Основной вариант условия задач

9 Класс

1. Сына спросили, сколько ему лет. Он ответил: «Когда отцу было 27 лет, то мне исполнилось лишь того числа лет, которые я прожил теперь, когда стал втрое моложе отца». Сколько лет сыну теперь?

2. Известно, что а² + с² = 4ас и а > с > 0. Вычислите

3. На диаметре круга радиуса R, как на стороне, построен равносторонний треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне круга.

4. Найдите все натуральные числа, десятичная запись которых содержит ровно один нуль, такие, что при вычёркивании этого нуля число уменьшается в 9 раз.

5. Есть таблица 10х10 и карточки с числами от 1 до 100. Двое игроков по очереди кладут по одной карточке на свободные клетки таблицы. Когда все карточки разложены, игроки отмечают в каждом столбце наименьшее число и находят сумму всех отмеченных чисел. Если эта сумма четна, выигрывает первый игрок, а если нечетна – второй. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?

10 Класс

1. В цехе работало несколько станков. После реконструкции количество станков сократилось, причем число процентов, на которое уменьшилось число станков, оказалось равным числу оставшихся станков. Какое наименьшее число станков могло быть в цехе до реконструкции?

2. Имеется 9 пустых больших коробок. В некоторые из них положили по 10 пустых средних коробок, а в некоторые средние – по 10 пустых маленьких. Всего оказалось 119 коробок. Сколько среди них было пустых коробок?

3. Дан выпуклый четырехугольник . Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причем X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.

4. В шахматном однокруговом турнире, где каждый участник играет с каждым другим один раз, участвовало два девятиклассника и некоторое число десятиклассников. Два девятиклассника вместе набрали 6 очков, а каждый десятиклассник набрал одно и то же число очков. Сколько десятиклассников участвовало в турнире? (За победу в шахматной партии дается одно очко, за ничью – пол очка, за поражение – ноль очков)

5. Есть таблица 10х10 и карточки с числами от 1 до 100. Двое игроков по очереди кладут по одной карточке на свободные клетки таблицы. Когда все карточки разложены, игроки отмечают в каждом столбце наибольшее число и находят сумму всех отмеченных чисел. Если эта сумма четна, выигрывает первый игрок, а если нечетна – второй. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?

11 Класс

1. У Василия было много яблок, и он решил отдать их своим друзьям. Когда друзья пришли, он распределил яблоки между ними, причем всем досталось поровну. Неожиданно подошел еще один друг, яблоки пришлось перераспределить, и опять всем досталось поровну, но теперь на 12 штук меньше, чем в прошлый раз. Когда подошел еще один друг, яблоки снова перераспределили, опять всем досталось поровну, но в этот раз еще на 8 штук меньше. Сколько яблок было у Василия и сколько в конце концов к нему пришло друзей?

2. В шахматном турнире каждый шахматист сыграл с каждым по одному разу и каждый шахматист все партии, кроме одной, завершил вничью. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если всего было зафиксировано 180 ничьих?

3. Вася захотел узнать, чему равна высота радиомачты. Для этого он измерял углы, под которыми видна радиомачта с поверхности земли на расстояниях 30, 60 и 90 метров от её основания. Оказалось, что сумма этих трёх углов равна 90^◦. Помогите Васе найти высоту радиомачты.

4. Медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины треугольника, делят угол при этой вершине на четыре равные части. Найдите углы треугольника.

5. У Пети скопилось много кусочков пластилина трех цветов, и он плотно заполнил пластилином полый куб со стороной 7 см. так, что в кубе не осталось свободного места. Докажите, что внутри куба найдутся две точки одного цвета на расстоянии ровно 9 см. друг от друга.