9.3. Методы подбора эмпирических формул

В процессе экспериментальных исследований получается статистический ряд измерений двух величин, когда каждому значению функции y₁, у₂, …, у_n соответствует определенное значение аргумента х₁ , х₂, …, х_n..

На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраические выражения функции

y = f(x), (7)

которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подбираются лишь в пределах измеренных значений аргумента x₁ – х_n и имеют тем большую ценность, чем больше соответствуют результатам эксперимента.

Необходимость в подборе эмпирических формул возникает во многих случаях. Так, если аналитическое выражение (7) сложное, требует громоздких вычислений, составления программ для ЭВМ или вообще не имеет аналитического выражения, то эффективнее пользоваться упрощенной приближенной эмпирической формулой.

Эмпирические формулы должны быть по возможности наиболее простыми и точно соответствовать экспериментальным данным в пределах изменения аргумента. Таким образом, эмпирические формулы являются приближенными выражениями аналитических формул. Замену точных аналитических выражений приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функции – аппроксимирующими.

Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов.

I этап. Данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид формулы.

II этап. Вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений. Так, например, результаты измерений многих явлений и процессов аппроксимируются простейшими эмпирическими уравнениями типа

у = а + bх, (8)

где a, b – постоянные коэффициенты. Поэтому при анализе графического материала необходимо по возможности стремиться к использованию линейной функции. Для этого применяют метод выравнивания, заключающийся в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют линейной функцией.

Для преобразования некоторой кривой (7) в прямую линию вводят новые переменные

X = f₁ (x,y), Y = f₂(x,y). (9)

В искомом уравнении они должны быть связаны линейной зависимостью

Y = а + bX. (10)

Значения X и Y можно вычислить на основе решения системы уравнений (9). Далее строят прямую (рис. 8), по которой легко графически вычислить параметры а (ордината точки пересечения прямой с осью Y) и b (тангенс угла наклона прямой с осью X): b = tga = (Y_i – a)/X_i.

При графическом определении параметров а и b необходимо, чтобы прямая (8) строилась на координатной сетке, у которой началом является точка Y = 0 и

X = 0. Для расчета необходимо точки Y_i и X_i принимать на крайних участках прямой.

Рис. 8. Графическое определение параметров X и Y

Для определения параметров прямой можно применить также другой графический метод. В уравнение (10) подставляют координаты двух крайних точек, взятых с графика. Получают систему двух уравнений, из которых вычисляют а и b. После установления параметров а и b получают эмпирическую формулу (8), которая связывает Y и X, позволяет установить функциональную связь между х и у и эмпирическую зависимость (7).

Линеаризацию кривых можно легко осуществить на полулогарифмических или логарифмических координатных сетках, которые сравнительно широко применяют при графическом методе подбора эмпирических формул.

Пример. Подобрать эмпирическую формулу следующих измерений:

1 2 3 4 5 6 7

12,1 19,2 25,9 33,3 40,5 46,4 54,0

Графический анализ этих измерений показывает, что в прямоугольных координатах точки хорошо ложатся на прямую линию и их можно выразить зависимостью (8). Выбираем координаты крайних точек и подставляем в (8). Тогда A₀ + 7A₁ = 54,0; A₀ + 1A₁ = 12,1, откуда А₁ = 41,9 : 6 = 6,98 и А₀ = 12,1 – 6,98 = 5,12. Эмпирическая формула примет вид

y = 5,12 + 6,98х.

Таким образом, аппроксимация экспериментальных данных прямолинейными функциями позволяет просто и быстро установить вид эмпирических формул.

