МОИИ конспект

результате инерционного движения, т. е. прогноз – это динамическая

разных интервалах времени, операция математического ожидания от всех

замыкающего таким образом отрицательную обратную связь (рис. 3.2). На

схеме значком обозначено звено задержки, заменяющее для дискретной

системы интегратор на рис. 3.1. Значение коэффициента усиления фильтра в

51

(3.43) подбирается таким образом, чтобы минимизировать ковариационную матрицу ошибок оптимальной оценки Pε k .

Блок вычисления

Kk

Перемножив скобки в правой части и выполнив операцию вычисления

математического ожидания отдельных слагаемых, обнаружим, что слагаемые,

содержащие произведения ~ Z и их транспонированные значения,

ε k

52

обращаются в нуль, поскольку эти величины получены на разных отрезках времени и не коррелируют между собой. Кроме того, сомножитель H kтKk

является детерминированной на данном интервале времени величиной и может быть вынесен за знак операции.

В результате преобразований с учетом сделанных замечаний получим

Учтя введенное раньше обозначение Lk ковариационной матрицы ошибок прогноза (3.41), окончательно запишем:

∂Pε k = 0. ∂K k

Для упрощения задачи представим матричный коэффициент усиления фильтра в виде

значение коэффициента усиления; α – малая скалярная величина. Теперь искать

В (3.47) также не учтены малые, содержащие α2:

53

и ее транспонированного значения. Поэтому равенство выполняется при равенстве нулю одного из слагаемых, при чем другое равно нулю автоматически. Выберем любое слагаемое, например второе, и приравняем его нулю:

K0k B − Lk H kт = 0.

Отсюда получим оптимальное значение коэффициента усиления фильтра

K0k = Lk H kтВ−1 = Lk H kт(H k Lk H kт + Rk )−1,

которое рассчитывается в блоке вычисления Kk (см. рис. 3.2).

Последовательность вычислений, позволяющая реализовать работу комплексированной системы с использованием фильтра Калмана сведена в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

[H (LH т ) + R]−1

LH т[H (LH т ) + R]−1

54

Калмановская фильтрация широко применяется для построения комплексированных и интегрированных систем. Под комплексированием понимают такую организацию измерений, когда оценки, выработанные в результате фильтрации выходных сигналов двух или более измерительных преобразователей, используются для повышения точности их показаний. Как правило, наибольший выигрыш в точности измерений получается при комплексировании датчиков, имеющих различную физическую природу, когда есть существенное различие в спектральных характеристиках их погрешностей.

Пример простейшей схемы комплексирования приведен на рис. 3.3.

На рисунке погрешности измерительных преобразователей (ИП)

обозначены как z1 и z2 соответственно. Задача оценки определяемого вектора

xˆ в данном случае заменяется задачей нахождения оценки zˆ вектора

погрешностей одного из измерительных преобразователей с последующей компенсацией этих погрешностей: xˆ = y1 − zˆ1.

В интегрированных системах выработанные калмановским фильтром оценки погрешностей используются для замыкания отрицательных обратных

55

связей с целью снижения значения этих погрешностей в самой системе. Кроме непосредственного снижения погрешностей может быть получен дополнительный выигрыш, связанный с уменьшением ошибок линеаризации модели. Предположим, что компонентами вектора состояния являются погрешности системы и по всем компонентам обратные связи замыкаются формированием в фильтре Калмана соответствующих поправок. Структурная схема фильтра с замыканием обратных связей приведена на рис. 3.4 [4].

Рисунок 3.4

Обозначим как X k0 и X k0 значения вектора состояния корректируемой системы до и после использования измерения Yk на k-м шаге работы фильтра.

Модель системы (3.36) при этом примет вид

Из схемы рис. 3.4 видно, что значение “недокомпенсации” ошибок

значение в первое уравнение системы (3.49) и сравнив результат с выражением

(3.40), придем к выводу, что в этом случае X 0 ~ , т. е. уровень исходных k = − ε k

ошибок системы путем замыкания обратных связей от фильтра Калмана может быть снижен до уровня ошибок прогноза фильтра.

