Построение правильного икосаэдра.

Найдем соотношение между отрезками а и b, при котором грани построенного выше икосаэдра окажутся правильными треугольниками. Используем рисунок 74, на котором выделена одна грань АВЕ построенного нами икосаэдра.

Рис. 74

Точку пересечения EF с у обозначим буквой Y, а точку пересечения АВ с осью z – буквой Z. Отметим, что OZ = а и AZ = BZ = EY = b, треугольник АВЕ – равнобедренный (АЕ = ВЕ по построению). Найдем условие, связывающее отрезки а и b, при котором окажется правильным (то есть АЕ = АВ).

Проектируем Е на плоскость осей x и z. Получаем точку . . (b выбираем с условием ). Тогда из :

.

Из : . Так как мы хотим, чтобы АЕ = АВ, то = 2b. Отсюда = 4b² или . Получаем уравнение .

Вывод: Если при произвольно выбранном отрезке а за отрезок b принять , то треугольник АВЕ окажется правильным, то есть все грани выше построенного икосаэдра окажутся правильными треугольниками, стороны каждого из которых равны а( ).

Для доказательства равенства всех многогранных углов при вершинах икосаэдра используем: симметрию относительно плоскостей хОу, xOz и yOz, центральную симметрию с центром О и осевые повороты, оси которых проходят через центр симметрии – точку О.

Детальное рассмотрение этих процедур рекомендуем читателю для самостоятельной работы, целесообразно также самостоятельно выполнить доказательство существования и оставшихся трех возможных случаев правильных многогранников (октаэдра, гексаэдра и додекаэдра).

Лекция 5.

О теории измерения основных геометрических величин.

Исторически число, выражавшее меру длины отрезка, площади или объема соответствующей фигуры, указывало на число конкретных единиц длины, площади или объема и число их долей, которые содержатся в рассматриваемой геометрической фигуре – отрезке, плоской фигуре (как части плоскости) или фигуре пространственной (как части пространства). В частности, если речь шла о длине отрезка, то выбрав какой-либо отрезок за единичный, решали задачу о нахождении числа, указывающего на количество единичных отрезков и соответствующих его долей, содержащихся в измеряемом отрезке. Выбранному единичному отрезку при этом присваивалось то или иное название, возникшее исторически в той или иной стране, у того или иного народа: сажень, аршин, дюйм, фут и тому подобное. В настоящее время, как мы знаем, наиболее общеупотребляемой мерой длины является метр – отрезок, равный 4 10^-7 части парижского меридиана (или 1553164,13 длины волны красной линии спектра кадмия при определенных условиях относительной влажности и состава воздуха, его температуры и давления, ускорения тяжести и других факторах). Соответствующие его десятичные доли получили названия: дециметр, сантиметр, миллиметр и т.д. Отрезки, кратные метру в десятичной системе также получают специальные названия, например, километр.

Нахождение меры той или иной величины осуществлялось и осуществляется конструктивно, то есть путем прямого разбиения измеряемого целого на соответствующие части, принятые за единицу меры и ее соответствующие доли. Мера величины свидетельствовала о числе единиц и ее долей, заполняющих измеряемую фигуру. С математической точки зрения интерес представляет лишь само число с которым связана измеряемая величина и характер его связи с нею. При этом обнаруживается, что естественные свойства такой меры (длины, площади, объема) выражаются в следующих ее свойствах:

1. мера выражается положительным действительным числом;

2. меры равных величин равны;

3. мера величины, составленной из других величин того же рода, равна сумме мер ее составляющих;

4. существует величина, мера которой принята за единицу.

Оказалось, что этих свойств достаточно для полного описания понятий длина, площадь и объем. Таким образом, возникло своего рода аксиоматическое или, как говорят в таких случаях, дескриптивное (буквально - описательное) определение этих понятий.

В наше время в математике и в ее учебных курсах, в частности, понятия длины отрезка, площади плоской фигуры, объема пространственной фигуры предстают как функции, заданные на соответствующих множествах фигур со значениями из области положительных действительных чисел, обладающие указанными выше свойствами, которые можно конкретизировать так:

1. ;

2. Если , то ;

3. Если и и не имеют общих внутренних точек, то ;

4. Существует такая, что .

Здесь – отображение множества фигур на множество положительных действительных чисел, – фигуры, иначе элементы множества фигур. Так как в общем виде, то есть вне зависимости от типа фигур, такая функция, как оказалось, не может быть построена, то рассматривается построение отдельных функций, определяемых на классах конкретных фигур одного вида, если, конечно, в рассматриваемом случае множество фигур допускает его разбиение на классы однотипных фигур. Так, например, для множества отрезков прямой речь может идти только об одном (неделимом) классе фигур, представляющем все множество отрезков пространства. Для множества плоских или пространственных фигур такое разбиение на классы возможно, например, на множество прямоугольников, множество параллелограммов, множество треугольников и т.д. и т.п. Второе, третье и четвертое свойства понятий длины, площади и объема называют соответственно свойствами инвариантности, аддитивности и нормированности меры.

1º Длина отрезка.

Определение: длиной отрезка АВ называется действительное положительное число, поставленное в соответствие отрезку так, что:

1. равным отрезкам соответствуют равные числа;

2. если отрезок равен сумме двух отрезков, то его длин равна сумме длин отрезков-слагаемых;

3. существует отрезок, длина которого равна 1.

Отрезок, длина которого равна 1, называют единичным или единицей измерения. Если для обозначения длины отрезка использовать распространенное функциональное обозначение с использованием в качестве обозначения функции буквы (ро), то длина отрезка может быть записана как . Алгоритм нахождения длины отрезка базируется на свойстве Архимеда и аксиоме непрерывности. У Д.Гильберта свойство Архимеда – первая аксиома группы аксиом непрерывности, у С.В.Бахвалова и В.П.Иваницкой свойство Архимеда – следствие аксиомы непрерывности Дедекинда. Суть этого свойства состоит в следующем: для любых отрезков и найдется такое натуральное , что , где

Это свойство влечет за собой существование для и такого целого неотрицательного , для которого .

Для задания функции можно использовать известный алгоритм Евклида, когда один из отрезков или откладывается на другом целое число раз до тех пор, пока это возможно, то есть либо конец последнего откладываемого отрезка совпадет со вторым концом отрезка, на котором первый откладывается, либо расстояние от конца последнего до конца измеряемого будет меньше откладываемого отрезка (см. рис.75).

Рис. 75

В последнем случае число будет представлено в виде цепной дроби. Например, если - диагональ квадрата, а – его сторона, то это число будет представлено бесконечной цепной дробью .

