­жин, λ₀ —удлинение пружины с эквивалентной жесткостью в началь­ный момент времени t=0, —начальная скорость груза по отноше­нию к лифту (направлена вертикально вверх). Прочерк в столбцах c₁, с₂, с₃ означает, что соответствующая пружина отсутствует и на чертеже изображаться не должна. Если при этом конец одной из оставшихся пружин окажется свободным, его следует прикрепить в соответствующем, месте или к грузу или к потолку (полу) лифта; то же следует сделать, если свободными окажутся соединенные планкой 2 концы обеих оставшихся пружин.

Условие µ = 0 означает, что сила сопротивления R отсутствует,

Рекомендации. Задача Д 2 охватывает одновременно темы относительное движение и колебания материальной точки. Сначала нужно составить дифференциальное уравнение относительного дви­жения (по отношению к лифту) рассматриваемого в задаче груза, для чего присоединить к действующим силам переносную силу инер­ции. При этом заменить подвеску одной пружиной с жесткостью, эквивалентной жесткости подвески. Затем проинтегрировать полу­ченное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, учтя начальные условия.

Таблица Д 2 Исходные данные к задаче Д 2

Номер условия	m, кг	с1, Н/м	с2, Н/м	с3, Н/м	α1, м/с2	α2, м	α 3, м	ω, 1/с	µ, Нс/м	λ0, м	, м/с
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	1	300	150	-	0	0,1	0	15	0	0	0
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0,8	-	240	120	1,5q	0	0	-	8	0,1	0
2	0,5	-	100	150	0	0,8	0	5	0	0	4
3	1	240	-	160	0	0	0,5	6	0	0	0
4	0,5	80	120	-	-q	0	0	-	6	0,15	0
5	2	-	400	400	0	0	0,1	16	0	0	0
6	0,4	60	-	120	q	0	0	-	4	0	2
7	0,5	120	-	180	0	0,1	0	20	0	0	0
8	0,4	50	200	-	0	0	0,2	20	0	0,15	0
9	1	200	-	300	1,5q	0	0	-	20	0	3

Рисунок Д 2.0	Рисунок Д 2.1	Рисунок Д 2.2	Рисунок Д 2.3
Рисунок Д 2.4	Рисунок Д 2.5	Рисунок Д 2.6	Рисунок Д 2.7

Рисунок Д 2.8

Рисунок Д 2.9

Пример Д 2. Груз D массой m прикрепленный к двум последо­вательно соединенным пружинам с коэффициентами жесткости с₁ и с₂, перемещается по пазу АВ призматической тележки (рисунок Д 2_, а). Тележка движется по закону f₁(t). Начальное удлинение

Рисунок Д 2

пружины с эквивалентной жесткостью λ_о, а начальная скорость груза по отноше­нию к тележке (направ­лена от D к В).

Дано: m= 0,4 кг, с₁= 200 Н/м, с₂ = 50 Н/м, λ_о =0,1 м, м/с, α=60⁰, ( - в метрах, t – в секундах). (1)

Определить: x=f(t) — закон движения груза по отношению к тележке.

Решение. 1. Заменим прикрепленные к грузу пружины одной эквивалентной пружиной с коэффициентом жесткости с_экв=с значение с здесь определяется из условия, что при равновесии под действием какой-нибудь, приложенной к свободному концу пружин си­лы Q усилия в любом поперечном сечении пружин одинаковы и равны Q. Тогда если удлинения пружин равны соответственно λ₁ и λ₂, то удлинение эквивалентной пружины λ= λ₁ + λ₂ и должно быть с₁λ₁ = с₂λ₂= сλ =Q, откуда λ₁ =Q/c₁, λ₂ =Q/c₂, λ=Q/c. Но так как-то

λ =λ₁ + λ₂, то

и Н/м (2)

2. Составим теперь дифференциальное уравнение относительного движения груза (по отношению к тележке). Сначала заметим, что при неподвижной тележке в положении статического равнове­сия груза эквивалентная пружина (длину ее в недеформированном состоянии обозначим L₀) под действием силы тяжести Р будет сжа­та на величину λ _ст (рисунок Д 2, б). Из условия равновесия следует, что

и м. (3)

Свяжем тогда с тележкой подвижную систему отсчета Оху, начало О которой поместим в положении статического равновесия груза, а ось Ох направим вдоль паза АВ в сторону удлинения пру­жины (рисунок Д 2, б). Рассмотрим груз в положении, при котором х>0 и пружина растянута; изобразим действующие на груз силы: силу тяжести Р, силу упругости F и реакцию паза N. Для составления уравнения относительного движения груза присоединим к этим силам переносную силу инерции : кориолисова сила инерции здесь равна нулю, так как переносное движение (дви­жение тележки) является поступательным. Тогда уравнение относительного движения в векторной форме будет иметь вид

Проектируя обе его части на ось x, получим:

(4)

Найдем значения F и F_пер. Так как при положении груза, оп­ределяемом координатой х>0 (рисунок Д 2, б), эквивалентная пружина имеет удлинение что . Далее , где - ускорение тележки. Из равенства (1) находим, что . Кроме того, cos α=0,5. Подставляя все эти величины в уравнение (4), получим:

Согласно равенству (3) члены –Р sinα и сλ_ст в правой части со­кращаются, и окончательно дифференциальное уравнение относи­тельного движения груза примет вид

(5)

где обозначено

с^-2, м/с м/с (6)