Задание 4. Расчет параметров движения (равновесия) тел механической системы, содержащей внешние и внутренние упругие связи, при учете линейно-вязкого сопротивления

4.1. Краткие сведения из курса механики

4.1.1. Свободные колебания линейных механических систем с одной степенью свободы.

В этом случае зависимость кинетической энергии от обобщенной скорости приводится к виду

, (11)

а зависимость потенциальной энергии от обобщенной координаты к виду

. (12)

Коэффициент называют обобщенным коэффициентом инерции, а - обобщенным коэффициентом жесткости.

Воспользовавшись, например, уравнениями Лагранжа второго рода, можно получить дифференциальное уравнение движения в виде

; либо ; (13)

где

Дополняя это уравнение начальными условиями , будем иметь полную математическую модель для отыскания закона движения .

Виды решения этого дифференциального уравнения общеизвестны:

, (14)

здесь либо – постоянные интегрирования.

При заданных начальных условиях первый вид решения из (14) будет

, (15)

для второго вида решения постоянная A₀ является амплитудой колебаний и равна

,

начальная фаза колебаний

.

Как видно, величина имеет смысл частоты свободных колебаний (число колебаний за единиц времени); она связана с периодом этих колебаний соотношением .

В случае приложения сил линейно-вязкого сопротивления уравнение движения примет вид

либо (16)

Здесь и .

Для действительных значений параметра , когда (малое сопротивление), при получается следующее решение:

(17)

Иная форма записи, содержащая амплитуду и начальную фазу , имеет вид

; ;

(18)

Движение системы с линейно-вязким сопротивлением, строго говоря, не является периодическим и с течением времени затухает.

При малом сопротивлении локальные максимумы отклонений повторяются через равные интервалы времени (см. Рис. 7).

Рис. 7

Удобной характеристикой затухания является логарифмический декремент, представляющий собой натуральный логарифм отношения любых двух последовательных локальных максимумов и :

(19)

Для критического значения демпфирования (или ) решение уравнения (16) имеет вид

,

а движение утрачивает колебательный характер.

При больших значениях коэффициента сопротивления, когда , решение представляет сумму экспонент в отрицательных степенях, т.е. колебательное движение отсутствует.

4.1.2. Свободные колебания линейных механических систем с двумя степенями свободы.

В этом случае зависимость кинетической энергии от обобщенных скоростей приводится к виду

, (20)

а зависимость потенциальной энергии от обобщенных координат к виду

(21)

здесь коэффициенты - обобщенные коэффициенты инерции, а – обобщенные коэффициенты жесткости.

Воспользовавшись, например, уравнениями Лагранжа второго рода, можно получить систему дифференциальных уравнений вида

(22)

Отметим, что в линейных консервативных системах .

Будем искать решение в форме

(23)

где - неизвестные постоянные.

Продифференцируем искомые выражения для обобщенных координат по времени дважды, подставим их в (22). Для удовлетворения этих равенств при любых , должны быть равны нулю коэффициенты при , т.е. выполняться равенства

. (24)

Система линейных однородных уравнений относительно и имеет решение, отличное от нуля, в случае равенства нулю ее определителя

.

Раскрывая определитель, получим уравнение относительно

(25)

Уравнение (25) называется уравнением частот или вековым уравнением. Оба корня этого уравнения вещественны и положительны. Извлечем из них корни и воспользуемся только положительными значениями и , которые называются частотами главных колебаний. Теперь вид (23) будет

Между числами есть связь. Установим ее, используя любое из уравнений (24), например, первое. Тогда

. (26)

Каждому значению частоты и отвечают соответствующие значения и , которые называются коэффициентами форм главных колебаний. Вычислив их, найдем

(27)

Коэффициенты и имеют простой физический смысл – они показывают, во сколько раз амплитуда соответствующего главного колебания по одной из обобщенных координат больше (или меньше) амплитуды другой.

Теперь решение (23) примет вид

(28)

В этом решении частоты , и коэффициенты , - известные числа (они рассчитываются по инерционно – жесткостным характеристикам механической системы), а - постоянные интегрирования, которые следует определить из начальных условий. Задание четырех начальных условий (при ), позволяет определить четыре неизвестные величины ( ), содержащиеся в (28).

Очевидно, что учет линейно-вязкого сопротивления приведет к уже обсужденным выше результатам: при отрицательных действительных корнях частотного уравнения движение будет носить характер экспоненциального убывания, при комплексно-сопряженных корнях будут иметь место затухающие колебания.

В заключение отметим, что методы получения и интегрирования дифференциальных уравнений для линейных механических систем с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия без всяких изменений могут быть распространены на линейные механические системы с большим числом степеней свободы.