Но такое представление действительного числа мало используется вообще и незнакомо учащимся средней общеобразовательной школы. Поэтому при конструировании функции воспользуемся широко известным практическим приемом измерения отрезков, когда на измеряемом отрезке откладывается единичный отрезок, а затем на остатке – десятичные доли единичного отрезка доли единичного отрезка).

В этом случае длина отрезка, как число действительное, предстает в виде десятичной систематической дроби.

Именно этим вторым способом построения искомой функции мы и воспользуемся. При этом возникает естественный вопрос: а не зависит ли искомая функция от способа ее задания? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Существует и притом единственная функция , удовлетворяющая определению длины отрезка.

1. Доказательство существования.

Выбираем произвольно отрезок е.

На прямой l, содержащей данный отрезок , создаем бесконечную шкалу, соседние точки деления которой – концы отрезка, равного (или конгруэнтного) (рис.76).

Рис. 76

Такую шкалу назовем разбиением прямой l ранга n. Для каждого целого неотрицательного n получаем конкретное разбиение прямой l ранга n.

Число всех отрезков разбиения ранга n, уместившихся на АВ, обозначим , а число всех отрезков этого разбиения, имеющих хотя бы одну общую точку с отрезком АВ, представим (на рис. 76 =7, =9). Легко видеть, что при любом n на две единицы меньше , иначе говоря – =2 при любом целом неотрицательном n. Умножив обе части этого равенства на 10^-n, получаем равенство . Очевидно, что , что ведет к равенству . Умножив последнее на е, получим . Как нетрудно видеть, есть отрезок , содержащий АВ, а – отрезок , содержащийся в АВ. Эти отрезки естественно назвать отрезками ранга n. Две последовательности отрезков и сходятся к одному и тому пределу, которым является отрезок АВ. Последовательности чисел и , связанных с отрезками последовательностей и , как было отмечено выше, также сходятся к одному пределу, который является действительным положительным числом. Обозначим это число буквой . Именно число естественно поставить в соответствие отрезку АВ. Таким образом, появляется конструктивно определенное отображение множества отрезков в множество неотрицательных чисел, которое обозначим буквой (ро). Для числа , о котором выше шла речь, становится возможным представление . Еще раз подчеркнем, что , где - число всех отрезков разбиения прямой АВ ранга n, принадлежащих отрезку АВ.

Теперь покажем, что , поставленное в соответствие АВ, обладает свойствами 1, 2 и 3 из определения длины отрезка.

1. Итак, . Требуется доказать, что . Без потери общности можно считать, что оба отрезка лежат на одной прямой l, на которой задана «десятичная» шкала. При этом можно также считать, что точки А и С принадлежат одному отрезку ранга n. Этого можно добиться путем соответствующего перемещения CD на l. В это случае , а потому и . Последнее означает, что точки B и D либо принадлежат одному отрезку ранга n, или принадлежат смежным отрезкам этого ранга (рис. 77).

Рис. 77

Пусть число всех отрезков ранга n, содержащихся в АВ, есть и соответственно – число отрезков шкалы, содержащихся в CD. Очевидно, что в первом случае (левая часть рисунка 57) = , а во втором – = 1(эта разность соответствует представленному на рисунке случаю). В общем случае | – | ≤ 1. Отсюда для любого целого неотрицательного n, а это означает, что при всех допустимых n. Но , следовательно = 0 или . Итак, условие 1 определения длины отрезка выполнено.

2. Пусть С – внутренняя точка АВ, а значит . В этом случае нужно доказать, что .

Снова АВ лежит на прямой l с десятичными шкалами рангов n. Для положения точки С на этой шкале снова характерны только два случая: С – общий конец смежных отрезков шкалы, С – внутренняя точка одного из отрезков шкалы, содержащихся в АВ (рис. 78).

Рис. 78

Пусть , и имеют тот же смысл, что и в предыдущих случаях. Для случая положения С на АВ, представленного в левой части рисунка, очевидно, что + = . В случае, отображенном в правой части рисунка + = –1. Таким образом, в общем случае . Умножая все части двустороннего неравенства на 10^-n и переходя к пределу, получим .

3. Рассмотрим фиксированный нами отрезок е. Именно его 10^-n –ая часть использовалась для построения шкалы ранга n на прямой l. Сам отрезок е может располагаться на такой шкале либо так, как это изображено в левой части рисунка 79, либо так, как это представлено в его правой части.

Рис. 79

В первом случае, = 10^-n , а во втором – . Отсюда или . Ясно, что и в первом и во втором случаях . Иначе говоря .

Таким образом, выполнено и третье условие определения длины.

2. Перейдем к доказательству единственности функции .

Пусть λ – какая-либо функция, заданная на множестве отрезков со значениями в R⁺, обладающая свойствами 1, 2 и 3 определения длины отрезка. Докажем, что λ совпадает с . Заметим, что единичный отрезок – отрезок е.

В силу условия 3 определения длины отрезка . Значит , отрезок е делим на 10ⁿ частей и эти части обозначим . В силу условия 1 определения длины и точно также как и (i=1, 2, …, 10ⁿ). Отсюда для любого соответствующего i.

Пусть АВ – произвольный отрезок на l и MN – отрезок, составленный из всех , входящих в АВ, а – минимальный отрезок, составленный из и содержащий АВ.

и , значит = . Точно так же получаем = . Функции λ и монотонно возрастают, поэтому ≤ < и ≤ < . Учитывая, что = , получаем | – | ≤ 0, то есть = .

Таким образом, функции λ и при фиксированном е совпадают.

Теорема доказана полностью.

Замечание 1.

На первый взгляд, способ нахождения длины отрезка, основывающийся на доказанной теореме, не соответствует традиционно сложившемуся, когда на измеряемом отрезке последовательно сначала откладывается единичный отрезок е (если измеряемый больше или равен е), а затем, в случае возникновения остатка меньшего е, его десятая доля, то есть е 10^-1, и так далее на (k+1)-ом шаге, при наличии остатка, на нем откладывается е 10^-k. В результате длина отрезка представляется суммой (числовым рядом) , где а₀ – целое неотрицательное число, а все a_i, где – целые числа из промежутка от 0 до 9. Такой ряд представляется десятичной дробью а₀,а₁а₂…а_k,…, которая может быть периодической или непериодической, а значит представляет либо рациональное, либо иррациональное число. На самом деле, практический прием измерения длины отрезка, всего лишь частный случай рассмотренного нами выше и связан лишь со специальным расположением измеряемого отрезка на десятичной шкале, которую мы задавали на прямой l. Один конец этого отрезка совмещается с нулевой точкой 0 прямой l.

Замечание 2.

