Определители квадратных матриц

Определитель квадратной матрицы – это число, характеризующего эту матрицу. Он обозначается или .

Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется число, определяемое по формуле: .

Например, пусть , тогда .

Определителем матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

(3).

Произведения и называются членами определителя второго порядка.

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

.

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

(4).

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу (4), легко запомнить, пользуясь схемой (рис. 1), которая называется правилом Сарруса.

Для того чтобы ввести понятие определителя более высокого порядка, потребуются некоторые дополнительные понятия.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:

.

Из общего числа элементов этой матрицы выберем набор, содержащий n элементов, таким образом, чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Например, наборы элементов или соответствуют главной и побочной диагоналям матрицы.

Любой такой набор можно упорядочить, записав сначала элемент из 1-й строки, затем из 2-й и т.д., т.е.

. (5)

Номера столбцов образуют при этом перестановку J из n чисел: 1, 2, ..., n. Всего существует различных перестановок из n.

Введем понятие беспорядка, или инверсии, в перестановке J. Это наличие пары чисел, в которой большее число предшествует меньшему. Например, в перестановке из трех чисел J=(2; 1; 3) имеется одна инверсия (2; 1), а в перестановке J=(3; 2; 1) - три: (3; 2), (3; 1), (2; 1). Обозначим через r(J) количество инверсий в перестановке J.

Возвращаясь к наборам (5) из элементов матрицы А, мы можем каждому такому набору поставить в соответствие произведение его элементов:

. (6)

и число r(J), равное количеству инверсий в перестановке из номеров соответствующих столбцов.

Определителем квадратной матрицы п-го порядка, или определителем п-го порядка, называется число, равное алгебраической сумме членов, каждый из которых является произведением п элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как где r(J) - число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания:

(7)

где сумма берется по всем перестановкам J.

Заметим, что с ростом n резко увеличивается число членов определителя ( ), поэтому даже для n = 4 использование формулы (7) весьма трудоемко (получим 24 слагаемых).

На практике при вычислении определителей высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка.

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-гo столбца.

Каждая матрица n-го порядка имеет миноров (n-1)-го порядка. Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком :

, (8)

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) - четное число, и отличается от минора знаком, когда (i+j) - нечетное число.

Для вычисления определителей квадратных матриц удобно пользоваться следующей теоремой:

Теорема Лапласа (частный случай). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(9)

(разложение по элементам i-й строки; i = 1,2,…n;

(10)

(разложение по элементам j-го столбца; j=1,2,...,n).

Таким образом, применение теоремы Лапласа позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению более простых определителей (n-1)-го порядка.