56

Как уже указывалось ранее, ошибка прогноза является по существу ошибкой динамической экстраполяции оценки текущего состояния системы и в сильной степени определяется ее динамическими свойствами и величиной шага квантования t .

57

4. МЕТОДЫ КОМПЛЕКСИРОВАНИЯ

При объединении нескольких измерителей наиболее широкое

применение получили две схемы комплексирования, известные как способ

компенсации и фильтрации [5].

4.1. Способ компенсации (инвариантная схема обработки)

При наличии данных от двух и более измерителей нередко используется схема обработки, суть которой заключается в формировании разностных измерений, не содержащих искомого вектора, и последующем решении задачи оценивания ошибок одного измерителя на фоне ошибок другого измерителя,

результаты которой используются для уточнения показаний одного из измерителей [1]. Структурная схема комплексирования по способу компенсации приведена на рисунке 1.

Рисунок 4.1 – Структурная схема комплексирования по способу компенсации Сигналы на выходе первого и второго измерителей имеют вид:

где x(t) – измеряемый параметр (полезный сигнал), n1(t) и n2(t) – погрешности измерителей, которые предполагаются стационарными случайными процессами. Пусть спектральная плотность S1(ω) погрешности первого измерителя сосредоточена в низкочастотной области, а спектральная плотность погрешности второго измерителя S2(ω) является широкополосной (рисунок 2).

58

S(ω

S1(ω

S2(ω

Рисунок 4.2 – Спектральные плотности погрешностей измерителей

В соответствии с принципом комплексирования по способу компенсации сигналы x1(t) и x2(t) подаются на вычитающее устройство ВУ1, на выходе которого образуется разностный сигнал

не содержащий измеряемого параметра.

Разностный сигнал xA(t) поступает в линейный фильтр, передаточная функция которого должна быть такой, чтобы он в соответствии с выбранным критерием в наибольшей степени подавлял помеху n2(t) и в минимальной степени искажал помеху n1(t). Сигнал на выходе фильтра с передаточной

На вычитающем устройстве ВУ2 образуется разность

= x(s) +[1− F (s)]n1 (s) + F (s)n2 (s).

Выходной сигнал комплексной измерительной системы (КИС) может быть представлен в виде

где ε(s) – результирующая погрешность КИС, определяемая следующим образом:

Из соотношения (4.7) можно заключить, что ε(s) не зависит от x(s), вследствие чего системы, в которых погрешность не зависит от полезного сообщения x(t),

59

называются инвариантными по отношению к x(t). Результирующая погрешность КИС состоит из двух составляющих: ε1(t) и ε2(t), где ε1(t) –

составляющая, обусловленная процессом n1(t), а ε2(t) – составляющая,

обусловленная процессом n2(t). Дисперсия результирующей погрешности ε(s)

на выходе равна

−∞

На практике комплексирование измерителей на основе взаимной компенсации и фильтрации их ошибок осуществляется с применением критерия минимума среднего квадратического значения результирующей ошибки. В таком случае передаточная функция F(s) линейного фильтра выбирается такой, чтобы обеспечить минимум величины Dε.

Можно показать, что для рассматриваемых в качестве иллюстрации спектральных плотностей S1(ω) и S2(ω) линейный фильтр является фильтром нижних частот. Пусть его амплитудно-частотная характеристика имеет вид,

представленный на рисунке 3.

A(ω)

Рисунок 4.3 – Амплитудно-частотные характеристики фильтра

На этом же рисунке изображена амплитудно-частотная характеристика фильтра верхних частот Ф(jω)=1–F(jω). Практически фильтры в подобных КИС не являются оптимальными. Они часто реализуются с помощью апериодического звена, передаточная функция которого имеет вид

Ts +1

где T – постоянная времени фильтра.

60