Дрогобицький державний педагогічний університет

ім.І.Франка

Кафедра інформатики та обчислювальної математики

Теорія ймовірностей та

математична статистика

лабораторні роботи

для студентів-заочників

Дрогобич-2016

Лабораторна робота №1

Тема: Статистичні закономірності

Мета: Сформувати поняття стохастичного експерименту, події, поняття відносної частоти та статистичної ймовірності події.

Обладнання: Комп’ютер, таблиці з експериментальними даними.

Теоретичні відомості

Характерною особливістю шкільної математики, яка вивчалась до цього часу, є визначеність (детермінованість) шуканих невідомих, які потрібно шукати під час розв’язування задач. Наприклад, об’єм куба визначається довжиною його ребра, площа круга — його радіусом, шлях, пройдений тілом, — його швидкістю та часом тощо.

Але в житті та практичній діяльності людей часто доводиться мати справу з явищами, перебіг яких неможливо передбачити заздалегідь, вони залежать від багатьох умов. Про такі явища кажуть, що вони є випадковими.

Наприклад:

1) попадання (непопадання) баскетболіста в кошик за одного чи кількох киданнях м’яча;

2) виграш (програш) в лотереї;

3) число зерен в колосі, що виросте із зерна висіяної пшениці;

4) кількість пасажирів на ескалаторі в даний момент чи протягом певного часу тощо.

Взагалі, людська діяльність — це неперервний процес прийняття рішень в обставинах невизначеності чи випадковості. Яку встановити ціну, щоб продати товар і одержати прибуток? Яким повинен бути внесок при страхуванні, щоб страхова компанія не мала збитків? З такими та подібними їм запитаннями люди постійно стикаються в повсякденному житті. Тому варто вміти працювати з випадковими явищами і використовувати їх у житті, наукових дослідженнях тощо.

Наукою, що займається математичним аналізом випадкових явищ, зокрема, випадкових подій, є «Теорія ймовірностей», її предмет — це вивчення закономірностей масових випадкових явищ.

Теорія ймовірностей, як і будь-яка галузь математики, оперує певним колом понять. Більшості з них даються означення, але є і неозначувані (первісні) поняття. До первісних понять відносять поняття стохастичного експерименту і події.

Під випробуванням (дослідом, експериментом, спостереженням) у теорії ймовірностей розуміють будь-яку дію, яка повторюється значну кількість разів в однакових умовах.

У результаті випробування відбувається подія, тобто подія є наслідком випробування.

Подія — це те явище, яке може відбутися або не відбутися за деяких умов при певному випробуванні.

Події позначаються великими літерами латинського алфавіту — А, В, С, U, V, ... . Інколи події позначають українськими буквами: Г — поява герба на монеті, Ч — поява числа (вартості) на монеті.

Розрізняють три види подій, зокрема:

Вірогідною називають таку подію, яка внаслідок даного випробування обов’язково повинна відбутися (позначають U).

Неможливою називають таку подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися (позначають V).

Випадковою називають таку подію, яка внаслідок даного випробування може відбутися або не відбутися.

Якщо подію, яка відбувається в результаті деякого випробування, не можна передбачити заздалегідь, то вона вважається випадковою і відповідне їй випробування називають випадковим (стохастичним).

Прикладами стохастичних експериментів є:

1) переміщення частинки у броунівському русі (результат — траєкторія руху частинки за певний відрізок часу);

2) передача нащадкам генів батьків;

3) поширення інфекційної хвороби під час епідемії (неможливо точно визначити, який час триватиме епідемія, скільки залишиться людей, схильних до цієї хвороби після того, як епідемія закінчиться);

4) інвестування банком діяльності деякої фірми (не можна заздалегідь бути впевненим у тому, що ця фірма не збанкрутує, своєчасно поверне позичені кошти, отримає запланований прибуток, який дасть змогу розрахуватися з банком).

Корисно навести приклади і нестохастичних експериментів:

а) запуск космічного корабля (дія, яку важко повторити значну кількість разів);

б) вступ абітурієнта до вищого навчального закладу (хоча ця дія може здійснюватися і кілька разів, але суттєво змінюються умови, за яких вона відбувається);

в) нагрівання води за нормального атмосферного тиску (заздалегідь відомо, що при 100°С вода закипить) тощо.

Події, що відбуваються за однакових умов, називають однорідними.

Масовими називають однорідні події, що відбуваються (спостерігаються) за певних умов у результаті проведення значної кількості дослідів.

Приклади масових випадкових подій є:

1) влучання (невлучання) у серії пострілів;

2) поява бракованих деталей під час їх серійного випуску;

3) поява герба (числа) під час багаторазового підкидання монети.

Зрозуміло, що при одноразовому проведенні випробування (експерименту, досліду) або його спостереженні не можна однозначно стверджувати про очікуваний результат. На перший погляд, може здатися, що результат багато разів повторюваних випробувань тим більше не можна передбачити. Але насправді це не так. Виявляється, їх можна доволі точно прогнозувати та використовувати у своїй практичній діяльності.

Припустимо, що за незмінних умов проведено n дослідів (випробувань) і в m з них відбулася деяка подія А.

Відношення називають відносною (статистичною) частотою події А під час проведення серії дослідів (випробувань) і позначається W(A) =  .

Відносна частота події визначається дослідним шляхом і, взагалі кажучи, змінюється, якщо змінюється кількість дослідів або навіть виконується інша серія з такою самою кількістю дослідів. Однак, якщо випробування повторити значну кількість разів, підрахувати кількість здійснень певної події і знайти відносну частоту цієї події, то виявиться, що вона буде близькою до одного і того ж числа. Досліди для яких це виконується називаються називають статистично стійкими.

