3. Гипербола

А Жазықтықтағы фокус деп аталатын екі нүктеден қашықтықтарының айырымы әрқашанда тұрақты шама ға тең болатын нүктелердің геометриялық орнын гипербола деп атайды.

F₁F₂=2c және 2а<2с (а<с) болғандықтан, квадраттар айырмасын деп белгілейміз. Сонымен гиперболаның канондық теңдеуін аламыз:

()

Гипербола координата остеріне қарағанда симметриялы.

Олай болса гиперболаның төбелері: , .

гиперболаның нақты осі деп, ал нақты жарты осі деп аталады.

Гипербола ордината осімен қиылыспайды, сондықтан гиперболаның жорамал осі деп, жорамал жарты осі деп аталады.

А Егер қисықтың нүктесі ақырсыз алыстаған сайын сол нүкте мен белгілі бір түзуге дейінгі қашықтық нолге ұмтылса, онда бұл түзу қисықтың асимптотасы деп аталады.

Көлбеу асимптота бұрыштық коэффициенттерімен берілген түзу теңдеуімен беріледі: .

Гиперболаның координаталар басынан өтетін екі асимптотасы бар: .

Егер гиперболаның жарты остері тең болса ( ), онда ол тең қабырғалы гипербола.

Гипербола директрисасы эллипстікі тәрізді теңдеулерімен анықталады.

Гиперболаның эксцентриситеті болғандықтан, директрисасы , яғни директрисалар төбенің арасында жатады.

(оң фокальдық радиус векторы)

(сол фокальдық радиус векторы)

Егер гипербола фокустары Оу осінде орналасқан болса, онда оның теңдеуі мына түрде болады және эксцентриситеті .

және  түйіндес гиперболалар.

Мысал

1. гиперболаның теңдеуі берілген. Табу керек:

1) Оның жарты осьтерінің ұзындығы

2) Фокустарының координатасын

3) Гипербола эксцентриситетін

4) Асимптота теңдеуі мен директрисасын

5) нүктесінің фокальдық радиусын

Шешуі: Берілген теңдеуді түріне келтіреміз.

1) яғни

2) яғни

3)

4) ,

5) болғандықтан М нүктесі оң жақ тармағында жатады

Мысал гиперболаның теңдеуі берілген. Табу керек:

1. жарты остерін;

2. фокусын;

3. эксцентриситетін;

4. асимптота теңдеуін;

5. директриса теңдеуін.

1) Гиперболаның канондық теңдеуі . Осыдан жарты остері;

₂₎ Сонда фокустары: мен

3) эксцентриситеті;

4) асимптоталары;

5) директрисалары.

4.Парабола

А Белгіленген нүктеге дейінгі және осы нүкте арқылы өтпейтін берілген түзуге дейінгі қашықтықтары тең болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орны парабола деп аталады.

Б елгіленген нүкте параболаның фокусы, берілген түзу параболаның директрисасы деп аталады.

- теңдеу параболаның канондық теңдеуі.

Парабола координаталар бас нүктесі арқылы өтеді(х=0 y=0). Бас нүкте парабола төбесі болады.

Егер , онда , парабола тек оң жарты жазықтықта болады.

Егер , онда , парабола тек теріс жарты жазықтықта болады.

Егер , онда және параболаның тармақтары жоғары бағытталған.

Егер , онда және параболаның тармақтары төмен бағытталған.

Парабола эксцентриситеті ,

-фокусы, - директрисасы.

параболасының фокальдық радиус векторы : ; ( >0)

Функцияның қасиеттері.

. Жұп және тақтығы Егер теңдігі орындалатын болса, функциясы жұп деп, егер теңдігі орындалатын болса, функциясы тақ деп аталады. Егер бұл екі теңдікте орындалмаса, онда функция жұп та емес, тақ та емес. Тақ функцияның графигі координаталар басы 0_х бойынша симметриялы, жұп функциясының графигі 0_у бойынша симметриялы .

М ысалы, функциясының х нүктесіндегі мәнін табамыз: , олай болса бұл функция жұп та емес, тақ та емес. Мұны жалпы түрдегі функция деп атайды. Жалпы түрдегі функциялар жұп және тақ функцияларға қарағанда көп кездеседі.

Тақ функциясының графигі Жұп функцияның графигі

координаталар бас нүктесі О(,) Оу осі бойынша симметриялы.

бойынша симметриялы.

. Периодтылығы

А функциясы Т периодты деп аталады, егер әрбір үшін теңдігін қанағаттандыратын Т>0 саны табылатын болса және болса.

Мысалы, , функцияларының периоды , яғни , .

. Монотондылығы

А . Аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келсе, онда f( х) функциясы өспелі деп аталады, яғни х ₁ < х ₂ үшін f( х₁) < f( х₂)

А. Аргументтің үлкен мәніне функцияның кіші мәні сәйкес келсе, онда f( х) функциясы кемімелі деп аталады, яғни х₁ < х₂ үшін f( х₁) > f(х₂) .

функциясы берілген.

Егер кезкелген х_, х_ D, үшін болса,

о нда функциясы кемімейтін деп аталады.

Егер кезкелген х_, х_ D, үшін болса, онда функциясы өспейтін деп аталады.

Функцияның туындысы

А. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нөлге ұмтылғандағы шегі функцияның туындысы деп аталады және былай белгіленеді:

Туындының механикалық мағынасы: жолдан уақыт бойынша алынған туынды кез келген уақыттағы қозғалыс жылдамдығын береді.

Туындының геометриялық мағынасы: нүктесіндегі туынды осы нүктеге жүргізілген жанаманың осіне көлбеу бұрышының тангенсіне тең, яғни көлбеудің бұрыштық коэффициенті.

Функцияның дифференциалдануы.

1-А. Берілген функциядан туынды табу амалы функцияны дифференциалдау деп аталады.

кесіндісінде функциясы берілсін.

2-А. Егер нүктесінде

туындысы бар болса, онда функциясын нүктесінде дифференциалданады деп айтады.

Егер функциясы кесіндінің кез келген нүктесінде дифференциалданса, онда функцияны кесіндіде дифференциалданады деп айтады.

Айқындалмаған функцияның туындысы

Аргумент пен функция арасындағы тәуелділік арқылы шешілмеген теңдеу түрінде берілсін делік. Мұндай тәуелділік -і -тің айқындалмаған функциясы түрінде анықтайды: (*)