2.2.4. Биомеханические методы исследования с использованием расчетных моделей анализа движений биомеханических систем

Модель опорно-двигательного аппарата тела спортсмена

Данные о биомеханических характеристиках исследуемых упражнений были получены с использованием расчетных моделей анализа движений биомеханических систем по методике, разработанной В.И.Загревским (1999).

С этой целью рассматривалась трехзвенная модель опорно-двигательного аппарата тела человека (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Кинематическая схема трехзвенной модели опорно-двигательного аппарата тела человека.

В принятой модели: руки - первое звено, туловище с головой – второе звено, ноги - третье звено. С помощью данной модели можно исследовать кинематику и динамику вращательных движений спортсмена в условиях опоры. В процессе выполнения упражнений спортсмен не теряет контакта с опорой, к примеру, с акробатической дорожкой. Поэтому расположим кисти рук спортсмена в начале неподвижной системы координат Оху, а ее, в свою очередь, совместим с принятой точкой акробатической дорожки.

На принятую модель наложены ограничения:

1. Звенья тела человека и гриф перекладины считаются абсолютно твердыми телами.

2. Суставы, посредством которых звенья тела человека соединяются друг с другом, моделируются цилиндрическими шарнирами.

3. Трение в шарнирах отсутствует.

4. Центры масс звеньев модели расположены на прямой, соединяющей их оси вращения в шарнирах (на продольной оси звена).

Для модели с произвольным количеством звеньев биосистемы введем буквенную индексацию для обозначения номера звена. Окончательно имеем:

L_i - длина i-го звена; S_i - расстояние от оси вращения i -го звена до его центра масс; _i - угол наклона i-го звена к оси Ох (обобщенные координаты i-го звена); i - буквенный индекс, используемый для обозначения номера звена (i=1,2,..., N); N - количество звеньев модели.

В кинематическом анализе движений биомеханических систем необходимы сведения и о пространственно-временных характеристиках: угловых скоростях и угловых ускорениях звеньев тела спортсмена. Соответственно, для N-звенной модели биомеханической системы имеем:

_i - угловая скорость i-го звена; _i - угловое ускорение i-го звена.

В связи с тем, что за обобщенные координаты биомеханической системы приняты _i, то _i и _i соответственно будут обозначать обобщенную скорость и обобщенное ускорение i-го звена.

Для обозначения масс-инерционных характеристик рассматриваемой трехзвенной модели опорно-двигательного аппарата тела спортсмена введем следующие идентификаторы: P_i - вес i-го звена; m_i - масса i-го звена; J_i - центральный момент инерции i-го звена.

Уравнения движения модели

Формульные выражения уравнений движения неразветвленной трехзвенной модели биомеханической системы, представленные в форме уравнений Лагранжа второго рода, имеют вид (Загревский В.И., 1999)

(1)

В правой части уравнений движения трехзвенной биомеханической системы заключаются сведения об управляющих моментах мышечных сил в суставах спортсмена и моменте силы трения в месте контакта спортсмена с опорой: М₁ - момент силы трения; М₂ - управляющий момент мышечных сил, развиваемый спортсменом в плечевых суставах; М₃ - управляющий момент мышечных сил, развиваемый спортсменом в тазобедренных суставах.

В уравнениях движения (1) коэффициенты A_ij характеризуют масс-инерционный и кинематический компоненты отдельных звеньев биомеханической системы: массы (m_i), моменты инерции (J_i), длины (L_i) и положение центра масс звеньев (S_i) на продольной оси звена. Таким образом, в численных значениях динамических коэффициентов звеньев биомеханической системы (A_ij), учитываются антропометрические особенности сегментов и звеньев опорно-двигательного аппарата тела спортсменов. В развернутой записи, для принятой трехзвенной модели биомеханической системы, коэффициенты A_ij имеют вид

A₁₁ = J₁ + m₁S₁² + L₁²(m₂ + m₃);

A₁₂ = L₁(m₂S₂ + m₃L₂);

A₁₃ = m₃S₃L₁;

A₂₁ = A₁₂;

A₂₂ = J₂ + m₂S₂² + m₃L₂²; (2)

A₂₃ = m₃S₃L₂;

A₃₁ = A₁₃;

A₃₂ = A_23;

A₃₃ = J₃ + m₃S₃².

