Задание 3. Расчет параметров движения (равновесия) тел механической системы при учете сухого трения и (или) трения качения

3.1. Краткие сведения из курса механики

3.1.1. Принцип возможных перемещений

Условия равновесия механической системы дает принцип возможных перемещений: в случае равенства нулю суммы работ активных (задаваемых) сил на любом возможном перемещении система с идеальными связями находится в равновесии, т.е.

; (4)

где - число точек механической системы, а - число ее степеней свободы.

Напомним, что при равновесии системы сил, действующих на материальную точку, она либо покоится, либо совершает равномерное прямолинейное движение. Поэтому для того, что бы механическая система с идеальными связями находилась в покое, необходимо равенство нулю скоростей ее точек в начальный момент времени, т.е. кроме условия (4) должно выполняться условие

; (5)

Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие равновесия механической системы, не требующее рассмотрения равновесия отдельных частей (тел) этой системы и позволяющее, при идеальных связях, исключить из рассмотрения их неизвестные реакции.

Условие (4) можно записать в обобщенных координатах и силах. Если возможные перемещения ( ) выбраны независимыми (их число соответствует числу степеней свободы механической системы с голономными связями), то для выполнения равенства (4) необходимо, чтобы все коэффициенты при независимых возможных перемещениях по отдельности равнялись нулю, т.е.

(6)

Заметим, что при составлении -го выражения из (6), в силу независимости обобщенных координат, возможные перемещения по всем остальным обобщенным координатам обычно принимают равными нулю.

Для консервативной системы условие (6) соответствует экстремуму потенциальной энергии в положении равновесия системы:

; (7)

Итак, в случае равновесия несвободной механической системы, подчиненной идеальным удерживающим связям, все обобщенные силы должны равняться нулю.

Более подробно с материалом можно ознакомиться, например, в [1, 3, 4].

3.1.2. Общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики: для механической системы с идеальными связями сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции на любом возможном перемещении должна быть равна нулю:

(8)

Заметим, что алгоритм решения задачи состоит из двух этапов. На первом этапе, в соответствии с методом кинетостатики, к действующим на механическую систему силам (задаваемым и реакциям связей) добавляются силы инерции (в случае вращения тел силы инерции создают соответствующие моменты; более подробно материал представлен в задании 1). На втором этапе составляются уравнения (8), число которых равно числу степеней свободы механической системы.

Напомним, что при составлении -го уравнения из (8), в силу независимости обобщенных координат, возможные перемещения по всем остальным обобщенным координатам обычно принимают равными нулю.

В совокупности с начальными условиями полученная система дифференциальных уравнений является математической моделью для описания движения механической системы.

3.1.3. Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой иную форму записи общего уравнения динамики:

; . (9)

где - – кинетическая энергия системы из точек,

– -я обобщенная координата,

– i-я обобщенная скорость,

– -я обобщенная сила, вычисление которой может быть выполнено по одной из формул:

; или ; или ; (10)

В случае, когда кинетическая и потенциальная энергии механической системы приведены к виду и , получение системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций , определяющих движение механической системы, сводится к вычислению соответствующих производных.