1.4 Теорема о разложении ускорения точки по естественным осям

Ускорение точки при движении по любой траектории равно сумме касательного и нормального ускорений.

(рис. 8), .

Рис. 8

Доказательство.

Известно, что . Определяем ускорение точки как производную от скорости по времени

(24)

где первое слагаемое – касательное ускорение точки.

Определим величину и направление вектора .

B

При движении точки из положения в произошло приращение вектора за промежуток времени , т.е. , дуга равна приращению естественной координаты ( ) (рис. 9).

M

ε

A

Рис. 9

Вычислим

В полученном выражении определим модуль вектора . Из равнобедренного треугольника MAB (рис. 9) найдем , , тогда

где кривизна кривой в точке M.

Из дифференциальной геометрии известно, что следовательно, .

Покажем, что перпендикулярен . Для этого скалярное произведение продифференцируем по

или

Скалярное произведение двух, отличных от нуля, векторов равно нулю, если они перпендикулярны. Таким образом, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен к касательной, т.е. он направлен по главной нормали.

Вектор .

Итак, в выражении (24) , приведенном в начале доказательства теоремы, определены обе слагаемые.

Теорема доказана.

1.5 Классификация движений точки по ускорениям

1. - движение неравномерное, прямолинейное.

2. - движение равномерное, криволинейное.

Равномерным называют движение точки, при котором модуль скорости не изменяется.

3. - движение равномерное, прямолинейное.

4. - движение неравномерное, криволинейное.

1.6 Частные случаи движения точки

1. Равномерное движение точки

Закон равномерного движения точки:

2. Ускоренное и замедленное движение точки

Ускоренным называют такое движение точки, при котором модуль скорости возрастает, при замедленном модуль скорости убывает.

Если модуль скорости возрастает, то и квадрат модуля скорости возрастает, но . Вычисляя производную по времени от , получим но производная от возрастающей функции больше нуля, тогда т.е. знаки у скалярной скорости и скалярного касательного ускорения одинаковые. При замедленном движении , т.е. знаки у названных кинематических величин противоположные.

Полученные результаты приведем в таблице 1.

Таблица 1

Достаточные признаки ускоренного и замедленного движений точки

			Характер движения
З н а к	+ - + -	+ - - +	ускоренное ускоренное замедленное замедленное

Получим геометрические признаки ускоренного и замедленного движений точки, для этого продифференцируем по времени скалярное произведение

При возрастании модуля скорости больше нуля, при убывании модуля скорости меньше нуля. Представим полученные результаты на рис. 10 (движение точки ускоренное) и рис. 11 (движение точки замедленное).

Рис. 10

Рис. 11

3. Равнопеременное движение точки

Равнопеременным называют такое движение точки, при котором модуль скорости за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину.

При этом движении

- закон изменения скалярной скорости при равнопеременном движении точки, график его изображен на рис. 12

Рис. 12

- закон равнопеременного движения точки, (рис.13).

Рис. 13

Движение точки по окружности Дано: (рис.14). Определить: . Решение.

Рис. 14

где - скалярная угловая скорость поворота радиуса.

– скалярное угловое ускорение поворота радиуса.

где µ - угол наклона ускорения точки к радиусу.