§ 2. Собственные векторы.

Определение. Если для ненулевого вектора выполняется , то называется собственным числом, а вектор называется собственным вектором, соответствующим этому собственному числу.

Геометрически это означает, что при действии отображения вектор остаётся на той же самой прямой. Для нулевого вектора рассматривать это понятие нет смысла, ведь для любого числа .

Не для каждого оператора существуют собственные векторы. Так, при повороте плоскости на произвольный угол (кроме 0 и 180⁰) ни один вектор не остаётся на той же самой прямой. При вращении шара в пространстве: все векторы на оси вращения - собственные, они соответствуют .

Если растяжение по оси x с коэффициентом 2, а по оси y с коэффициентом 3, то векторы, не лежащие на осях, поворачиваются, и они не являются собственными.

Теорема 1. Линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному и тому же числу , тоже является собственным вектором, соответствующим .

Доказательство. Дано , . Тогда = .

Итак, для линейной комбинации, действие оператора тоже равносильно умножению на , что и требовалось доказать.

Следствия: Если какой-то вектор на прямой является собственным, то и любой другой вектор на этой же прямой является собственным, так как он кратен первом у вектору, то есть является его линейной комбинацией. Если растяжение в плоскости на один и тот же коэффициент по двум осям, то и все векторы плоскости - собственные векторы.

Теорема 2. Любые два собственных вектора, соответствующих различным собственным числам, образуют ЛНС (линейно-независимую систему).

Доказательство. Дано , . Допустим, что они были бы линейно-зависимы, то есть предположим .

Можно сначала отобразить линейным оператором, а потом представить в виде , а можно наоборот, сначала выразить через , а потом применить отображение:

тогда , то есть . Но вектор ненулевой, коэффициент тоже. Тогда , то есть , а это противоречит условию теоремы. Итак, предположение ложно, векторы не могут быть линейно-зависимы. Что и требовалось доказать.

Вывод: Вся прямая состоит из собственных векторов, соответствующих одному и тому же , там не может быть векторов, соответствующих другим числам, а также векторов, не являющихся собственными.

Теорема 3. Если является собственным вектором линейного оператора , соответствующим , то он также является собственным и для обратного оператора , и соответствует числу .

Доказательство. Если , то по определению обратного оператора . Но тогда вынесем константу:

а значит, .

Введём такие понятия: Характеристическая матрица .

Характеристическое уравнение: (вычислить определитель хар. матрицы и приравнять к 0).

Теорема 4. Число является собственным для линейного оператора, заданного матрицей , тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Покажем для матрицы 2 порядка. Запишем подробно выражение :

, тогда

Это кажется похоже не неодородную, но на самом деле это однородная система, так как справа не константы, а выражения с теми же переменными, что и слева, то есть их можно перенести все в одну сторону, и справа останутся 0, вот что получилось:

Если основная матрица такой системы невырождена, то решение только тривиальное (так как ранг равен числу переменных, и нет свободных переменных), а если вырождена, то нетривиальные решения есть.

Итак, решение существует , это и есть , так как это определитель матрицы .

Что и требовалось доказать.

Алгоритм поиска собственных векторов, следующий из этой теоремы.

1. Вычислить определитель и приравнять к нулю - получится характеристическое уравнение.

2. Решить характеристическое уравнение , найти все собственные числа. (Их будет не больше, чем n, так как уравнение порядка n, так как по диагонали n элементов).

3. Подставить каждое конкретное в характеристическую матрицу, и решить однородную систему . Таких шагов может быть n. Каждый раз надо изменить диагональ и заново решить систему!

ФСР системы это и будет собственный вектор для того .

Пример. Найти собственные числа и векторы для .

= . Далее, . Тогда уравнение .

Рещим это уравнение: . Получим .

Теперь подставим каждое и решим системы уравнений.

:

, , система: . Общее решение: , вектор .

:

, , система: . Общее решение: , вектор .

Проверка:

, .

Матрица оператора относительно нового базиса задаётся формулой

, где - матрицы оператора в старом и новом базисах, - матрица перехода к новому базису.

Идея доказательства: это образы , т.е. векторов нового базиса. Чтобы выразить их в том же новом базисе, нужно решить систему уравнений, где основная матрица это матрица перехода . А решение такой системы равносильно умножению на обратную матрицу.

Теорема 5. Если базис состоит из собственных векторов, то матрица оператора в этом базисе диагональна.

Доказательство.

, то есть 1-й столбец в матрице оператора это такие числа: .

Аналогично , то есть 2-й столбец . И т.д.

Таким образом, получится матрица оператора: .

Теорема 6. Матрица А симметрична (то есть ) выполняется свойство (Ax,y) = (x,Ay).

Доказательство. Рассмотрим это равенство для базисных векторов: . Если оно выполняется для любой пары базисных векторов, то есть для любых индексов i, j .

, как показано раньше, это i-й столбец матрицы линейного оператора. Если скалярно умножить его на , то есть на тот вектор, где все координаты 0 и только на месте j единица, - получим j - й элемент из i - го столбца, это в матрице.

Аналогично, это i - й элемент из j - го столбца, то есть .

Таким образом, эквивалентно тому, что = для всех индексов i, j.

Определение. Если для линейного оператора , для любой пары векторов верно , то называется симметрическим оператором.

Теорема 7. Собственные векторы симметрического оператора, соответствующие разным , ортогональны.

Доказательство. Дано: , пусть первый вектор собственный и соответствует , а второй . То есть верно: и . Тогда можно записать в виде , тогда , тогда . Собственные числа разные, поэтому первый множитель не равен 0, тогда . Скалярное произведение 0, векторы ортогональны.

Следствие. Для линейного оператора, матрица которого симметрична, существует ортогональный базис, состоящий из собственных векторов.

ЛЕКЦИЯ № 6. 10. 10. 2017