Длина отрезка зависит от выбора единичного отрезка е, при этом, если длина АВ, измеренная е₁, равна , а при его измерении единицей , то , где – длина е₁, измеренная е₂.

Замечание 3.

Начиная с А.Лежандра (1752-1833 гг.), отношение пропорциональности пар отрезков определяется как равенство двух отношений длин отрезков этих пар: пропорциональна , если длины отрезков этих пар и соответственно образуют пропорцию (или ).

В теории подобия фигур непосредственно используется, однако, не отношение отрезков, а пропорциональность пар отрезков (равенство отношений). При этом опираются на теорему «о пропорциональных отрезках», отложенных на сторонах угла, которая выступает геометрическим эквивалентом арифметическому определению пропорциональности пар отрезков.

Рассмотрим эту теорему.

Теорема: Пары отрезков и пропорциональны тогда и только тогда, когда и , соединяющие концы отрезков и , и , равных (конгруэнтных) соответственно AB и CD, и и отложенных от вершины О на его сторонах h и k соответственно, параллельны.

1. Пусть прямые и параллельны. Докажем, что .

Рассматриваем два случая:

1. АВ и CD соизмеримы

2. АВ и CD несоизмеримы

Случай 1. Отметим, что в этом случае соизмеримы и и (рис.80).

Рис. 80

Пусть е – единичный отрезок, представляющий m-ю часть отрезка АВ, тогда АВ = е m и в рассматриваемом случае CD = e n. Тогда и = e m и = e n. Делим и на m и n равных частей (каждая часть равна е). Проведя через точки деления прямые, параллельные и , разобьем и отрезки и на m и n равных частей соответственно. Поэтому и . Таким образом, получаем пропорцию , а отсюда и .

Случай 2. АВ и CD несоизмеримы. В этом случае несоизмеримы и и (рис.81).

Рис. 81

Делим отрезок на 10ⁿ равных частей (n = 1, 2, …). При этом не делится на равные части ни при одном значении n.

Пусть n = 1, тогда укладывается на m₁ с остатком, меньшим , таким образом . По теореме Фалеса и . Далее делим на 10². Такие же рассуждения приводят нас к неравенствам и .

На р-м шаге имеем два неравенства:

и и так далее для любого натурального n. Получаем . Так как , то , что возможно лишь при условии равенства или соответственно .

Итак, достаточность условия теоремы доказана.

Теперь обратное.

2. Пусть , а значит и . Доказать, что ║ (рис.82).

Рис. 82

Проведем через D₁ прямую d, параллельную , и пусть она пересекает k в точке . Так как по доказанному выше из ║ следует , то получаем две пропорции: та что представлена в условии утверждения, то есть , и полученная нами для отрезков и . Отсюда получаем: , что возможно лишь при условии равенства (конгруэнтности) отрезков и . В силу аксиом третьей группы (аксиом конгруэнтности) это возможно лишь при условии совпадения точек и . Последнее означает совпадение прямых и . Таким образом, ║ .

2º. Площадь плоской фигуры.

Рассматриваются ограниченные фигуры и именно для таких фигур вводится понятие площади. По форме это определение совпадает с определением длины отрезка, как и в этом случае, площадь – функция, задаваемая на множестве фигур, значениями которой являются положительные действительные числа.

Определение 1: Будем говорить, что фигура F разбита на составляющие фигуры F₁ и F₂, если: каждая точка F является точкой либо фигуры F₁, либо фигуры F₂ и наоборот, всякая точка F₁ или F₂ есть точка фигуры F; F₁ и F₂ не имеют общих точек, кроме точек границы этих фигур.

Примеры разбиения фигуры на составляющие приведены на рис. 83.

Рис. 83

В случае I четырехугольник ABCD разбит на составляющие отрезком MN, в случае II треугольник ABC разбит на составляющие фигуры ломаной линией, а в случае III фигура F разбита на F₁ и F₂ линией, соединяющей точки P и Q, принадлежащие границе фигуры F.

Определение 2: Площадью плоской фигуры называют действительное неотрицательное число, поставленное фигуре в соответствие так, что при этом:

1. равные фигуры имеют равные площади;

2. если фигура разбита на две составляющие фигуры, то ее площадь равна сумме составляющих фигур;

3. площадь квадрата со стороной, длина которой равна 1, равна 1.

Основная задача – указать функцию, определенную на множестве фигур, значения которой – неотрицательные действительные числа, удовлетворяющие условиям 1, 2 и 3.

Следует заметить, что в отличие от длины отрезка площадь плоской фигуры определена не на множестве всех возможных плоских фигур, а только на множестве так называемых квадрируемых фигур, то есть, прежде всего, фигур ограниченных, представляющих замкнутые области. В общем случае, рассматривают две последовательности простых (или даже выпуклых) многоугольников, из которых первая – последовательность многоугольников, вложенных в фигуру F, а вторая – содержащих в себе эту фигуру. Если – члены первой последовательности, а – второй, то для любого натурального n. F квадрируема, если . Именно этот общий предел и принимается за значение функции S(F). Только с квадрируемыми фигурами и имеет дело теория площадей плоских фигур. Определение квадрируемой фигуры показывает, что в нем используется понятие простого многоугольника. Поэтому возникает задачa №1 о построении соответствующей функции-площади на множестве простых многоугольников. Решение этой задачи приводит нас к определению функции S(F) на множестве треугольников, а эта последняя базируется на определении S(F) на множестве прямоугольников. Таким образом, возникает следующая последовательность в решении общей задачи:

1. площадь прямоугольника;

2. площадь треугольника;

3. площадь выпуклого многоугольника;

4. площадь квадрируемой фигуры.

Рассмотрим в указанной последовательности эти случаи определения площади выпуклого многоугольника.

1. Площадь прямоугольника P со смежными сторонами a и b.

   1. P есть квадрат, тогда a = b. Пусть Е – квадрат со стороной, равной 1 и сторона квадрата P имеет длину . Тогда S(E) = S(P) n². Отсюда .

   2. Р – прямоугольник, смежные стороны которого имеют длины a и b соответственно.

      1. a и b – числа рациональные. Представляем эти числа дробями со знаменателем n, то есть и . Делим стороны прямоугольника соответственно на l и m частей и через точки деления проводим прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Прямоугольник оказывается разделенным на lm квадратов, площадь которых равна (сторона каждого квадрата имеет длину ). Таким образом, площадь прямоугольника Р равна , то есть S(P) = ab.

      2. Хотя бы одно из чисел a и b – число иррациональное. Для a и b существуют рациональные приближения как «по недостатку», так и «по избытку». Последовательности этих приближений обозначаем соответственно , и , . и – длины смежных сторон прямоугольников, входящих в данный прямоугольник Р, а и – длины смежных сторон прямоугольников, содержащих в себе Р (рис. 84).

