ПлИзмЭкс_Курсовик_1
.docxI. Проведен эксперимент по определению зависимости Y=f(x), результаты которого сведены в таблицу 1.
Таблица 1.
|
|
m=7 |
||||||
|
x |
0,2 |
0,6 |
1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,6 |
n=6 |
Y1 |
7,21 |
7,2 |
9,19 |
11,15 |
16,94 |
26,01 |
39,03 |
Y2 |
7,36 |
7,76 |
8,32 |
12,49 |
18,64 |
25,17 |
38,18 |
|
Y3 |
8,5 |
8,08 |
8,27 |
12,41 |
18,36 |
25,51 |
36,75 |
|
Y4 |
7,06 |
6,33 |
8,67 |
11,48 |
17,59 |
25,61 |
36,77 |
|
Y5 |
8,04 |
9,19 |
9,13 |
13,32 |
18,47 |
25,71 |
38,31 |
|
Y6 |
8,24 |
7,57 |
8,03 |
12,07 |
17,88 |
26,37 |
38,03 |
|
Yi |
7,735 |
7,688 |
8,602 |
12,153 |
17,98 |
25,063 |
37,845 |
|
0,361 |
0,902 |
0,229 |
0,601 |
0,413 |
3,1916 |
0,824 |
Найти уравнение регрессии по экспериментальным данным и провести анализ полученной модели. Доверительную вероятность принять равной P=0.95.
Графическое представление экспериментальных данных по определению зависимости Y=f(x)
Рис.1(точки – значения Y; звездочки – Yi)
Рассчитаем Yi –среднее значение Y для каждого значения x, по формуле и полученные данные занесем в таблицу 1:
Рассчитаем оценку дисперсий случайной составляющей для области значений при каждом Xi , по формуле и полученные значения занесем в таблицу:
Проверим полученные оценки дисперсий на однородность. т.к. ni=n проверку будем проводить по критериям Кохрена.
G=0,2575 < Gp(5,7)=0,3974
из полученного неравенства следует что оценки дисперсий однородны. И за оценку дисперсии случайной составляющей можно взять среднее значение дисперсий по формуле :
Тогда оценка дисперсии случайной составляющей средних Yi равна:
X=Xi+1-Xi то можно перевести зависимость Y(X) к зависимости Y(z) тогда уравнение регрессии: будет ортогональным полиномом.
Формула перехода x к z:
Таблица 2
x |
0.2 |
0.6 |
1 |
1.4 |
1.8 |
2.2 |
2.6 |
z |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Уравнение регрессии: ортогональный полином 0-порядка.
Уравнение ортогонального полинома 0-порядка имеет вид F0(z)=f0(z)*b0
Где f0(z)=1
Коэффициент b0 находим поформуле:
Проведем проверку значимости коэффициента b0 по формуле:
Где - оценка дисперсии коэффициента b0
1,4112*10^3 > 2,4469
Значит коэффициент b0 – значим.
Тогда F0(z)= f0(z)*b0=16.819 график функции представлен на рис.2
Рис 2.
Рассчитаем выборочную оценку дисперсии уравнения F0(z) по формуле:
где l1=1 ;
Проверим адекватность выбранной модели с помощью критерия Фишера.
F=1554.3 > 2.37=Fp(6;35)
Из неравенства следует что выбранная модель не адекватна. Добавим в уравнение регрессии следующую составляющую.
Уравнение регрессии: ортогональный полином 1-порядка.
Уравнение ортогонального полинома 1-порядка имеет вид F1(z)=f0(z)*b0+ f1(z)*b1
Где ;
Коэффициент b1 находим по формуле: ;
Проведем проверку значимости коэффициента b0 по формуле:
1627 > 2,4469
Где - оценка дисперсии коэффициента b1
Значит коэффициент b1 – значим.
Тогда F1(z)=f0(z)*b0+f1(z)*b1 график функции представлен на рис.3
Таблица 3
z |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
f1(z) |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
F1(z) |
2.2699 |
7.1196 |
11.9693 |
16.819 |
21.6688 |
26.5185 |
31.3682 |
Рис.3
Рассчитаем выборочную оценку дисперсии уравнения F1(z) по формуле:
где l2=2;
Проверим адекватность выбранной модели с помощью критерия Фишера.
