11 Класс

1. Ответ: 240, 6.

Обозначим через N количество яблок у Василия, через n – количество друзей Василия, которое пришло к нему вначале, через k – количество яблок, которое досталось каждому другу вначале. Мы можем написать три уравнения:

1. N = nk пока не подошли два последних друга;

2. N = (n + 1) (k – 12) до того, как подошел последний друг;

3. N = (n + 2) (k – 12 – 8) после того, как подошли все друзья.

Раскроем скобки:

1. N = nk

2. N = nk – 12n + k – 12

3. N = nk – 20n+ 2k – 40

Отсюда получаем:

1. – 12n+ k – 12 = 0

2. – 20n + 2k – 40 = 0

Из первого уравнения k = 12n + 12, подставляем k во второе уравнение: – 20n + 2 (12n+ 12) – 40 = 0 4n – 16 = 0 n = 4. Итак, вначале к Василию пришло 4 друга, т.е. всего у него в конце было 6 друзей.

Найдем количество яблок у Василия: k = 12n + 12 = 60, N = nk = =240.

2. Ответ: 20.

Пусть в турнире участвовало n шахматистов. Тогда каждый из них сыграл ровно n – 1 партий. Поскольку все партии, кроме одной, каждый шахматист завершил вничью, то каждый из них сделал n – 2 ничьи. Тогда общее число ничейных партий равно , так как в каждой партии участвуют два шахматиста. С другой стороны, общее число ничьих равно 180. Таким образом, имеем уравнение , или . Решая полученное квадратичное уравнение, находим два значения: . Последнее значение не подходит, так как – натуральное.

3. Ответ: 30 м.

Пусть DE – радиомачта, отрезки DA, DB, DC перпендикулярны DE,

угол DAE=, угол.DBE=, угол DCE= . DA=30, DB=60, DC=90. Нужно найти х=DE при условии, что ++=90º.

.

С другой стороны,

Получилось уравнение Отсюда k =1 и х= 30·tg =30k = 30.

4. Ответ: 22,5º, 67,5º и 90º

Пусть в треугольнике ABC высота BH, биссектриса BK и медиана BM делят угол B на четыре равные части, по xº каждый (точки М и K лежат между С и Н). Пусть S – середина AB. По свойству медианы прямоугольного треугольника, угол SHB также равен xº. SM – средняя линия треугольника АВС, она параллельна BC, и, значит, угол SMB также равен xº (углы CBМ и SMB – накрест лежащие). Из равенства углов SMB и SHB следует, что точки S, H, M и B лежат на одной окружности (углы SMB и SHB опираются на отрезок BS). Но угол BHM – прямой, т.е. ВМ – диаметр; значит, прямым будет и угол BSM (а, значит, и угол B – из параллельности SM и BC).

Итого: 4x = 90^о, x = 22,5^о; A= 90^о – 22,5^о = 67,5^о.

5. В кубе рассмотрим 4 вершины – они являются вершинами правильного тетраэдра со стороной , где a = 7 – ребро куба. Поскольку , рассмотрим подобный тетраэдр с коэффициентом подобия , т.е. совершим гомотетию с центром в центре куба и данным коэффициентом подобия. Получим четыре вершины нового тетраэдра внутри куба. Поскольку цветов у пластилина три, хотя бы две вершины этого тетраэдра будут одного цвета.