3 Теорема о движении центра масс

Расположив на горизонтальной поверхности упор, ограничивающий перемещение тела 3, написать теорему о движении центра масс системы в проекциях на ось Ox. Далее используя связь между ускорениями тела 1 и тела 2, полученную дифференцированием, уравнения связи между соответствующими скоростями, определить горизонтальную реакцию R_x этого упора, выразив ее как функцию ускорения тела 1.

Теорема о движении центра масс.

Для системы:

(3.1)

(Упор ставим справа от призмы, не давая ей сдвигаться по Ох вправо)

Обозначим: ,=,= (++)

Подставив в (3.1):

(3.2)

Перемещения тел вдоль оси Ox:

(3.3)

так как призма не движется,

Продифференцируем дважды по времени:

(3.4)

Подставив в (3.2), получим:

-(3.5)

Используя кинематические связи и подставляя числовые значения для в (3.5):

;

4 Предварительный расчет II

В данном пункте и во всех последующих считать призму 3 неподвижным основанием. Движение всех остальных тел по призме рассматривать происходящим при действии их сил тяжестей, а также силы F и момента M. Для выяснения направления движения системы тел выполнить предварительный условно статический расчет по аналогии с п. 1.

Тело 2 :

∑m_cv=0

Блок B:

|T2|=| T’2|;

∑m_B=0,

Тело 1:

Блок А:

|T₁|=|T^’₁|, |T_B|=| T^’_B|,

Сумма моментов для блока А:

=> тело 1 движется вниз, тело 2 движется влево

5 Дифференциальные уравнения движения

Составить дифференциальные уравнения движения каждого из тел системы и из их совместного решения найти скорость и ускорение центра масс тела 1, силы натяжения каждого из участков нити, силу трения сцепления катка 2.

Каток 2:

Уравнение умножим наи прибавим уравнение

Заменим начерез соотношения из п.2 и подставим числовые значения:

300*0,57**3+*0,19*;

1211,25*;

Блок В:

625*0,67*=3*-2*(173,04*+1085,71) ;

;

Блок А:

112,5*=*1-2*(254,94*+723,81) ;

=622,38*+1447,62 ;

Тело 1:

200*= -622,38*-1447,62-100+1732,05+1000 ;

822,38*=1184,43 ;

=1,44 м/;

Подставляя числовые значения:

;

;

;

Из (5.3) определим силу трения сцепления катка:

=1088,64 ;

Определим коэффициент трения катка 2:

Или

Определим скорость центра масс тела 1 как функцию его перемещения.

Проинтегрируем выражения для ускорения первого тела

=

, так как при , а, следовательно, и.

Итак:

=1,7

6 Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Найти скорость как функцию перемещения и ускорение центра масс тела 1 с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема об изменении кинетической энергии:

Для данной системы:

В момент времени :

Тогда теорема примет вид:

Полная кинетическая энергия в конечном положении:

,

где ,,моменты инерций блоков А,В и катка 2

(6.4)

Используя выражения для кинематических связей между скоростями, получим:

(6.5)

Подставим числовые данные в выражение (6.5):

==411,6

T=411,6(6.6)

Распишем правую часть (6.1):

(6.7)

Используя кинематические связи и подставляя их в (6.7) имеем:

(6.8)

Подставляя числовые значения в (6.8):

(6.9)

Следовательно, мы подтвердили результат расчета пункта 4.4

Приравняв друг другу выражения (6.6) и (6.9) получим следующее соотношение:

= (6.10)

Продифференцируем (6.10):

.