ПлИзмЭкс_Курсовик_2
.docxПроведен эксперимент по определению зависимости Y=f(X), результаты которого сведены в таблицу 1.
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
y1 |
-1,1 |
-2,07 |
-2,58 |
-2,49 |
-1,76 |
0,71 |
4,21 |
8,94 |
y2 |
-1,19 |
-1,5 |
-2,55 |
-2,44 |
-0,98 |
0,47 |
3,97 |
9,67 |
y3 |
-0,43 |
-1,93 |
-2,24 |
-2,86 |
-1,17 |
0,05 |
3,89 |
9,33 |
y4 |
-0,92 |
-2,54 |
-2,72 |
-2,76 |
-1,31 |
0,64 |
4,55 |
8,97 |
y5 |
-1,21 |
-2,72 |
-2,95 |
-2,6 |
-1,49 |
1,39 |
4,83 |
9,27 |
Таблица 1- Результаты эксперимента
Найти уравнение регрессии по экспериментальным данным и провести анализ полученной модели. Доверительную вероятность принять равной Р=0,95.
m =8;
n = 5.
На рисунке 1 приведено графическое представление результатов измерений:
Рисунок 1 – Графическое представление результатов измерений
Однофакторный дисперсионный анализ
-
Вычисление среднего значения результатов измерений и дисперсии результатов по формулам:
, (1)
. (2)
Результаты расчетов по формулам (1) и (2) приведены в таблице 2 и на рисунке 2:
Таблица 2
yср |
-0,97 |
-2,152 |
-2,608 |
-2,63 |
-1,342 |
0,652 |
4,29 |
9,236 |
S02 |
0,3738 |
0,23857 |
0,06727 |
0,0316 |
0,08957 |
0,23592 |
0,157 |
0,08918 |
Рисунок 2
-
Проверка полученных дисперсий на однородность
Т.к. ni=n=5 (каждому xi соответствует одинаковое количество повторов измерений yi), то можно воспользоваться критерием Кохрана:
(3)
f = n–1 = 4, m=8
.
возьмем из справочника:
=> => Дисперсии можно объединить.
Вычисление средней дисперсии:
(4)
;
f=mn–m=40 – 8= 32.
Для определения зависит ли y от фактора x рассчитаем генеральное среднее (среднее средних) и дисперсию фактора x:
;(5)
(6)
Воспользуемся критерием Фишера:
(7)
547,81> 2,31 - следовательно, между величинами m и средними значениями Y есть зависимость => присутствует регрессия.
Для определения этой зависимости (модели) воспользуемся регрессионным анализом.
-
Регрессионный анализ
B качестве регрессионной модели будем использовать модель следующего вида:
(8)
где bj – искомые коэффициенты, а fj(x) –базисные функции.
Если в качестве базисных функций использовать ортогональные полиномы, то коэффициенты , вычисляемые в соответствии с методом наименьших квадратов, будут определяться по формуле:
(9)
Ортогональные базисные функции
,
;;
, ,
,,, .
Из рисунка 2 можно предположить, что искомая зависимость y от x похожа на квадратичную, но необходимо тем не менее составить и проверит на адекватность модели, представляемые полиномами 0-го, 1-го, 2-го и 3-го порядка.
-
Полином 0-го порядка: .
Найдем выборочную дисперсию полученной модели:
По критерию Фишера проверим адекватность модели:
547,81>2,31– модель неадекватна.
-
Полином 1-го порядка:
Найдем выборочную дисперсию полученной модели:
По критерию Фишера проверим адекватность модели:
231,25>2,31 - модель неадекватна.
-
Полином 2-го порядка
Найдем выборочную дисперсию полученной модели:
По критерию Фишера проверим адекватность модели:
30,93>2,31– модель неадекватна.
-
Полином 3-го порядка
Найдем выборочную дисперсию полученной модели:
По критерию Фишера проверим адекватность модели:
0.32<- модель адекватна.
На рисунке 3 представлены средние, описание зависимости полиномом 0-го,1-го,2-гои 3-го порядка.
Рисунок 3
Проверим коэффициенты на значимость по формуле:
Проверим коэффициенты на значимость. Для того, чтобы коэффициент был значим необходимо выполнение условия
, где
,
– из таблицы распределения Стьюдента для Р=0,95.
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0,56 |
1.37 |
0.51 |
0.03 |
|
0,14 |
0.06 |
0.030 |
0.01 |
|
3.96 |
22.17 |
16.50 |
3 |
Таблица 3
Вывод все коэффициенты значимы т.к больше, чем 2.04
Найдём суммарную дисперсию полученных коэффициентов по формуле:
Определим, с какой точностью была определена модель, представляемая полиномом 3-го порядка:
найдем дисперсию и СКО - СКО функции во всех точках x:
Таблица 4
сечение |
||
m = 1 |
0,011 |
0,11 |
m = 2 |
0,0000044 |
0,0021 |
m = 3 |
0,0000017 |
0,0013 |
m = 4 |
0,000001 |
0,0010 |
m = 5 |
0,00000014 |
0,00038 |
m = 6 |
0,00002 |
0,0045 |
m = 7 |
0,00017 |
0,013 |
m = 8 |
0,00073 |
0,027 |
Таблица 5
-0,99 |
-2,11 |
-2,69 |
-2,53 |
-1,45 |
0,74 |
4,25 |
9,24 |
|
Fв(z) |
-1,2 |
-2,11 |
-2,69 |
-2,53 |
-1,45 |
0,75 |
4,27 |
9,3 |
Fн(z) |
-0,77 |
-2,1 |
-2,68 |
-2,53 |
-1,45 |
0,74 |
4,22 |
9,19 |
Рис. 4.
Для увеличения точности область между Fв(z) и Fн(z) нужно уменьшать: уменьшать случайную составляющую, технологически увеличивать точность измерений, делать многократные испытания, хотя это несомненно увеличивает затраты.