Графический метод выравнивания может быть применен в тех случаях, когда экспериментальная кривая на сетке прямоугольных координат имеет вид плавной кривой. Так, если экспериментальный график имеет вид, показанный на рис. 9а, то необходимо применить формулу

у = а ·х (11)

Рис. 9. Основные виды графиков эмпирических формул

Заменяя X = lg х и Y = lg у, получим Y = lg a – bХ. При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке. Если экспериментальный график имеет вид, показанный на рис. 9б, то целесообразно использовать выражение

у = а ·е . (12)

При замене Y = lg у получим Y = lg a + bx lg e. Здесь экспериментальная кривая превращается в прямую линию на полулогарифмической сетке. Если экспериментальный график имеет вид, представленный на рис. 9в, то эмпирическая формула принимает вид

у = с + ах^b . (13)

Если b задано, то надо принять X = х^b , и тогда получим прямую линию на сетке прямоугольных координат Y = с + а X. Если же b неизвестно, то надо принять X = lgх и Y = lg (y – с), в этом случае будет прямая линия, но на логарифмической сетке Y = lg a + bХ. В последнем случае необходимо предварительно вычислить с. Для этого по экспериментальной кривой при­нимают три произвольные точки (х₁, у₁), (х₂ , у₂), и (х₃ = , y₃) и вычисляют с в виде отношения

с = (у₁ у₂ – y₃²) : (у₁ + у₂ –2уз) (14)

Если экспериментальный график имеет вид, показанный на рис. 9.4г, то нужно пользоваться формулой

y = с + а e^bx. (15)

Путем замены Y = lg (у–с) можно построить прямую на полулогарифмической сетке

Y = lg a + bx lg c,

где с предварительно определено с помощью формулы (14). В этом случае

х₃ = 0,5(х₁ + х₂).

Если экспериментальный график имеет вид, представленный на рис. 9.4д, то применяется выражение

у = а + b/х. (16)

Путем замены х = 1/z можно получить прямую линию на сетке прямоугольных координат у = а + bz.

Если график имеет вид, соответствующий кривым на рис. 9е, то используют формулу

y = 1/(a + bx). (17)

Если принять новую функцию у = 1/z, где z = а + bх, то получится прямая на сетке прямоугольных координат «z – х».

Аналогично, уравнению

y = 1/(а + bх + сх²) (18)

путем замены y = 1/z можно придать вид параболы z = а + bх + сх².

Сложную степенную функцию

y = а e (19)

можно преобразовать в более простую. При lg у = z; lg a = р; п lg e = q;

т lg е = r получается зависимость

z = р + qx + r х².

С помощью приведенных на рис. 9 графиков и выражений (11 – 19) можно практически всегда подобрать уравнение эмпирической формулы.

Пример. Необходимо подобрать эмпирическую формулу для следующих измерений:

1 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

15,2 20,6 27,4 36,7 49,2 66,0 87,4 117,5

На основе этих данных строится график (рис. 9а), соответствующий кривым (12) (рис. 9б).

После логарифмирования выражения (12) lg у = lg a + bx lg e. Если обозначить lg у = Y, то Y = lg a + bx lg e, т. е. в полулогарифмических координатах выражение для Y представляет собой прямую линию (рис. 10). Подстановка в уравнение координат крайних точек дает

lg 15,2 = lg a +b lg е и lg 117,5 = lg a + 4,5 b lg e.

Следовательно, lg a + b lg е = 1,183; lg a + 4,5 b lg e = 2,070.

Откуда b = 0,887/(3,5 lg e) = 0,583; lg a =1,183 – 0,254 = 0,929; a = 8,492. Окончательно эмпирическая формула получит вид

У = 8,492 е .

При подборе эмпирических формул широко используются полиномы

у = Ао + А₁ х + А₂ х² + А₃ х³ + ...+Аn хⁿ (20)

где А_о, A₁, ... , Аn – постоянные коэффициенты. Полиномами можно аппроксимировать любые результаты измерений, если они графически выражаются непрерывными функциями. Особо ценным является то, что даже при неизвестном точном выражении функции (20) можно определить значения коэффициентов А. Для определения коэффициентов А кроме графического метода, изложенного выше, применяют также методы средних и наименьших квадратов.

Рис. 10. Подбор эмпирической характеристики:

а – эмпирическая; б – спрямленная