Глава 3. Линейные операторы.

§ 1. Линейный оператор и его матрица

В этой главе будут изучаться отображения векторных пространств.

Вспомним, что при умножении квадратной матрицы на столбец, один вектор преобразуется в другой. Получается, что квадратная матрица задаёт некоторое отображение одних векторов в другие, то есть выступает в роли функции.

Определение. Отображение называется линейным отображением (синоним: линейный оператор) если выполнены 2 условия:

1) 2) .

Умножение квадратной матрицы на вектор удовлетворяет свойствам линейности, в силу свойств умножения матриц.

Из определения напрямую следует, что всякое линейное отображение зависит только от того, куда отображаются базисные векторы: = .

Образ вектора x в итоге зависит от координат вектора x и от образов базисных векторов, то есть линейный оператор однозначно задаётся образами базисных векторов.

Докажем ещё такое свойство: L(0)=0.

Пусть 0 вектор задан в виде . Тогда: .

Строение матрицы линейного оператора.

Докажем, что образы базисных векторов расположены в столбцах матрицы, что именно при таком строении матрицы умножение её на вектор-столбец будет задано корректно, то есть оно будет действительно отображать базисные векторы в их образы.

Умножим произвольную квадратную матрицу на и : , .

Базисные векторы при умножении на квадратную матрицу отобажаются именно в такие векторы, координаты которых записаны в 1 и 2 столбце матрицы. Строение матрицы оператора: столбцы есть образы базисных векторов при данном отображении, то есть столбец номер матрицы оператора содержит вектор .

Итак, если задан какой-либо закон, по которому отображаются векторы, то чтобы задать матрицу оператора, надо найти, куда отображаются базисные векторы. Для примера, найдём матрицу оператора поворота на произвольный угол .

Расстояния r1 и r2 здесь равны и . Красным показаны образы базисных векторов. Получаем матрицу .

При получится Действие оператора на любой вектор задаётся матрицей так: - любой вектор поворачивается на 90 градусов.

При матрица будет иметь вид , и действительно, умножение на такую матрицу переводит любой вектор в , а при повороте на каждый вектор как раз и должен повернуться и стать противоположным исходному.

Оператор проекции пространства на плоскость.

Базисные векторы (1,0,0) и (0,1,0) остаются на своём месте, а (0,0,1) отображается в (0,0,0).

Матрица оператора проекции:

Каждый вектор он отображает в :

Здесь естественным образом возникает такое понятие как ядро линейного оператора. Множество векторов, которые отображаются в 0, называется ядром оператора. .

Для примера выше (проекции) ядро - это ось .

Тождественный оператор. Линейный оператор, который отображает каждый вектор в исходный, называется тождественным. I(x)=x. Ему соответствует матрица Е.

Композиция операторов. Если последовательно действуют два линейных оператора: то итоговое отображение называется композицией двух операторов. Соответственно, с помозью матриц это задаётся так: , что равно , так что композиции операторов соответствует произведение матриц.

Обратный оператор.

Определение. Если для линейного оператора L существует линейный оператор , который каждый вектор отображает обратно: , т.е. в композиции с исходным получится тождественный оператор тогда L называется обратимым, а обратным для L.

Примеры: поворот на угол - обратимый, проекция - необратимый линейный оператор. Обратному оператору соответствует обратная матрица.

Свойство. Линейный оператор является обратимым .