Рис. 84

ABCD – прямоугольник Р, со сторонами a и b. – прямоугольник со сторонами и , входящий в Р. – прямоугольник со сторонами и , содержащий Р.

, коротко обозначим ее ; , которую обозначим .

Очевидно, что . Площади прямоугольников ABCD, и очевидно связаны неравенствами .

Так как , а , то неравенство (1) предстанет в виде . Сопоставляя последнее с неравенством (2) получаем , то есть . Но для любого наперед заданного >0 найдется такое n( ) такое, что как только n > n( ) . Подставляя это в равенство (3) получаем: неравенство < при любом наперед заданном . Это возможно лишь для числа 0. Таким образом =0 или .

Вывод: Площадь прямоугольника с длинами смежных сторон a и b равна произведению при любых положительных действительных a и b.

2. Площадь параллелограмма.

Путь ABCD – параллелограмм, отличный от прямоугольника (рис.85).

Рис. 85

Из смежных вершин В и С опускаем на AD перпендикуляры. Пусть A₁ и D₁ – точки их пересечения с AD.

Четырехугольник – общая часть данного параллелограмма и прямоугольника . Треугольники и конгруэнтны (равны).

В силу свойства 1 определения площади фигуры , кроме того и (в силу свойства 2 определения площади). Правые части этих равенств равны, значит равны и их левые части, то есть имеем . ВА₁ – не только сторона прямоугольника A₁BCD₁, но и высота данного параллелограмма, обозначим ее h_a. Сторона ВС параллелограмма ABCD является и стороной прямоугольника A₁BCD₁, обозначим ее а. При выбранных обозначениях . В силу равенства (1) и

= а^.h_a.

Теперь убедимся в том, что число ah_a одно и то же для всех случаев выбора сторон параллелограмма и соответствующей ей высоты. Иначе говоря, если выбрана сторона АВ и соответствующая ей высота, а их длины обозначены буквами b и h_b, то нужно доказать, что b^.h_b = a^.h_a.

Из точек А и D опустим перпендикуляры на ВС (рис. 86).

Рис. 86

Основания этих перпендикуляров – точки В₁ и С₁. Точно так же получаем на АВ точки А₁ и В₂. Докажем равенство площадей прямоугольников и .

У этих прямоугольников есть общая часть – четырехугольник . Поэтому имеем и (2).

, так как , точно так же . По этой причине правые части равенств (2) равны, а значит и их левые части равны, то есть = . Иначе, b^.h_b = a^.h_a.

Вывод: Площадь параллелограмма равна произведению длин его стороны и соответствующей ей высоты.

3. Площадь треугольника.

Достраиваем данный треугольник АВС до параллелограмма ABCD (рис. 87).

Рис. 87

, если обозначить через b, а – h_b, то . Так как при этом , то . Отсюда и .

Теперь следует убедиться в том, что , где а и с – длины сторон ВС и АВ соответственно, а h_a и h_c – высоты, соответствующие сторонам а и с. Рисунок 88 иллюстрирует это доказательство.

Рис. 88

Параллелограммы ABCD и ABCE – равносоставленны: ABCD – из треугольников и , ABCE - из треугольников и .

Отсюда и получаем .

3. Площадь простого многоугольника.

Отметим, что простой многоугольник, являющийся выпуклым, чаще всего разбивают на составляющие его треугольники одним из двух способов: либо соединяют одну из вершин многоугольника с каждой из оставшихся n – 1 вершиной за исключением смежных с выбранной вершиной, либо фиксируют внутреннюю точку многоугольника и соединяют ее с каждой вершиной многоугольника. В первом случае многоугольник делится на n – 2 треугольников, а во втором – на n треугольников. Для простого многоугольника, не являющегося выпуклым, первый способ деления может оказаться не выполнимым (рис. 89).

Рис. 89

В левой части рисунка А₁А₂А₃А₄А₅ делится на треугольники путем соединения вершины А₅ с вершинами А₂ и А₃. В правой части рисунка вершина А₄ соединяется с вершинами А₁, А₂ (соединение с А₃ и А₅ не дает треугольников деления), но и не принадлежат многоугольнику А₁А₂А₃А₄А₅, а значит не являются треугольниками разбиения этого многоугольника.

За площадь многоугольника принимается сумма площадей треугольников его разбиения на треугольники.

Замечание 1: площадь квадрируемой фигуры, не являющейся многоугольником, подробно рассматривается в учебном курсе математического анализа, поэтому эту часть нашей задачи мы здесь не рассматриваем.

Замечание 2: остается вопрос о независимости величины площади многоугольника от способа ее нахождения, например, не будет ли она зависеть от способа разбиения многоугольника на треугольники?

Ответ на подобные вопросы дает теорема о существовании и единственности площади многоугольных фигур.

Теорема: На классе многоугольных фигур существует одна и только одна функция со свойствами 1, 2 и 3 из определения площади плоской фигуры.

1. Докажем единственность такой функции. Пусть и – функции, определенные на классе многоугольных фигур, обладающие свойствами 1, 2 и 3 из определения площади. – многоугольная фигура и и – значения этих функция для Р. Разобьем Р на треугольники . В силу свойства 2 и . Правые части этих равенств – одно и то же число, значит . Это и означает, что .

2. Докажем существование.

Хотя выше мы и указали способ задания отображения множества простых многоугольников в R⁺, невозможно утверждать, что это отображение есть функция, а потому мы не можем рассматривать эту конструкцию как определение интересующей нас функции. Таким образом, вопрос существования функции S(P) должен быть рассмотрен.

Доказательству существования предпошлем три леммы.

Лемма 1: Произведение длины стороны треугольника и длины соответствующей ей высоты для всех трех сторон треугольника одинаково.

Пусть – произвольный треугольник (рис. 90).

Рис. 90

подобен . Из их подобия следует пропорция . Отсюда получаем равенство . Точно так же из подобия треугольников и получаем , а отсюда .

Таким образом: АВ СН₃ = АС ВН₂ = ВС АН₁. Здесь АВ, АС и ВС стороны , а АН₁, ВН₂ и СН₃ – его высоты.

Переходя к следующему вспомогательному утверждению, примем три соглашения:

1. В длины его сторон и соответствующих им высот обозначим стандартным способом: a, b, c и h_a, h_b, h_c.

2. Для точки О, лежащей вне , расстояния от О до АВ, АС и ВС обозначим m, n и p соответственно.