F=286,4243 > 2.48=Fp(5;35)
Из неравенства следует что выбранная модель не адекватна.
Добавим в уравнение регрессии следующую составляющую.
Уравнение регрессии: ортогональный полином 2-порядка.
Уравнение ортогонального полинома 2-порядка имеет вид F2(z)=f0(z)*b0+ f1(z)*b1+ f2(z)*b2
Где f2(z) рассчитываем по формуле:;
Тогда ;
Коэффициент b2 находим по формуле: ;
Проведем проверку значимости коэффициента b2 по формуле:
1193 > 2,4469
Где - оценка дисперсии коэффициента b2
Тогда F2(z)=f0(z)*b0+f1(z)*b1+ f2(z)*b2 график функции представлен на рис.4
Таблица 4
z |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
f2(z) |
5 |
0 |
-3 |
-4 |
-3 |
0 |
5 |
F2(z) |
8.195 |
7.1196 |
8.4143 |
12.079 |
18.1137 |
26.5185 |
37.2933 |
Рис.4
Рассчитаем выборочную оценку дисперсии уравнения F2(z) по формуле:
где l3=3;
Проверим адекватность выбранной модели с помощью критерия Фишера.
F=4.5538 < 2.64=Fp(4;35)
Из неравенства следует что выбранная модель не адекватна. Добавим в уравнение регрессии следующую составляющую.
Уравнение регрессии: ортогональный полином 3-порядка.
Уравнение ортогонального полинома 3-порядка имеет вид F3(z)=f0(z)*b0+ f1(z)*b1+ f2(z)*b2+ +f3(z)*b3
Где f3(z) рассчитываем по формуле:;
Тогда ;
Коэффициент b3 находим по формуле: ;
Проведем проверку значимости коэффициента b3 по формуле:
193,4611 > 2,4469
Где - оценка дисперсии коэффициента b3
Тогда F3(z)=f0(z)*b0+f1(z)*b1+ f2(z)*b2 +f3(z)*b3 график функции представлен на рис.4
Таблица 4
z |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
f3(z) |
-6 |
6 |
6 |
0 |
-6 |
-6 |
6 |
F3(z) |
7.747 |
7.568 |
8.8626 |
12.079 |
17.6654 |
26.0701 |
37.7416 |
Рис.5
Рассчитаем выборочную оценку дисперсии уравнения F3(z) по формуле:
где l4=4;
Проверим адекватность выбранной модели с помощью критерия Фишера.
F=6,4*10-28 < 2.87=Fp(3;35)
Неравенство показывает адекватность выбранной модели:F(z)=f0(z)*b0+f1(z)*b1+ f2(z)*b2+ +f3(z)*b3;
Оценка точности полученных результатов.
Оценка дисперсии полученной модели F(z) равна:
Функция верхней границы доверительного интервала:
Функция нижней границы доверительного интервала:
Перейдем обратно от Z к X и получим адекватное уравнение регрессии зависимости Y=f(x)
Рис.6
II. 1. Проведен полный факторный эксперимент ПФЭ типа 22 в диапазоне факторов, указанных в таблице и получены следующие результаты измерений
Таблица 5
Ni |
t(0C) |
U(B) |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
Y5 |
1 |
-20 |
210 |
15.82 |
16.83 |
15.89 |
16.18 |
17.17 |
2 |
20 |
210 |
9.37 |
8.92 |
8.84 |
9.9 |
9.64 |
3 |
-20 |
230 |
10.98 |
10.27 |
10.96 |
10.62 |
11.24 |
4 |
20 |
230 |
23.56 |
23.37 |
23.5 |
23 |
24.07 |
Определить уравнение поверхности отклика и провести анализ полученной модели.
Доверительную вероятность принять равной P=0,95
2. По результатам п.1 построить симплекс эксперимент для основных переменных.
Считать точность определения Y одинаковой.
3. Дать сравнительную характеристику моделям, получаемым в п.1 и 2.
Представим поверхность многомерным рядом Тейлора:
Часто используют линейные планы т.е. dXn не в степени.
-
Полный Факторный Эксперимент
Проведем операции центрирования и нормирования поверхности отклика.
т.е. центральную точку поверхности отклика переносим в начало координат и вводим новые единицы:
И в результате получим ортогональные функции.
