Ранг матрицы

В матрице А размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначается rang А, или r(А).

Из определения следует:

а) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. ;

б) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. ;

в) для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5. Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

, (15)

где , ; .

Замечание. Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен r так как имеется минор r-го порядка, не равный нулю:

,

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , если В - квадратная матрица и ;

6) , где п - число столбцов матрицы А или строк матрицы В.

В матрице А обозначим ее строки следующим образом:

; , … .

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы:

, если , .

Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:

;

.

Строка е называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

, (16)

где - любые числа.

Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

, (17)

где .

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы дна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Если линейная комбинация строк (17) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. , то строки называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки {столбцы). Их называют базисными.

Теорема о ранге матрицы играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности при исследовании систем линейных уравнений.

8

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