3. Всякой упорядоченной тройке точек (P, Q, M) ставим в соответствие число равное половине произведения длины отрезка PQ и расстояния от точки M до прямой PQ. Если обозначить первое q, а второе h_q, то это число есть . Для троек (А, В, О), (А, С, О) и (В, С, О) эти числа равны: , и , для троек (А, В, С), (А, С, В) и (В, С, А) – , и .

4. Если на плоскости фиксирован , то при фиксированной точке М каждой паре (АВ, М), (АС, М) и (ВС, М) ставим в соответствие целое число, модуль которого равен либо числу (А, В, М), либо числу

(А, С, М), либо числу (В, С, М) соответственно, а знак «+» или «–» характеризует положение точек пар (С, М), (В, М) и (А, М) относительно прямых АВ, АС и ВС соответственно: если М принадлежит внутренней области , то (АВ, М), (АС, М) и (ВС, М) положительны, если М – вне , то одно из трех чисел (АВ, М), (АС, М) и (ВС, М) отрицательно (рис. 91).

Рис. 91

.

Числа (АВ, С), (АС, В) и (ВС, А) считаем положительными, кроме того, в силу леммы 1 они равны между собой: = = . Таким образом, (А, В, С) и (АВ, С) равны, то же самое имеет место и для (А, С, В) и (АС, В), (В, С, А) и (ВС, А). Числа соответствующие (А, В, М), (А, С, М), (В, С, М), (АВ, М), (АС, М) и (ВС, М) можно отождествлять с самими этими тройками и парами.

Лемма 2. Если треугольник АВС не содержит точку О и она не принадлежит ни одной из прямых АВ, АС и ВС, то .

Пусть П_а, П_в и П_с – полуплоскости с граничными прямыми ВС, СА и АВ соответственно, содержащие точки А, В и С в последовательности записи граничных прямых (рис. 92). Прямые ВС, СА и АВ делят плоскость на 7 частей, которые можно рассматривать как пересечения троек полуплоскостей с граничными прямыми ВС, СА и АВ. К указанным выше полуплоскостям следует добавить полуплоскости им дополнительные: , и .

Рис. 92

Части плоскости, о которых шла речь выше можно представить следующими пересечениями:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. .

На рисунке 92 эти области отмечены цифрами.

Три из них угловые – это области с номерами 5, 6 и 7, три другие – 2, 3 и 4 – пересечения внутренних областей пар внешних углов . По условию теоремы точка О принадлежит одной из перечисленных шести областей. При этом естественно разделить эти шесть случаев на два типа: 1-й – О лежит в одной из областей с номерами 5, 6 или 7, 2-й – О лежит в одной из областей 2, 3 или 4. Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: О принадлежит области под номером 2, то есть (рис. 93).

Рис. 93

Так как , то ОС пересекает АВ в точке , а так как и , то . Таким образом, во-первых, лежит внутри угла С треугольника АВС, а во-вторых, С’ лежит на прямой АВ. Значит, принадлежит стороне АВ треугольника АВС. Отсюда и .

Следствием этого являются равенства , и , (1).

Здесь h₁ – расстояние от А до прямой ОС, h₂ – расстояние от В до ОС. Кроме того, из , и следует, что , и (2).

Равенства (1) можно записать в виде:

Используя равенства (2), последние четыре равенства предстанут в виде:

Складываем почленно 2-ое, 3-е и 4-ое из них, получаем:

Учитывая 1–е равенство, окончательно получаем: .

Случай 2. Точка (рис. 94).

Рис. 94

Отсюда получаем: и (1).

Опустим рассуждения, приводящие к тому, что точка пересечения ОС с АВ принадлежит отрезку АВ, а точка С лежит между О и . Следствием этих фактов являются равенства: и . Отсюда, в свою очередь, следует четыре равенства:

Пользуясь соотношениями (1), эти равенства приводятся к равенствам

Из равенств (2) следует .

В остальных четырех случаях положения точки О относительно выводы, представленные в рассмотренных случаях, повторяются. Таким образом, можно считать лемму 2 доказанной.

Лемма 3. Если S₁, S₂, …, S_m и T₁, T₂, …, T_n – два разбиения многоугольной фигуры Р на треугольники S_i и T_j, то s(S₁) + +s(S₂) + … + s(S_m) = s(T₁) + s(T₂) + … + s(T_n).

Пусть m = 1, то есть Р = S₁ (иначе говоря, Р – треугольник S₁). Тогда Т₁, Т₂, …, Т_n – разбиение треугольника S₁. Пусть L_i1, L_i2, L_i3 – стороны треугольника T_i, а l_i1, l_i2, l_i3 – их длины. Вне Р возьмем точку О. Расстояние от О до прямых, содержащих L_i1, L_i2, L_i3, обозначим p_ij (j = 1, 2, 3). Пусть в зависимости от того, как расположены О и треугольник T_i относительно прямой, содержащей L_ij: по одну сторону или по разные стороны. Для каждого треугольника T_i и точки О записываем формулу (*) из леммы 2 и суммируем по i, в результате чего получаем:

.

Обозначим вершины треугольника S₁ буквами А, В, С ( – ). Сумму, стоящую в правой части равенства (1) разбиваем на четыре суммы: 1-ая – сумма членов , для которых отрезок L_ij на ВС, 2-ая – сумма членов того же типа, для которых L_ij лежит на СА, 3-ая – для которых L_ij принадлежит АВ, 4-ая группа слагаемых , для которых L_ij – общая сторона двух треугольников разбиения T₁, T₂, …, T_n. Обозначим суммы членов первых трех видов через , и . У всех членов суммы множители p_ij и имеют одинаковые значения, которые поэтому обозначим р и ε (р – длина перпендикуляра, опущенного из О на ВС, ε либо у всех членов суммы +1 или –1). Поэтому Но = ВС, а потому = (ВС, О). Точно так же находим, что

= (СА, О), = (АВ, О). Члены четвертой частичной суммы распадаются на суммы пар членов, имеющих одинаковые множители l_ij и p_ij, но противоположные множители , то есть суммы вида . Значит, вся сумма четвертого типа равна 0.

Таким образом, .

Теперь обратимся к общему случаю, когда Р имеет два разбиения на треугольники: S₁, S₂, …, S_m и T₁, T₂, …, T_n. Введем понятие правильного измельчения разбиения фигуры на треугольники.

1. Разбиение называется правильным, если пересечение любых двух его треугольников есть либо общая сторона, либо общая вершина, либо они вообще не имеют общих точек (рис. 95).

Рис. 95

2. Разбиение многоугольной фигуры называют измельчением первого ее разбиения, если всякий треугольник первого разбиения разбит на треугольники второго.

Всякое разбиение многоугольной фигуры обладает правильным измельчением. Будем использовать без доказательства тот факт, что всякие два разбиения многоугольной фигуры обладают общим измельчением.

