§ 3. Обратная матрица.

Определение. Матрица называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Определение. Пусть - квадратные матрицы. Если то называется обратной матрицей для матрицы .

Обозначение: Обратная матрица обозначается .

Замечание. Для чисел, которые являются матрицами порядка 1, обратный элемент вычисляется известным образом, например , .

Итак, . Но оказывается, что не для любой квадратной матрицы существует обратная.

Лемма. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда А невырожденная.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим . Если то , то есть существовало бы такое число, которое при умножении на 0 даёт результат 1, но это невозможно. Получили противоречие.

Формула вычисления элементов обратной матрицы: .

Алгоритм нахождения , .

1. Проверить невырожденность с помощью определителя.

2. Составить матрицу из дополняющих миноров M_ij.

3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)^i+j, где i,j - номера строки и столбца.

Получатся алгебраические дополнения A_ij.

4. Транспонировать полученную матрицу.

5. Поделить на определитель исходной матрицы.

Пример. Найти .

Решение. . Вывод: , существует обратная матрица.

Матрица из миноров: .

Матрица из алг. дополнений: .

Транспонируем её: .

Делим её на определитель, и записываем ответ: = .

Можно сделать проверку: = .

Пример. Найти обратную матрицу:

Решение. 1) . , существует .

2) Запишем матрицу, состоящую из всех возможных миноров , которых существует 9 штук: = .

3) Матрица из алгебраических дополнений: .

(т.е. в шахматном порядке изменили знаки, там где сумма номеров строки и столбца нечётна).

Транспонируем её: . Делим на определитель, равный 2, итог: = .

Докажем, что не существует различных «обратной слева» и «справа» матриц. Так как коммутативность в общем случае не выполняется, то вовсе не очевидно, что обратная матрица единственна, ведь можно предположить, что левая обратная и правая обратная - различны.

Лемма. Если и , то .

Доказательство. Пусть и . По закону ассоциативности, можно записать такое равенство: .

Но тогда получается , то есть .

ЛЕКЦИЯ № 3. 19.09.2017

§ 4. Ранг матрицы.

Для прямоугольных матриц не существует понятие определителя, однако там можно выбирать квадратные подматрицы, и для них определитель вычислить можно. Если задать какие-нибудь k номеров строк и k номеров столбцов, то на пересечениях, очевидно, получится минор из k² элементов. Он может быть вырожденным либо нет. Существует минор максимального порядка, который является невырожденным. Его порядок и называется рангом матрицы.

Определение. Порядок наибольшего невырожденного минора называется рангом матрицы.

Обозначается . Примеры:

Матрица размера ранга 2. . Здесь есть невырожденный минор порядка 2,

.

Миноры 3 порядка можно рассматривать не все, достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка.

поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден. Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак, . Цветом закрашен базисный минор.

Ранг прямоугольной матрицы размера меньше или равен, чем минимальное из чисел m, n. Причина: минор более высокого порядка в этой матрице просто не существует, ведь размер вписанного квадрата не может превышать ни длину, ни ширину прямоугольника, в который вписан этот квадрат.

Пример. Матрица ранга 1. Здесь все строки пропорциональны 1-й.

Матрица А является матрицей ранга 0 она состоит только из нулей (очевидно, что если в матрице есть хоть один элемент, не равный 0, то он уже является минором 1 порядка, то есть ранг не 0, а уже 1).

Метод элементарных преобразований для нахождения ранга.

Бывает лучше упростить матрицу, чтобы видеть, какие миноры равны 0 или не равны 0. Как и при вычислении определителей, можно прибавлять к строке другую строку, умноженную на число, то же самое со столбцами. Но при нахождении ранга даже больше возможных действий, чем при вычислении определителя: можно менять местами строки (столбцы), умножать строки (столбцы) на коэффициент. Дело в том, что соответствующие миноры в этом случае меняют знак или умножаются на с, но ведь свойство быть равными 0, либо не равными 0, от этого не меняется!

Если число , то и .

Пример.

из 2-й строки вычесть 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю.

теперь из 3-й строки вычтем 2-ю . Ниже главной диагонали получились нули.

Теперь лучше видно базисный минор порядка 3. Ранг = 3. Если бы оказалось, что последняя строка состоит из нулей, то тогда был бы ответ ранг матрицы = 2.

Ранее упоминали, что матрицы естественным путём связаны с системами векторов.

Определение. Пусть - система векторов. - константы. Тогда вектор называется линейной комбинацией векторов .

(А если все коэффициенты = 1, то это просто сумма векторов).

Пример. . Пусть коэффициенты 2 и 1. Линейная комбинация это вектор (3,4,5):

2(1,1,1)+1(1,2,3) = (3,4,5).

В пространстве, рассмотрим 3 вектора: (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1). Любой вектор 3-мерного пространства можно представить как линейную комбинацию этих трёх векторов.

* Если все коэффициенты 0, то линейная комбинация есть 0 вектор в любом случае, какими бы ни были векторы.

* Допустим, что взяты векторы (1,0) и (-1,0). Если их сложить, то получим (0,0). Видим, что бывают ситуации, когда линейная комбинация ненулевых векторов - это нулевой вектор, даже если ненулевые коэффициенты! Аналогичная ситуация, если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. В связи с этим возникает определение линейно-зависимой и линейно-независимой системы векторов.

Определение. Если из равенства следует, что , то система векторов называется линейно-независимой системой (ЛНС). Если же существует набор ненулевых коэффициентов , такой, что линейная комбинация = 0, то система называется линейно-зависимой системой (ЛЗС).

Примеры. * Если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. Коэффициенты 1,1,-1.

* если 2 вектора коллинеарны, то они образуют ЛЗС.

* если нулевой вектор принадлежит системе, то она ЛЗС. Это доказывается так: коэффициент при 0-векторе может быть любым числом, т.к. он всё равно не влияет на сумму векторов, а значит, существует набор коэффициентов, в котором не все нули, и значит, формально по определению такая система векторов ЛЗС.

Теорема. Система линейно зависима хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

Необходимость. Если система ЛЗС, то , при этом хотя бы при каком-то векторе ненулевой коэффициент, тогда это слагаемое можно перенести в другую сторону и разделить всё равенство на этот коэффициент. Для определённости, например, пусть это будет n-й коэффициент. Тогда

, и , последний вектор выражен через остальные.

Достаточность. Если какой-то вектор выражен через остальные, его можно перенести в другую сторону равенства, ко всем остальным векторам, то есть в записи ему будет соответствовать коэффициент (-1).

Так, если выражен 1-й вектор, то , тогда . Получается, что ненулевой набор коэффициентов есть, а значит, система ЛЗС.

Определение. Максимальная линейно-независимая подсистема называется базисом системы векторов, а число векторов в ней - рангом системы векторов.

Пример. Если в плоскости есть 2 неколлинеарных вектора, и добавлены 100 векторов в той же плоскости, r = 2.

* 3 вектора, из которых 2 коллинеарны. Ранг = 2.

* 3 вектора, из которых все 3 коллинеарны. Ранг = 1.

Как видим, было 2 подхода к понятию ранга: ранг системы (число векторов в максимальной независимой подсистеме) и ранг матрицы (порядок наибольшего невырожденного минора). На самом деле, не случайно используется одно и то же слово: если матрицу мысленно разрезать на строки, будет система векторов, и у неё ранг точно такой же, как был у исходной матрицы. Аналогичное верно и для системы столбцов.

Теорема (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен рангу системы её строк (столбцов).