Решения задач

9 Класс

1. Ответ: сыну 12 лет, отцу 36 лет.

Пусть сыну в настоящее время у лет, тогда отцу сейчас 3у лет. Когда отцу было 27 лет, сыну лет. Разница в годах одинаковая, составим уравнение: у = 12.

Замечание. Необоснованный ответ – 0 баллов.

2. Ответ: .

Прибавим к обеим частям равенства 2ас, получим а² + с² + 2 ас = 6ас,

( а + с)² = 6ас. Теперь вычтем из обеих частей исходного равенства 2ас:

а² + с² – 2 ас = 2ас, (а – с )² = 2ас. Поэтому , , откуда, с учетом условия а > с > 0, получаем: = .

3.

1) R=ОА=ОВ=ОK=ОМ, по условию, при основаниях в равнобедренных треугольниках, , следовательно, и – равносторонние.

2) , KО=ОМ, следовательно, – равносторонний.

3) Разделим круг на шесть равных частей, одна из которых – сектор ОKМ, его площадь равна площади круга .

4) Найдем площадь искомой фигуры .

, ,

Ответ: .

4. Ответ: 10125, 2025, 30375, 405, 50625, 6075, 70875.

Пусть искомое число имеет (в десятичной записи) вид a0b, где числа a и b не содержат нулей, число b – n-значное. По условию, a0b =9ab или a10ⁿ⁺¹+b=9·(a10ⁿ + b). Отсюда a·10ⁿ=8·b, и, т.к. b < 10ⁿ , то a < 8. Значит, a – цифра от 1 до 7. Поделив число «a с нулями» на 8, найдем b (количество нулей при этом определится автоматически, в записи b нулей нет).

Замечание. Правильный ответ (без обоснования отсутствия других решений) – 2 балла. Частичный ответ – 1 балл.

5. Ответ: у второго игрока. 

Второй игрок должен мысленно разбить все карточки на пары: (2, 3), (4, 5), . . . , (98, 99), (100, 1). И если первый игрок выкладывает карточку из какой-то пары, то второй игрок выкладывает в тот же столбец вторую карточку из этой же пары. В результате в каждом столбце будут выложены карточки из каких-то пяти пар, и наименьшим в столбце окажется число, которое было наименьшим в одной из пар. Но наименьшие числа во всех парах, кроме (100, 1) – четные, а наименьшее число в «исключительной» паре – 1. Понятно, что 1 обязательно окажется отмеченным числом. Следовательно, в конце игры будет отмечено 9 четных чисел и одно нечетное и второй игрок выиграет.

10 Класс

1. Ответ: 25.

Пусть первоначальное число станков было х, а число оставшихся станков – у. По условию задачи составим уравнение

х ∙ которое преобразуем к виду х = Чтобы получить наименьшее значение х, необходимо выбрать знаменатель 100 – у наибольшим. Перебирая все делители числа 10000, меньшие 100, получим число 80. Следовательно, 100 – у = 80, откуда у = 20. Тогда х = 25.

2. Ответ: 108 пустых коробок.

Пусть положили 10х средних коробок и 10т маленьких коробок. Число всех коробок равно 9 + 10х + 10т, что по условию задачи равно 119.

9 + 10х + 10т = 119, х + т = 11.

Известно, что занято х больших коробок и т средних, а значит, 11 коробок

(х + т = 11). Тогда пустых коробок было 119 – 11 = 108 коробок.

3. Обозначим через О точку пересечения диагоналей четырехугольника. Так как точка X лежит на срединном перпендикуляре к отрезку BD, то треугольник BXD равнобедренный. Аналогично, треугольник AYC тоже равнобедренный. Тогда, , . Так как прямые BX и CY параллельны, то как внутренние односторонние. Следовательно, , откуда , что означает, что .

4. Ответ: 5 или 10.

Пусть в турнире участвовало n десятиклассников. Так как в каждой партии всего разыгрывается одно очко, то девятиклассники в игре между собой вместе набрали 1 очко, и, следовательно, 5 очков набрали в играх с десятиклассниками. Тогда все десятиклассники суммарно набрали очков в играх между собой и 2n – 5 очков в играх с двумя девятиклассниками. По условию, все десятиклассники набрали одинаковое число очков, то есть, число кратно n. Последнее означает, что число целое. Если n нечетно, то (n – 1) – четно, и, следовательно, 5 делится на n, то есть

n = 1 или n = 5. Значение n = 1 не подходит, так как общее число набранных очков десятиклассниками не может быть отрицательным. Пусть n четно, то есть n = 2k. Тогда = . Следовательно, – целое, а значит, 5 делится на k, откуда k = 1 или k = 5. Значение k = 1 не подходит, так как девятиклассники не могли набрать 5 очков в игре с двумя десятиклассниками. Таким образом, для n имеем два значения: 5 и 10. Проверкой легко убедиться, что оба значения подходят.

5. Ответ: у второго игрока. 

Второй игрок должен мысленно разбить все карточки на пары: (2, 3), (4, 5), . . . , (98, 99), (100, 1). И если первый игрок выкладывает карточку из какой-то пары, то второй игрок выкладывает в тот же столбец вторую карточку из этой же пары. В результате в каждом столбце будут выложены карточки из каких-то пяти пар, и наибольшим в столбце окажется число, которое было наибольшим в одной из пар. Но наибольшие числа во всех парах, кроме (100, 1) – нечетные, а наибольшее число в «исключительной» паре – 100. Понятно, что 100 обязательно окажется отмеченным числом. Следовательно, в конце игры будет отмечено 9 нечетных чисел и одно четное и второй игрок выиграет.