Тема 1.3. Минимизация булевых функций (вариативная часть).
Цели и задачи.
Примеры задач и образцы их решения.
Задача 1.3.1. По заданной карте Карно составьте таблицу истинности булевой функции F(A,B,C,D):
Карта Карно.
-
CD AB
00
01
11
10
00
1
1
01
1
1
1
1
11
1
1
10
1
1
Решение.
По известной карте Карно легко составить таблицу истинности булевой функции:
A |
B |
C |
D |
F(A,B,C,D) |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Серым фоном выделены строки с набором значений, на которых булева функция равна 1.
Задача 1.3.2. Постройте СДНФ по таблице истинности из задачи 1.3.1.
Решение.
Составляем СДНФ, для этого для каждого значения функции равного 1 выписываем элементарную конъюнкцию (конъюнкцию всех переменных), беря отрицание над той переменной, которая в соответствующей строке равна 0:
A |
B |
C |
D |
F(A,B,C,D) |
M |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
M1=
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
M2=
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
M3=
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
M4=
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
M5=
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
M6=
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
M7=
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
M8=
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
M9=
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
M10=
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
Далее записываем дизъюнкцию элементарных конъюнкций, получая СДНФ.
СДНФ
F(A,B,C,D)= M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
M9
M10=
=
Задача 1.3.3. Минимизируйте булеву функцию из задачи 1.3.1 методом Квайна – Мак-Клоски.
Решение.
Минимизация булевой функции методом Квайна-Мак-Клоски предполагает на первом этапе выполнение склейки по формуле
Для
выделения всех возможных склеек
воспользуемся картой Карно. На карте
выделим все области, включающие 2, 4, 8
единиц, расположенных рядом. Помните,
что карта Карно для 4-х переменных имеет
форму тора и все ячейки у нее являются
соседними. Обозначим все области
.
3. Выделяем ядро. Перечислим области, содержащие «1», которые покрываются лишь один раз, в нашем примере это K1, K2, K3 и K6.
4.Перечислим тупиковые ДНФ. В общем случае для этого потребуется использовать функцию Патрика. В нашем примере остались 2 области, не попавшие в ядро, функция Патрика будет записана ровно для одной единицы и будет иметь вид
F= К4
К5
=
5. Сформируем кратчайшие ДНФ:
(
–Ядро)
Выбираем среди кратчайших ДНФ, содержащие наименьшее число литералов, при равном количестве выбираем любую ДНФ.
МДНФ:F=
=
Задача 1.3.4. Изобразите комбинационную схему по полученной в задаче 1.3.3 минимальной ДНФ.
Решение.
Составляем комбинационную схему.
