Кинематика

Как уже говорилось во введении, кинематика занимается описанием движений материальных точек, абсолютно твердых тел и механических систем без рассмотрения причин, вызывающих изменения характеристик их движения. В кинематике не рассматриваются силовые факторы - силы и пары сил, учет которых необходим для прогнозирования поведения изучаемых объектов, этим занимается динамика. В кинематике же изучается движение тел как таковое, разрабатывается математический аппарат, позволяющий описать их движение исчерпывающим образом.

В качестве движущихся объектов, как уже было сказано, рассматриваются материальная точка, абсолютно твердое тело, а также любые комбинации из них (кинематические механизмы).

Введем несколько определений.

Система отсчета – совокупность неподвижных друг относительно друга неподвижных тел, относительно которых рассматривается движение других тел.

Примеры различных систем отсчета:

• условно неподвижная система, связанная с положением Солнца, или гелиоцентрическая система, относительно которой движутся планеты и Земля;

• связанная с Землей система отсчета, относительно которой перемещаются корабли, самолеты, автомобили, поезда, люди и т.д.;

• система отсчета, связанная с движущимся поездом, относительно которого, например, перемещаются пассажиры, вращаются колеса поезда и т.д.

С системой отсчета принято связывать систему координат, позволяющую количественно описывать местонахождение различных тел в этой системе и их движение.

Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.

1. Кинематика точки

Точка является наиболее простым  объектом,  изучаемым в кинематике. Кроме того, абсолютно твердое тело, механизм или любой другой объект можно рассматривать как некую совокупность точек. Поэтому описание движения точки является основой для изучения движения других объектов.

Определим следующее понятие: траектория движения материальной точки – это кривая, которую описывает материальная точка при своем движении (рис.1).

 

OOO

Рис.1

В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение точки. 

Изучение движения точки в кинематике  связано с отысканием её траектории, а также определением скорости и ускорения в любой момент времени.

 

 Задать движение точки – указать способ, с помощью которого можно определить её положение в данной системе отсчета для любого момента времени.

                        

1.1 Способы задания движения точки

Рассмотрим последовательно три способа задания движения точки:

- векторный;

- координатный;

- естественный.

Векторный способ задания движения точки

Соединим начало координат с движущейся по траектории материальной точкой М отрезком , называемый радиус-вектором точки М (рис.1). Положение точки М будет определено, если известен в любой момент времени радиус-вектор как функция времени. Эта функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой по времени

.

(1)

Геометрическое место концов векторов (t), называется также годографом вектора _.

Координатный способ задания движения точки

Поскольку точка приложения радиус-вектора совпадает с началом отсчета в декартовой системе координат, проекции r_x, r_y, r_z её радиус-вектора равны декартовым координатам точки (рис.1):

x = r∙cos α = , y = r∙cos β = , z = r∙cos γ = .

(2)

Таким образом, для установления положения точки в пространстве достаточно задать зависимости координат точки от времени:

x=x(t), y=y(t), z=z(t).

(3)

Зависимости (3) представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Между векторным и координатным способами задания движения можно установить векторную связь:

,

(4)

где , , - орты осей декартовой системы отсчета.

В аналитической форме такая связь устанавливается следующими соотношениями:

(5)

Естественный способ задания движения точки

Чтобы задать движение точки естественным способом, необходимо:

1) задать траекторию точки,

2) выбрать начало отсчета дуг на траектории,

3) задать положительное и отрицательное направления отсчета дуг,

4) задать закон, выражающий зависимость естественной координаты S от времени: S(t) – закон движения точки.

Под естественной координатой S понимают расстояние, отсчитанное по дуге траектории в соответствующем направлении (рис.2).

Рис.2

σ – пройденный точкой путь, отсчитывается также по дуге траектории, но в отличие от естественной координаты S это монотонно возрастающая величина.