Лекция 2: Многочлены от одного переменного.

Содержание лекции: Многочлены от одного переменного. Операции над многочленами. Корни многочлена, кратные корни. Теорема Безу. Основная теорема алгебры , следствия. Разложение многочлена на неприводимые множители на множестве комплексных и на множестве действительных чисел.

Определение 2.1

Выражение вида называется многочленом степени п относительно переменной z. Числа называются коэффициентами многочлена, причем .

Коэффициенты и переменная z могут быть как действительными, так и комплексными. В дальнейшем будем рассматривать многочлены только с действительными коэффициентами. Если при этом переменная z – действительная, то говорят, что многочлен задан на множестве действительных чисел; если z – комплексная переменная, то говорят, что многочлен задан на множестве комплексных чисел.

Многочлен, все коэффициенты которого равны 0, называется тождественным нулем и обозначается 0. Степень такого многочлена не определяется. Многочленом нулевой степени называют любую постоянную.

Два многочлена

и

тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной z:

Р(z)  Q(z)  , k = 0, 1, 2, ..., n.

Операции над многочленами с действительными коэффициентами известны вам из школьного курса математики. Операции над многочленами на множестве комплексных чисел выполняются аналогично.

Рассмотрим кратко эти операции.

Пусть Р(z) = Р_n(z) = и Q(z) = Q_m(z) = – два многочлена на множестве комплексных чисел.

Произведением многочленов P и Q называется многочлен степени

Р_n(z)^.Q_m(z) = , где c_i = .

Если n  m, то многочлен Q_m(z) можно записать в виде

Q_m(z) = b_пz^п + b_п–1z^п–1 + ... + b_mz^m +… + b₁z + b, где b_n = b_n-1 = … = b_m+1 = 0.

Тогда суммой (разностью) многочленов Р_n(z) и Q_m(z) называется многочлен:

Р_n(z)  Q_m(z) = .

Множество всех многочленов будем обозначать Р[z]. Множество многочленов степени не выше n – P_n[z].

Теорема 2.1

Пусть Р(z) и Q(z) – многочлены, причем Q(z) не равен тождественно нулю и степень многочлена Q(z) не выше степени многочлена Р(z). Тогда существует единственная пара многочленов S(z) и R(z) таких, что P(z) = Q(z)S(z) + R(z), (1) причем степень многочлена R(z) меньше степени многочлена Q(z).

Нахождение многочленов S(z) и R(z) называется делением многочлена P(z) на многочлен Q(z) с остатком, при этом наряду с равенством (1) используют запись

= S(z)+ . (2)

Многочлены S(z) и R(z), обладающие указанным свойством, называются соответственно частным и остатком от деления Р(z) на Q(z).

Если остаток R(z)  0, то говорят, что Р(z) делится нацело на многочлен Q(z). Тогда имеет место равенство

P(z) = Q(z)S(z).

В этом случае говорят, что многочлен Р(z) разложен на множители Q(z) и S(z). Многочлены Q(z) и S(z) называются делителями многочлена Р(z), причем многочлен нулевой степени (постоянный множитель) или многочлены, отличающиеся от заданного многочлена только числовым множителем, не равным нулю, называются тривиальными делителями. Обычно под делителями многочлена подразумевают его нетривиальные делители.