Содержательный смысл коэффициентов Y_i, содержащихся в левой части уравнений, заключается в том, что они представляют собой выражения для определения обобщенных сил в уравнениях Лагранжа и в развернутой записи имеют вид: Y₁ = (P₁S₁ + P₂L₁ + P₃L₁); Y₂ = (P₂S₂ + P₃L₂); Y₃ = (P₃S₃). (3)

Момент инерции биомеханической системы

Рассмотрим вопрос об определении момента инерции трехзвенной биомеханической системы относительно оси, проходящей через точку опоры при произвольных, анатомически допустимых углах, между звеньями тела (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Момент инерции трехзвенной биомеханической системы

Обозначим через X₁, X₂, Х₃ - координаты центра масс первого, второго и третьего звена по оси Oх и соответственно через Y₁, Y₂, Y₃ - по оси Оу. Расстояния от начала системы координат, помещенной в точку опоры, до центра масс первого, второго и третьего звена обозначим через r₁, r₂, r₃. В этом случае момент инерции рассматриваемой трехзвенной системы относительно оси Oz, проходящей через начало системы координат Oxyz перпендикулярно плоскости рисунка, определяется из выражения

Jo = J₁ + m₁r₁² + J₂ + m₂r₂² + J₃ + m₃r₃². (4)

Так как

r₁² = X₁² + Y₁², r₂² = Х₂² + Y₂², r₃² = Х₃² + Y₃²,

а координаты центра масс звеньев (X_i, Y_i) выражаются в свою очередь через длины звеньев тела (L_i), обобщенные координаты (Q_i) и положение центра масс звеньев относительно оси шарниров (S_i), то соответственно имеем

r₁² = S₁²cos²Q₁ + S₁²sin²Q₁;

r₂² = L₁²cos²Q₁ + 2L₁S₂cosQ_l cos Q₂ + S₂²cos²Q₂ +

+ L₁²sin²Q₁ + 2L₁ S₂ sinQ₁sinQ₂ + S₂ ²sin²Q₂;

r₃² = L₁² cos²Q₁ + L₂²cos²Q₂ + S₃²cos²Q₃ +

+ 2L₁L₂cosQ_lcosQ₂ + 2L₁S₃ cosQ_lcosQ₃ + 2L₂ S₃ cosQ₂cosQ₃ +

+ L₁²sin²Q₁ + L₂²sin²Q₂ + S₃²sin²Q₃ +

+ 2L₁L₂sinQ₁sinQ₂ + 2L₁S₃sinQ₁sinQ₃ + 2L₂S₃sinQ₂sinQ₃.

Выполнив соответствующие преобразования, получим

r₁² = S₁²;

r₂² = L₁ ² + 2L₁S₂ cos(Q₂-Q₁) + S₂ ²;

r₃² = L₁ ² + L₂ ² + S₃ ² + 2L₁L₂ cos(Q₂-Q₁) + 2L₁S₃ cos(Q₃ - Q₁) +

+ 2L₂S₃ cos(Q₃ - Q₂).

Подставляя полученные значения r_i в уравнения (63), получим соотношение вида

Jo = A₁₁+ А₂₂ + А₃₃ +

+ 2A₁₂ cos(Q₂-Q₁) + 2A₁₃ cos(Q₃-Q₁) + 2А₂₃ соs(Q₃ - Q₂), (5)

где коэффициенты A_ij вычисляются по уравнениям (2).

Таким образом, момент инерции биомеханической системы относительно оси, проходящей через точку опоры перпендикулярно плоскости движения, определяется динамическими характеристиками звеньев тела (A_ij) и обобщенными координатами системы. Уравнение (5) позволяет, при известных значениях коэффициентов A_ij и заданных значениях обобщенных координат, определить Jo для трехзвенной биомеханической системы любой конфигурации.