Пусть U₁, U₂, …, U_q – общее правильное измельчение разбиений и многоугольной фигуры Р. Каждый треугольник S_i первого разбиения Р правильно разбит на треугольники U_ij (i = 1, 2,…, m) измельчения. В частности, S₁ состоит из треугольников правильного измельчения Р. Согласно только что доказанному . Точно также и для Т₁ и т.д. Поэтому получим

Отсюда .

Переходим к доказательству существования функции s(P). Пусть – разбиение Р на треугольники. Примем за s(P) сумму площадей T_i, то есть . Согласно лемме 3 это число не зависит от выбора разбиения на треугольники многоугольной фигуры Р. Значит s(X) – функция, определенная на множестве многоугольных фигур P_i. Так как s(T_i) обладает свойствами 1, 2 и 3 из определения площади плоской фигуры F, то s(X) этими свойствами обладает, то есть s(Р_i) – площадь плоской фигуры P_i.

Итак, существование и единственность s(P_i) доказана и сама функция s(P_i) определена конструктивно.

Замечание. Отметим, что теория площадей плоских фигур (фигур двумерного пространства) могла бы строиться сразу для квадрируемых фигур без последовательного рассмотрения площадей прямоугольника, треугольника и многоугольника. В этом случае фигура рассматривается в плоскости, на которой нанесена бесконечная сетка квадратов со стороной , где – единичный отрезок, подобно тому, как в случае одномерного пространства мы используем сетку-шкалу на прямой l.

Однако, именно использованный нами путь соответствует историческому ходу формирования понятия о площади фигуры, который по естественным причинам и находит отражение в педагогической практике.

3º. Об объеме пространственной фигуры.

Если придерживаться исторического хода формирования понятия объема, то мы должны будем выстроить такую же последовательность конструктивных определений объемов: прямоугольного параллелепипеда, тетраэдра и простого или даже выпуклого многогранника, какую имели при построении площади многоугольной фигуры. В педагогической практике именно этот путь более или менее последовательно и реализуется. Однако, следует заметить, что в отличие от случая двумерного пространства, когда мы говорим о площадях плоских фигур, в трехмерном пространстве возникает потребность в рассмотрении вопроса о равновеликости треугольных пирамид, так как прямоугольная призма (в отличие от параллелограмма) не может состоять из равных пирамид, как параллелограмм из треугольников. В первом случае только при определении площади прямоугольника мы вынуждены прибегать к теории пределов, все остальное конструктивно и конечно. При решении вопроса об объеме многогранника такой процедурой приходится пользоваться дважды: при вычислении объема прямоугольного параллелепипеда и при вычислении объема треугольной пирамиды (или тетраэдра). Это делает всю теорию объемов более сложной, чем теория площадей плоских фигур. Объем тетраэдра не может быть вычислен такими же простыми средствами как площадь треугольника. Связано это с проблемой равносоставленности многогранников. Об этом поговорим в следующей лекции.

Общий план определения объема многогранника в целом тот же, что и для площади многоугольника:

1. объем прямоугольного параллелепипеда,

2. объем призмы,

3. объем тетраэдра,

4. объем многогранника.

Первые два этапа практически дословно повторяют такие же этапы построения площадей плоских фигур. Третий этап принципиально отличается от аналогичного для площадей плоских фигур. По этим причинам первые два этапа задания функции объема на множестве многогранников мы рассматривать не будем, но определение объема тетраэдра (треугольной пирамиды) рассмотрим подробно.

Задача нахождения объема n-угольной пирамиды, очевидно, сводиться к объему треугольной пирамиды, поскольку n-угольную пирамиду можно разбить на составляющие треугольные пирамиды. Треугольную пирамиду можно пополнить до треугольной призмы (рис.96).

Рис. 96

Пирамиду пополним до призмы , проводя через вершины В и С прямые, параллельные , а через вершину – прямые, параллельные АВ и АС и соединяя затем полученные точки и . Полученная призма состоит из трех тетраэдров: данного и двух, полученных в результате описанного выше построения, и .

Для любой пары этих тетраэдров они, как пирамиды, при надлежащем выборе оснований и высот, имеют равные основания и высоты. Если мы докажем, что объемы таких пирамид равны, то это и будет означать, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы .

Итак, докажем теорему.

Теорема: Две пирамиды с равными высотами и равными основаниями имеют равные объемы.

При доказательстве этого утверждения воспользуемся тем фактом, что сечения двух пирамид, с равными высотами и равными основаниями, плоскостями, параллельными их основаниям, равны. Это есть следствие теоремы о сечении пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию (см., например, «Геометрия», ч.2, А.П.Киселева, или «Геометрия», В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский, или «Геометрия 7-11», Погорелов А.В.).

Итак, имеем две пирамиды и , у которых равны высоты и и их основания и (рис. 97). Каждую из высот и разбиваем на n равных частей и через точки деления проводим плоскости, параллельные основаниям пирамид и .

Рис. 97

В сечениях пирамиды этими плоскостями получаем треугольники , ,…, и , , …, попарно равные между собой: . На каждом из этих треугольников как на основании строим по две призмы, расположенные по разные стороны от плоскости сечения. На основаниях пирамид строим по одной призме, расположенной от плоскостей оснований со стороны вершин пирамид. Боковые ребра этих призм либо принадлежат ребрам и данных пирамид, либо параллельны этим ребрам. С каждой из данных пирамид оказываются связанными по два ступенчатых тела, каждое из которых составлено из призм и для пирамиды SABC и и для пирамиды . Призмы и составляют ступенчатые тела, содержащиеся в данных пирамидах, а ступенчатые тела, составленные из призм и , содержат в себе данные пирамиды. В каждой паре последовательностей призмы с одинаковыми номерами равновелики, так как имеют равновеликие основания и равные высоты ( равновелика , равновелика ). Следовательно, попарно равны и объемы ступенчатых тел: ( ) и ( ) и ( ) и ( ).

Пусть V – объем пирамиды , а – объем пирамиды . Объемы ступенчатых тел обозначим и V_n для пирамиды , а и – объемы ступенчатых тел, отвечающих пирамиде . Очевидно, что и . Так как = , а , то эти неравенства имеют вид и . Отсюда для любого натурального n.

Но , а . В силу второго условия определения объема и . Отсюда , так как . Таким образом .

, где S – площадь и . , то есть и . Этот результат означает, что или , что и требовалось доказать.

Как было отмечено выше, всякую треугольную пирамиду можно связать (достроить) с треугольной призмой (рис. 96), которая будет состоять из трех равновеликих пирамид, одной из которых данная пирамида и является. Если обозначить данную пирамиду через , а соответствующую ей призму через , то , но , где h – высота призмы, проведенная из вершины к плоскости основания . Она же будет являться и высотой пирамиды , поэтому , то есть третьей части произведения площади основания пирамиды и ее высоты.

