Лекция 22. Двойной интеграл, его вычисление. Криволинейные интегралы.

(2ч).

Содержание лекции: Двойной интеграл, его вычисление по правильной области в декартовых координатах. Криволинейный интеграл первого рода, его вычисление.

Криволинейный интеграл второго рода.

1. Двойной интеграл

Пусть в ограниченной замкнутой области DR² задана непрерывная функция .

Разобьем D на n частей D_i, площадь D_i обозначим S_i, а

_n = .

В каждой области D_i произвольным образом возьмем точку D_i и вычислим f(P_i). Составим – интегральную сумму для функции по области D. Будем рассматривать последовательность {_n} интегральных сумм, соответствующую различным разбиениям таким, что _n  0 при n   (нормальная последовательность разбиений).

Определение 22. 1.

Если существует конечный предел последовательности {_n} при _n 0, не зависящий ни от способа разбиения области D, ни от выбора точек , то этот предел называется двойным интегралом по области D от функции f(х, у) и обозначается .

Таким образом, по определению:

В этом случае функция называется интегрируемой в области D.

Теорема 4.1.

Если f(P) непрерывна в D, то она интегрируема в этой области (то есть существует ).

Свойства двойного интеграла:

1.

2. - свойство линейности

3. Если , то

(свойство аддитивности)

4. Если  P(x,y)D, то .

5. Если m  f((x,y)  M,  P(x,y)D, то .

6. Существует точка Q(x,y) D: = f(Q)D (Теорема о среднем.)

(4-6 – свойства оценки интеграла по области).

Рассмотрим геометрический смысл интеграла

В ведем понятие: цилиндрическим телом назовем пространственное (в R³) тело, ограниченное плоскостью z=0, поверхностью и цилиндрической поверхностью, направляющая которой есть граница области D R³, а образующая параллельна оси OZ.

Разобьем область D на части D_ij, и на каждой из них построим параллелепипед с высотой f(ξ_i, η_j), где Р(ξ_i, η_j) – любая точка, принадлежащая D_ij.

Тогда

V_ц.т. ,

откуда

V_ц.т. = .

Таким образом, двойной интеграл, с геометрической точки зрения, численно равен объему цилиндрического тела. Физическую интерпретацию (масса плоской области) дать самостоятельно.

Вычисление двойного интеграла

Т ак как по определению интеграл не зависит от способа разбиения D на части, то разобьем D на части прямыми, параллельными осям координат. Для этого спроектируем D на оси координат. Получим отрезки [a, b] на оси ОХ и [c, d] на OY соответственно.

Разобьем эти отрезки точками:

a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b

c < y₁ < y₂ < ... < y_k = d

Тогда область D разобьется на прямоугольники (полные, или их части) D_ij, i= , j = , площади которых:

D_ij =  S_ij = x_i y_j, где x_i = x_i- x_i-1, y_j = y_j - y_j-1

И если , то по определению:

,

где (ξ_i, η_j) - любая точка, принадлежащая прямоугольнику D_ij .

Но так как

,

то есть имеем двойное суммирование, отсюда и термин (и обозначение) – двойной интеграл.

Определим способы вычисления ДИ

О пределение 22.2.

Область D  R² называется правильной в направлении оси OY, если она ограниченна линиями x = a, x = b, y = ₁(x), y= ₂(x), причем ₁(x)  ₂(x) для любого x[a,b].

В этом случае каждая прямая, проходящая параллельно OY через любую внутреннюю точку PD, пересекает границу области только в двух точках М₁, М₂. Точку М₁ называют точкой «входа» (в направлении OY), М₂ – точкой «выхода». Линия y = ₁(x), на которой лежат точки «входа» - это «линия входа», y= ₂(x) – «линия выхода».

Таким образом, область правильная в направлении оси, если она в направлении этой оси имеет только одну линию входа и одну линию выхода.

Например, на рисунке изображена область, неправильная в направлении оси ОХ, ее можно разбить на две правильные области:

А налогично определяется область, правильная в направлении оси ОХ: ограниченную линиями y = c, y = d, кривыми х = ₁(у), х= ₂(у), причем ₁(у)  ₂(у) для любого y[c,d].

Теорема 22.2.

Пусть f(x,y) – непрерывная в области D функция.

1) Если D – правильная в направлении оси OY, то

2) Если D – правильная в направлении оси OX, то

Интегралы, стоящие справа, называются повторными интегралами (или двукратными). Последняя запись – условное, сокращенное изображение предыдущей. Понимается она так, как записано в центре. При этом первый (левый) интеграл называется внешним, а его переменная – внешней переменной, пределы – внешними пределами.

Второй (в скобках или справа) – внутренний интеграл, его переменная – внутренняя, пределы – внутренние. Запись этих интегралов определяет порядок интегрирования: no dx - no dy; no dy - no dx (так же как при вычислении смешанной производной второго порядка).

П ример 1.

D – правильная в любом направлении.

Пример 2.

( точки пересечения: х + х = 2, х = 1, y = 1)

=