Определение модуля сдвига методом крутильных колебаний

Цель работы

Экспериментальное определение модулей сдвига различных материалов методом крутильных колебаний.

Идея эксперимента

Крутильный маятник представляет собой стержень или проволоку, верхний конец которой закреплен. К нижнему концу проволоки подвешивается тело произвольной формы. Если закрутить проволоку, т.е. вывести маятник из положения равновесия, то в системе возникнут крутильные колебания j(t). Очевидно, что период этих колебаний зависит от геометрии системы, от момента инерции подвешенного тела и от упругих свойств материала подвеса. Это позволяет, изучая крутильные колебания, определить одну из важнейших характеристик материала, – модуль сдвига.

Теория

Если момент пары сил, приложенных касательно к незакрепленному концу проволоки, равен М, то угол кручения (угловое смещение колебательной системы) по закону Гука оказывается равным j = сМ, где с – коэффициент, зависящий от упругих свойств материала проволоки. Модуль кручения f, равный

, (13.1)

показывает, какой момент сил надо приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в один радиан.

Модуль сдвига G равен

, (13.2)

где F/S определяет величину касательной силы, приходящейся на единицу поверхности, а g - угол сдвига (рис. 28).

Между модулем кручения и модулем сдвига материала существует простое соотношение

, (13.3)

где r – радиус цилиндрической проволоки, L – ее длина.

Подвешенное на проволоке твердое тело при возникновении в системе крутильных колебаний совершает вращательные движения, к которым может быть применен основной закон динамики вращательного движения

, (13.4)

где M – вращательный момент относительно оси подвеса, J – момент инерции тела относительно той же оси, - угловое ускорение. Используя (13.1) и учитывая, что угловое ускорение направлено против углового смещения j, можно записать

. (13.5)

Из этого уравнения видно, что в рассматриваемом движении ускорение пропорционально угловой координате - смещению j и направлено противоположно ему, что является существенным признаком гармонического колебания , где w₀ – циклическая частота. Поэтому w₀ должен быть равен

, (13.6)

где Т – период колебаний.

Далее

, (13.7)

откуда

. (13.8)

Экспериментальная установка

В данной работе крутильный маятник представляет собой штангу Ш, подвешенную на проволоке А (рис. 29). Верхний конец проволоки закреплен с помощью винта В в держателе Д. Для выведения маятника из положения равновесия, т. е. для первоначального закручивания проволоки служит пусковое устройство П. Вдоль штанги могут перемещаться два груза Г одинаковой массы m. Изменяя расстояния l от грузов до центра штанги, можно изменять момент инерции маятника, а вместе с этим и период колебаний маятника.

Для того, чтобы из выражения (13.8) найти модуль кручения f материала проволоки, необходимо исключить неизвестный момент инерции J. Для этого в работе определяются два периода колебаний маятника при разных моментах инерции

, (13.9)

откуда

. (13.10)

Момент инерции крутильного маятника складывается из моментов инерции грузов 2ml² и суммарного момента инерции штанги и проволоки j

. (13.11)

Для исключения j вычтем J₁ из J₂

. (13.12)

Подставляя сюда из соотношения (13.10) значение , получаем

. (13.13)