Если пирамида – n-угольная, то разбиваем ее на треугольные пирамиды, разделив ее основание на треугольники и соединив их вершины с вершиной данной пирамиды (рис. 98).

Рис. 98

Если треугольники разбиения основания обозначить , а высоту пирамиды – , то объем пирамиды равен или , но . Отсюда .

Для нахождения объема многогранника разбиваем его на пирамиды, основаниями которых являются грани многогранника. Сумма объемов этих пирамид и дает нам объем многогранника.

На этом закончим обзор теории измерения длин, площадей и объемов основных геометрических фигур. Для более подробного ознакомления с ней можно рекомендовать «Энциклопедию элементарной математики», т. 5, издательство «Наука», Москва, 1966 год.

Лекция 6

О равновеликости и равносоставленности многоугольников и многогранников.

Решение задачи о нахождении площади плоской фигуры или объема пространственной фигуры, прежде всего, площади простого многоугольника или объема простого многогранника, осуществляется: либо разбиением данной фигуры на составляющие фигуры, площади или объемы которых мы уже умеем находить, либо её дополнением известными в этом смысле фигурами до фигуры, площадь или объем которой нам уже известен. Часто эти приемы применяются одновременно (рис. 99).

Рис.99

«Отрезаем» треугольник и «добавляем его» к параллелограмму, получаем прямоугольник , площадь которого есть сумма площадей двух фигур, из которых состоит параллелограмм . На этом основании заключаем, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника.

Другой пример представлен на рисунке 100. «Крест» составленный из пяти одинаковых квадратов, преобразуется в квадрат путем «обрезания» четырех прямоугольных треугольников (заштрихованы на рисунке) и добавления их к оставшейся от креста фигуре так, как показано на рисунке. Площадь «креста» равна площади полученного квадрата.

Рис.100

Еще один пример этого рода, на рисунке 101 показан способ определения площади треугольника. MN – средняя линия, .

Рис. 101

Параллелограмм BMPC имеет площадь, равную площади .

Можно указать общий прием преобразования простого многоугольника в равный ему по площади треугольник (рис. 102).

Рис. 102

Выбираются три последовательные вершины, например, A₁ , A₂ , A₃. Через A₂ проводится прямая, параллельная диагонали A₁ A₃ и отмечается точка ее пересечения с прямой A₁ A₄ (в общем случае – с прямой A₁ A_n). В результате фигура (в общем случае ) имеет площадь равную площади исходного многоугольника. Следует, однако, заметить разницу с предыдущими случаями перестроения данной фигуры, которая состоит в том, что данная фигура и построенная, строго говоря, имеют равные площади не потому, что составлены из попарно равных фигур, а потому, что одна, или несколько, как в правой части рисунка, пар треугольников – треугольники, имеющие равные площади, хотя они и не равны друг другу.

Как видим, приемы нахождения площади, связанные с заменой одной фигуры другой, равной ей по площади, приводят нас к необходимости, с одной стороны, введения специальных (новых) понятий равносоставленности и равновеликости фигур, а затем требуют и решения вопроса о взаимосвязи этих понятий. Такую же ситуацию мы имеем и в случае перехода к пространственным фигурам.

1. Две фигуры называют равносоставленными, если их можно разбить на одинаковое число попарно равных фигур. Обратим внимание на то, что речь идет о равенстве фигур, являющихся элементами разбиений разных фигур. На рисунках 99, 100, 101 мы имеем примеры равносоставленных фигур.

Когда речь идет о равносоставленных многоугольниках или многогранниках, то их разбивают на попарно равные треугольники или, соответственно, тетраэдры (треугольные пирамиды).

2. Две фигуры называются равновеликими, если равны их площади или объемы, в зависимости от того, являются ли рассматриваемые фигуры плоскими или пространственными.

В этой лекции мы рассматриваем соотношения между этими понятиями.

₁ . Равновеликость и равносоставленность многоугольников.

Здесь речь идет о простых многоугольниках, хотя на рисунках будут фигурировать только выпуклые многоугольники. Очевидно, что два равносоставленных многоугольника равновелики. Возникает естественный вопрос о обратном переходе: будут ли равновеликие многоугольники равносоставленными? Ответ на этот вопрос был дан в первой половине XIX века независимо друг от друга венгерским математиком Фаркашем Бойяи (1832 г.) и немецким офицером любителем математики Гервином (1833 г.). Доказательством теоремы Бойаи-Гервина мы и займемся сейчас.

Лемма 1. Если два параллелограмма имеют две равные стороны и равные высоты, опущенные на равные стороны, то они равносоставлены.

Используем как факт то, что отношение равносоставленности является отношением эквивалентности. Существует прямоугольник равносоставленный с каждым из данных параллелограммов (см. рис. 99 и текст к нему). Значит, по транзитивности отношения равносоставленности будут равносоставлены и данные параллелограммы.

Лемма 2. Треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим сторону, равную стороне треугольника и высоту в два раза меньшую соответствующей высоты треугольника.

Обратимся к рис. 101. На нем имеем и параллелограмм , находящиеся в условиях леммы. Равносоставленность этих фигур видна из рисунка.

Лемма 3. Треугольники с равными основаниями и равными высотами равносоставлены.

От данных треугольников и с равными основаниями BC и B₁C₁ и равными высотами, опущенными из A и A₁ соответственно на BC и B₁C₁ , переходим к параллелограммам с равными сторонами и равными высотами, которые равносоставлены по лемме 1. Каждый из них равносоставлен с треугольниками и по лемме 2. Тогда в силу транзитивности отношения равносоставленности равносоставлены и треугольники и .

Лемма 4. Два равновеликих треугольника с равными основаниями имеют и равные высоты (соответствующие этим основаниям).

Пусть равновелик и при этом (рис. 103).

Рис. 103

Последовательно переходим от к параллелограмму , а от к параллелограмму . Последние равновелики друг другу по транзитивности. Затем от параллелограмма – к прямоугольнику ,а от параллелограмма – к прямоугольнику . Прямоугольники так же равновелики. Так у этих прямоугольников по условию , то их стороны A₂B и равны в силу известного выражения площади прямоугольника в виде произведения его смежных сторон (см. лекцию 5, пункт ). Но A₂B и – высоты треугольников и .

Лемма 5. Равновеликие треугольники равносоставлены.

Пусть равновелик . Для определенности положим, что (рис. 104).