Статистично стійкою є, наприклад, відносна частота народження дітей однієї статі.

Розподіл статі новонароджених дітей (Швеція, 1935)

Місяць	Загальна кількість	Хлопчики	Відносна частота	Дівчатка	Відносна частота
1	7280	3743	0,514	3537	0,486
2	6957	3550	0,510	3407	0,490
3	7883	4017	0,510	3866	0,490
4	7884	4173	0,529	3711	0,471
5	7892	4117	0,522	3775	0,478
6	7609	3944	0,518	3665	0,482
7	7585	3964	0,523	3621	0,477
8	7393	3797	0,514	3596	0,486
9	7203	3712	0,515	3491	0,485
10	6903	3512	0,509	3391	0,491
11	6552	3392	0,518	3160	0,482
12	7132	3761	0,527	3371	0,473
Усього	88273	45682	0,518	42591	0,482

Із цієї таблиці видно, що відносні частоти народження хлопчиків щомісячно коливаються біля числа 0,518. А взагалі, за статистикою, частоти появи хлопчиків (так само, як і дівчаток) за значної кількості народжених дітей коливаються біля числа 0,5.

Ще одним прикладом статистично стійкого досліду є підкидання монети з підрахунком кількості появи герба (тут відносна частота появи події коливається біля 0,5):

Результати експерименту, проведеного деякими вченими, щодо підкидання монети

Дослідник	Кількість підкидань монети	Кількість випадань герба	Відносна частота появи герба
Ж. Бюффон (1707–1788), франц. природознавець	4040	2048	0,5069
О. де Морган (1806–1871), шотл. математик і логік	4092	2048	0,5005
К. Пірсон (1857–1936), англ. математик, статист	12000	6019	0,5016
К. Пірсон (1857–1936), англ. математик, статист	24000	12012	0,5005
В. Феллер (1906–1970), амер. математик	10000	4979	0,4979
У. Джевонс (1835–1882), англ. логік і статист	20480	10379	0,5068
В. Романовський (1879–1954), узбец. математик, статист	80640	40151	0,4979

Спостереження статистичних закономірностей, зокрема стійкості відносної частоти, відкрили шлях до статистичного підходу в числовому визначенні ймовірності події.

Якщо подія відбувається в статистично стійких дослідах, то вводиться поняття статистичної ймовірності події.

Число, навколо якого зосереджуються значення відносної частоти здійснення події А при зростанні числа випробувань, називають статистичною ймовірністю цієї події.

Поняття статистичної ймовірності широко використовується на практиці: в економіці, біології, медицині тощо.

Коли кажуть, що ймовірність деякої події дорівнює, наприклад, 0,82, то це практично означає, що в середньому в кожних 100 дослідах ця подія відбувається приблизно 82 рази, відповідно в 1000 дослідах — 820 разів і т.д.

Завдання 1. Змоделювати дослід з підкидання монети 400 разів (20 серій по 20 підкидань у серії), визначити кількість випадань герба, обчислити відносну частоту появ герба та знайти статистичну ймовірність його появи. Результати подати таблицею та проаналізувати їх щодо наявності статистичної закономірності стійкості відносно частоти події.

Хід виконання завдання 1.

1. Сформувати таблицю з експериментальними даними, використавши функцію Excel для генерації псевдовипадкових чисел СЛЧИС або СЛУЧМЕЖДУ.

Підкидання монети

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

Ц

Г

Ц

Г

Г

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Г

Ц

Ц

Г

Ц

Г

Ц

Ц

Г

Г

2

Г

Ц

Г

Ц

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Ц

Г

Г

Г

Г

3

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Г

Г

Г

Ц

Г

Г

Г

Г

4

Ц

Г

Г

Г

Г

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Г

Ц

Ц

Ц

Г

Ц

Г

Ц

Ц

5

Ц

Ц

Ц

Г

Г

Г

Ц

Г

Г

Ц

Г

Ц

Г

Г

Ц

Г

Г

Г

Г

Г

6

Г

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Г

Ц

Ц

Ц

Г

Ц

Г

Ц

Ц

Г

Г

Г

Ц

Г

7

Ц

Ц

Г

Г

Г

Г

Г

Г

Г

Ц

Г

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Ц

Ц

8

Ц

Ц

Ц

Ц

Ц

Ц

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Г

Ц

Г

Ц

Ц

Г

9

Г

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Ц

Ц

Г

Г

Г

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Г

Ц

Ц

10

Ц

Г

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Г

Ц

Ц

Г

Г

Г

Г

Ц

Г

Г

Г

11

Г

Г

Г

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Г

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Г

Ц

Г

Г

Г

Ц

12

Г

Ц

Г

Г

Г

Ц

Г

Г

Г

Г

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Г

13

Г

Г

Г

Ц

Ц

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Ц

Г

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Г

Ц

14

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Г

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Г

Ц

Ц

Г

15

Г

Ц

Г

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Г

Ц

Ц

Г

Ц

Г

Г

Г

Г

Г

Г

16

Г

Г

Ц

Г

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Г

Ц

Ц

Г

Г

Г

17

Г

Г

Г

Г

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Г

Г

Ц

Г

Ц

Г

Г

Ц

Г

Ц

Ц

18

Ц

Ц

Г

Ц

Г

Ц

Г

Г

Г

Г

Г

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Ц

Г

Г

Г

19

Г

Ц

Ц

Г

Ц

Ц

Г

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Г

Г

Ц

Ц

Ц

Г

Г

Г

20

Г

Г

Г

Г

Г

Г

Ц

Ц

Г

Ц

Ц

Г

Г

Ц

Г

Ц

Г

Г

Ц

Г

2.Заповнити експериментальними даними таблицю 1 і обчислити відносні частоти.