Где
Построим матрицу реализации базисных функций (матрицу Адамара)
Таблица 6
Ni |
X0 |
X1 |
X2 |
X1X2 |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
Y5 |
Yi |
|
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
15.82 |
16.83 |
15.89 |
16.18 |
17.17 |
16.378 |
0.3551 |
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
9.37 |
8.92 |
8.84 |
9.9 |
9.64 |
9.334 |
0.2077 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
10.98 |
10.27 |
10.96 |
10.62 |
11.24 |
10.814 |
0.141 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
23.56 |
23.37 |
23.5 |
23 |
24.07 |
23.5 |
0.1488 |
Рассчитаем Yi –среднее значение Y по формуле и полученные данные занесем в таблицу 6:
Рассчитаем оценку дисперсий случайной составляющей для области значений по формуле и полученные значения занесем в таблицу 6:
Проверим полученные оценки дисперсий на однородность. т.к. ni=n проверку будем проводить по критериям Кохрена.
G=0,4165 < Gp(4,4)=0,6287
из полученного неравенства следует что оценки дисперсий однородны. И за оценку дисперсии случайной составляющей можно взять среднее значение дисперсий по формуле :
Тогда оценка дисперсии случайной составляющей средних Yi равна:
Найдем коэффициенты по формуле:
Результаты расчета коэффициентов занесем в таблицу 7
Таблица 7
b0 |
b1 |
b2 |
b12 |
15.0065 |
1.4105 |
2.1505 |
4.9325 |
Рассчитаем оценку дисперсии для коэффициентов по формуле:
По формуле можно заметить что
Построим поверхность отклика
Рис.7
Поверхность отклика повернутая на 900 влево(рис.8)
Рис.8
Оценка точности полученных результатов.
Оценка дисперсии полученной модели F(X1,X2) равна:
Функция верхней границы доверительного интервала:
Функция нижней границы доверительного интервала:
Рис.9
Поверхность отклика повернутая на 900 влево(рис.10)
Рис.10
-
Симплекс эксперимент 22
Насыщенный эксперимент для нахождения усеченной зависимости.
Число экспериментов равно: N=n+1=3
Точность определения Y такая же как и в ПФЭ.
Нам так же понадобиться значение Y при t=0 и U=230 ; т.е. при X1=0 и X2=1
Которое мы возьмем из поверхности отклика предыдущего пункта.
Построим матрицу адамара для симплекс плана:
Таблица 8
Ni |
X0 |
X1 |
X2 |
Yi |
|
1 |
1 |
-1 |
-2 |
16.378 |
0.0426 |
2 |
1 |
+1 |
-2 |
9.334 |
|
3 |
1 |
0 |
+22 |
17.16 |
Одним из условий нахождений , мы принимаем что ;
т.е. и
рассчитаем коэффициенты :
Рассчитаем оценку дисперсии для коэффициентов по формуле:
По формуле можно заметить, что
Построим поверхность отклика
Рис.11
Поверхность отклика повернутая на 900 влево(рис.12)
Рис.12
Оценка точности полученных результатов.
Оценка дисперсии полученной модели F(X1,X2) равна:
Функция верхней границы доверительного интервала:
Функция нижней границы доверительного интервала:
Рис.13
Поверхность отклика повернутая на 900 влево(рис.12)
Рис.14
Анализируя результаты полученные в п.1 и п.2 становиться очевидно что ПФЭ дает полную картину поверхности отклика, учитывает все влияющие составляющие поверхности отклика, но в тоже время требует большое количество экспериментов. Число которых сильно растет с увеличением числа факторов. С другой стороны симплекс эксперимент позволяет получить картину поверхности отклика с меньшим количеством экспериментов, но мы получаем усеченную поверхность и теряем составляющие совместных производных факторов( в моем случае отвечающих за так называемою проперлерность поверхности).
Из ходя из того что в конкретном случае двухфакторного анализа (вычисления по которому приведены выше) разница в количестве экспериментов между ПФЭ и Симплекс экспериментом незначительна то плюсы симплекс эксперимента теряют свою значимость из чего следует что при малом числе факторов для анализа поверхности отклика рекомендуется использовать ПФЭ.
Санкт-Петербург
2014г.