Рис.104

Через проводим прямую l параллельно и, построив окружность , отмечаем точку A₁ пересечения l с окружностью . В силу леммы 3 равносоставлен с . С другой стороны, в силу равносоставленности равновелик , а значит равновелик и треугольнику ABC. Треугольники и имеют при этом равные стороны AB и . По этой причине в силу леммы 4 и имеют и равные высоты, проведенные в них из вершин C и . Тогда по лемме 3 эти треугольники (т. е. и ) равносоставлены. По транзитивности отношения равносоставленности равносоставлен с .

Лемма 6. Каждый выпуклый многоугольник равносоставлен с некоторым треугольником.

Проверим утверждение для n=4, воспользуемся рисунком 102. В левой его части – четырехугольник преобразован в равносоставленный с ним треугольник с помощью построения, описанного на странице 105. и четырехугольник имеют общую часть и в их состав входят и , находящиеся в условиях леммы 3. Отсюда равносоставлен с четырехугольником . Таким образом лемма верна для n=4.

Допустим, что она справедлива и для (n – 1) – угольника. Пусть – выпуклый n-угольник. Построим равносоставленный с ним (n–1) – угольник тем приемом, который использован при построении треугольника, равносоставленного с четырехугольником (рис. 105). Получаем который равносоставлен с данным n-угольником.

Рис. 105

Допустим, что существует треугольник , равносоставленный с (n–1)-угольником, тогда по транзитивности этот треугольник равносоставлен с данным n–угольником. Таким образом, из допущения справедливости леммы для n–1 вытекает её верность и для n. В силу аксиомы индукции полученные результаты означают, что лемма 6 верна для любого значения n (начиная с n =4).

Теорема Больяи-Гервина: Равновеликие многоугольники равносоставлены.

Пусть M₁ и M₂ – два равновеликих многоугольника. Согласно лемме 6 существуют треугольники и , равносоставленные с этими многоугольниками: – с M₁ и – с M₂. Так как M₁ равновелик , а M₂ равновелик , то равновелик . В силу леммы 5 равносоставлен . Теперь по транзитивности отношения равносоставленности получаем равносоставленность и многоугольников M₁ и M₂.Итак, для выпуклых и даже простых многоугольников из их равновеликости следует и их равносоставленность.

Обратное – следствие первого и второго условий определения площади фигуры. Таким образом, эти понятия, в своем роде, оказываются для простых многоугольников эквивалентными. Именно это и дает простой прием вычисления площади многоугольных фигур, основанный на конечной процедуре их разбиения на конечное число треугольников.

Совсем иначе дело обстоит с определением объема многогранника.

₂ . О равновеликости и равносоставленности многогранников.

Многие примеры показывают, что равновеликие простые многогранники равносоставлены, так наклонный параллелепипед равносоставлен с равновеликим ему прямым параллелепипедом. В конце XIX века были указаны примеры равновеликих треугольных пирамид и кубов, которые одновременно являлись и равносоставленными. В 1900 году было получено, что любые два равновеликих многогранника можно разбить на попарно равновеликие тетраэдры. Однако, оставался открытым вопрос о равносоставленности равновеликих многогранников. В связи с этим Д. Гильбертом он был включен в число двадцати трех нерешенных проблем, которые он сформулировал и поставил в 1900 году на втором международном математическом конгрессе. Задача о соотношении между равновеликостью и равносоставленностью простых многогранников и вошла в историю математики как третья проблема Гильберта. Эта проблема была решена учеником Гильберта Максом Деном (1872-1952 гг.) в 1901 году. Ден доказал теорему, из которой следует существование равновеликих, но неравносоставленных многогранников. Её элементарное доказательство было в последствии дано профессором Московского университета В. Ф. Каганом. Приведем формулировку этой теоремы. Обозначим сначала и двугранные углы многогранников и ( и – радианные меры углов).

Теорема. Если многогранники и равносоставлены, то существуют натуральные числа и ,где m и n – числа ребер многогранников и ,такие, что .

Мы не будем приводить здесь доказательство этой теоремы, ограничившись следствием о неравносоставленности куба и правильного тетраэдра, имеющих равные объемы.

Пусть – двугранный угол тетраэдра. (найти это значение предлагается читателю). Двугранный угол куба равен ( ). Если допустить, что куб и тетраэдр равносоставлены, то согласно теореме Дена существуют натуральные p и q, для которых (k – число целое). Отсюда . Поэтому равен либо 0, либо 1, либо –1, т. е. числу целому. С другой стороны, из того, что ,следует . Например, , и т. д.. При этом дробь – несократимая при любом k, таким образом – несократимая дробь, т. е. число нецелое. Получили противоречие с результатом допущения: – число целое. Это противоречие заставляет отбросить допущение и принять, что куб и правильный тетраэдр неравносоставлены.

Заметим в заключении, что «наугад» взятые равновеликие многогранники скорее всего неравносоставлены.

Необходимость привлечения теории пределов при нахождении объема тетраэдра как раз и является следствием теоремы Дена.

Рекомендуемая литература

1. Д. Гильберт, Основания геометрии, М., 1948 г.

2. С. В. Бахвалов, В. П. Иваницкая, Основания геометрии, М., 1972.

3. И. П. Егоров, Геометрия, М., 1979.

4. В. Ф. Каган, Основания геометрии, часть I, М., 1949 г.

5. А. Д. Александров, Н. Ю. Нецветаев, Геометрия, М., 1990 г.

6. Ф. Бахман, Построение геометрии на основе понятия симметрии, М., 1969 г.

7. Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, ч. I и ч. II, М., 1948, 1949 г.г.

8. Энциклопедия элементарной математики, т. IV, М., 1963 г.

9. Ж. Адамар, Элементарная геометрия, ч. I и ч. II, М., 1952, 1957 г.

10. Г. С. М. Кокстер, С. Л. Грейтцер, Новые встречи с геометрией, М., 1978 г.

11. Н. Ф. Четверухин, Изображение фигур в курсе геометрии, М., 1958 г.

12. Н. Ф. Четверухин, Стереометрические задачи на проекционном чертеже, М., 1953 г.

13. Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Элементарная геометрия, М., 1966 г.

14. В. Г. Болтянский, Элементарная геометрия, М., 1985 г.

15. А. П. Киселев, Геометрия, часть I и часть II.

16. Г. Шоке, Геометрия, М., 1970 г.

17. Е. Е. Вересова, Н. С. Денисова, Т. Н. Полякова, Практикум по решению математических задач, М. ,1979 г.

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр. 3

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .стр. 4

Лекция 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .стр. 10

Лекция 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр. 29

Лекция 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр. 54

Лекция 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр. 64

Лекция 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр. 76

Лекция 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .стр. 104

Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр. 111

113