2.4 Сферическое движение твердого тела

Сферическое движение тела или вращение тела вокруг неподвижной

точки – движение, при котором одна точка тела остается неподвижной.

Первое название связано с тем, что все точки тела движутся по поверхностям сфер, общий центр которых совпадает с неподвижной точкой.

Уравнения сферического движения. Углы Эйлера

Твердое тело с одной закрепленной точкой О имеет три степени свободы. В качестве трех параметров, определяющих положение такого тела относительно неподвижной системы координат Оx1y1z1, могут быть выбраны углы Эйлера, которые вводятся следующим образом.

Свяжем жестко с телом подвижную систему координат Оxyz .

Плоскость xОy пересекается с неподвижной плоскостью x1Оy1 вдоль прямой ON , которая называется линией узлов. Угол Ψ между осью Оx1 и линией узлов называется углом прецессии. Угол φ между линией узлов и осью Оx называется углом собственного вращения. Угол θ между осями Оz1 и Оz называется углом нутации. Направления отчета углов показано на рис.36

Рис. 36

Задание трех углов Эйлера для тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, как функции времени, является необходимым и достаточным для полного описания такого движения.

ψ = f₁(t), φ = f₂(t), Θ = f₃(t) – уравнения сферического движения тела (39)

Если эти уравнения заданы, то в любой момент времени известно положение тела относительно системы координат Ox₁y₁z₁.

Скорость точки тела при сферическом движении твердого тела

Положение точки М определяется радиусом - вектором r = x ∙ + y ∙ + ∙ , где x , y , z – координаты точки М в подвижной системе координат Охуz , которые не изменяются при движении тела, а единичные векторы осей этой системы , , будут функциями времени, так как система Оxyz движется вместе с твердым телом. Введем в рассмотрение вектор , который входит в формулы Пуассона (эти формулы примем без доказательства).

, , . (40)

Скорость точки М определяется по формуле

. (41)

Используя формулы Пуассона, имеем . (42)

Преобразуя правую часть этого выражения, получим

, или окончательно .

Сравнивая полученную формулу с формулой для определения скорости точки при вращательном движении тела, делаем вывод, что по написанию они идентичны. Тогда по аналогии с вращательным движением тела назовем вектор мгновенной угловой скоростью при сферическом движении тела.

Геометрическое место точек, скорости которых равны нулю, определяются из уравнения , представляющего собой условие коллинеарности векторов и .

Запишем что это уравнение в системе координат Oxyz , для этого представим векторное произведение в виде символического определителя третьего порядка

Откуда , ,

Окончательно (43) – эти уравнения определяют прямую линию, в каждой точке которой скорости точек тела в данный момент времени равны нулю. Эта прямая называется мгновенной осью скоростей (МОС).

Теорема о распределении скоростей точек

Скорости точек тела при сферическом движении в данный момент таковы, как если бы, начиная с данного момента времени, тело стало вращаться вокруг мгновенной оси скоростей с угловой скоростью .

, модуль скорости ; , где d- расстояние точки до мгновенной оси скоростей (рис. 37).

Вектор скорости точки М перпендикулярен плоскости, проходящей через ее радиус-вектор и мгновенную угловую скорость, и направлен в ту сторону, откуда виден воображаемый поворот на наименьший угол от вектора к вектору против хода часовой стрелки.

Модули скоростей точек тела при сферическом движении прямо пропорциональны расстояниям их до мгновенной оси скоростей.

Рис. 37

Мгновенное угловое ускорение при сферическом движении тела

Мгновенное угловое ускорение тела равно производной от угловой скорости по времени.

.

Направление не совпадает с в отличие от вращательного движения тела, при котором и направленны по оси вращения. Условимся угловое ускорение тела изображать вдоль прямой, проходящей через неподвижную точку О.

Пусть , т.е. точка К - конечная точка вектора (рис 38).

Рис. 38

Продифференцируем по времени это выражение или . (44) Эта формула выражает теорему Резаля: угловое ускорение тела равно скорости конечной точки вектора .

Частный случай. Пусть ω = const, но изменяется направление вектора , тогда точка K описывает окружность. Вектор направлен по касательной к окружности радиуса ω.

Ускорение точки тела при сферическом движении

Известно, что скорость точки М при сферическом движении тела определяется по формуле . Продифференцируем по времени обе части выражения.

Получим , где ,

тогда , (45) где – вращательное ускорение точки. Направленно это ускорение перпендикулярно плоскости векторов и в ту сторону, откуда кратчайший поворот от вектора к вектору виден против хода часовой стрелки (рис.39).

Его модуль , - осестремительное ускорение точки всегда направленно от точки по перпендикуляру к мгновенной оси скоростей. Его модуль . . (46)

Рис. 39

Ускорение точки твердого тела при сферическом движении равно геометрической сумме вращательного и осестремительного ускорений.

Сферическое движение тела можно представить как совокупность вращательных движений.

Например, качение конуса с закрепленной вершиной по плоскости без скольжения можно представить как совокупность собственного вращения с угловой скоростью вокруг оси симметрии и вращения этой оси вокруг оси, перпендикулярной к плоскости с угловой скоростью .Мгновенная ось скоростей совпадает с образующей конуса, которая касается неподвижной плоскости (рис. 40) .

Рис. 40

- угловая скорость прецессии, - угловая скорость собственного вращения.

Примем без доказательства, что мгновенная угловая скорость тела равна геометрической сумме угловых скоростей: = + . (47)