Аксиомы.

1. Точка есть фигура.

2. Если из М F₁ следует M F₂, а из N F₂ следует N F₁, то F₁ и F₂ – различные обозначения одной и той же фигуры. В этом случае говорим, что F₁ равна F₂ и пишем F₁ = F₂.

3. Фигура F существует, если существует хотя бы одна точка, принадлежащая фигуре F.

Последняя аксиома предполагает заданным условие, позволяющее решать вопрос о принадлежности точки фигуре, при этом, естественно, что это условие должно быть выражено в терминах рассматриваемой геометрической системы. Так как принадлежность точки прямой или плоскости проверяема с точки зрения гильбертовской аксиоматики, то прямые и плоскости мы относим к геометрическим фигурам. Для задания прямой в геометрии Евклида достаточно указать две точки, для задания плоскости – три точки общего положения, для задания окружности или сферы – три, или соответственно четыре точки общего положения и т.д. и т.п.

Как фигура может быть задана? Первое – путем указания набора точек, который позволит решить вопрос о принадлежности произвольной точки рассматриваемой фигуре. Второе – путем задания так называемого характеристического свойства точек, принадлежащих фигуре. Это свойство, во-первых, выражается в терминах рассматриваемой теории, а во-вторых, определяет фигуру в том смысле, что позволяет решать вопрос о принадлежности точки фигуре: всякая точка пространства принадлежит фигуре тогда и только тогда, когда она обладает указанным свойством. Если фигура задается характеристическим свойством точек, ей принадлежащих, то она со времен Евклида, имеет название геометрического места точек.

О фигурах, как геометрических местах точек, поговорим позднее, а сейчас обратимся к трем понятиям, которые в учебных курсах геометрии используются без определений.

2º. Тело, поверхность, линия.

Прежде всего заметим, что эти понятия в отличии от понятия «фигура» – понятия определяемые, но их определения зависят от той трактовки, которая характерна для соответствующей математической теории. В евклидовой геометрии эти понятия трактуются со времен Евклида как: ограниченная часть пространства – тело, граница тела – поверхность и соответственно линия – граница поверхности. Используя именно такие, хотя и расплывчатые, представления об этих фигурах, покажем, как они могут быть определены в терминах евклидовой геометрии.

Основным понятием, которое мы используем в определениях понятий тело, поверхность, линия, будет понятие окрестности точек, трактуемое как открытый шар, то есть шар без точек его поверхности, центром которого является сама рассматриваемая точка. При этом сам термин «шар» имеет значение, зависящее от размерности пространства, в котором рассматривается точка и ее окрестность. Для пространства одномерного (прямой) этот «шар» называют интервалом, для случая двумерного пространства (плоскости) «шар» - это круг с центром в рассматриваемой точке. В трехмерном пространстве или как мы говорим просто «в пространстве» «шар» - это соответствующая пространственная фигура хорошо знакомая читателю. Таким образом, окрестность точки О есть фигура, каждая точка которой удалена от О на расстояние, меньшее заданной величины r (отрезка r). При необходимости окрестность точки О можно обозначить парой (О, r). Саму точку О можно отнести к ее окрестности

Определение. Фигуру F пространства называют телом, если она представляет собой ограниченную, замкнутую область пространства.

Раскроем содержание понятий замкнутая и ограниченная область. Для этого придется ввести ряд понятий, которые мы сейчас последовательно рассмотрим.

Понятие первое: точка М называется точкой сгущения фигуры F, если в любой ее окрестности содержатся точки этой фигуры.

Обратим внимание на то, что сама точка М может как принадлежать фигуре F, так ей и не принадлежать.

Пример: F – шар. Внутренняя точка шара – точка сгущения принадлежит шару, точка поверхности шара – точка сгущения шара вне зависимости от того какой шар мы рассматриваем: вместе с его поверхностью или без нее. В первом случае – это точка шара, а во втором – она ему не принадлежит. Таким образом, точка сгущения фигуры может как принадлежать так и не принадлежать самой фигуре.

Второе понятие: F называется замкнутой фигурой, если она содержит все свои точки сгущения.

Третье понятие: F- связная фигура, если любые две ее точки можно соединить ломаной линией, каждая точка которой принадлежит фигуре F.

Четвертое понятие: Фигура F называется ограниченной, если существует шар, которому принадлежит каждая точка фигуры F.

Примерами неограниченных фигур являются прямая, плоскость, луч, полуплоскость.

Пятое понятие: М – внутренняя точка фигуры F, если М F и существует окрестность точки М, принадлежащая фигуре F.

Если есть окрестность точки М, никакая точка которой не принадлежит F, то М – внешняя точка для фигуры F. Если в любой окрестности М имеются точки, принадлежащие F и точки ей не принадлежащие, то М называем граничной точкой F. Сама граничная точка может принадлежать F, а может ей и не принадлежать. Фигура, каждая точка которой является граничной точкой фигуры F, называется границей F. У замкнутой фигуры ее граница принадлежит фигуре, а у незамкнутой граница ей не принадлежит.

Шестое понятие: Область пространства – связная ограниченная фигура, каждая точка которой является ее внутренней точка.

Перечисленные понятия полностью раскрывают содержание понятия «тело» в том смысле, в каком оно используется, по крайней мере, в евклидовой геометрии. Примером тел, изучаемых в школьном курсе геометрии, являются призмы, пирамиды и тела вращения. Соответствующие фигуры с теми же названиями рассматриваются и как поверхности: говорят о цилиндрической, конической, сферической поверхностях, поверхностях призм и пирамид.

Понятие поверхности, в наглядном смысле трактуемое как граница тела, может быть раскрыто по той же схеме и с использованием тех же вспомогательных понятий, которые мы использовали в определении понятия «тело». Поэтому позволим себе представить это понятие в обзорном порядке.

Определение 1: Фигура F называется полной поверхностью, или оболочкой, если она является границей некоторого тела Т.

Поверхность рассматривается как часть оболочки некоторого тела. Для формального определения этого понятия вводится понятие внутренней точки такой фигуры, ее граничной точки и границы этой фигуры, а также понятие связности фигуры, принадлежащей оболочке.

Фигура Х называется областью на оболочке F, если все ее точки являются внутренними точками оболочки, а сама фигура Х является связной на F. Область Х на F замкнута, если ей принадлежат все ее граничные точки. Отсюда получаем.

Определение 2: Фигура Р называется поверхностью, если существует такая область Х на оболочке F, замыкание которой и есть фигура Р.

Говоря об определении линии, мы имеем в виду лишь такую линию, которая может быть границей поверхности. В современной математике понятие линии значительно расширено и его наиболее общее определение связано с понятием одномерного многообразия как топологического образа ломаной линии.

Если Р – какая-либо поверхность, то можно говорить о границе этой поверхности как фигуре, содержащей граничные точки поверхности Р. Но в этом случае фигура Р будет представлять замкнутую линию, в то время как очень часто приходится рассматривать и незамкнутые линии. Значит, следует определять это понятие так, чтобы и этот случай не был потерян.

Назовем границу поверхности ее полным контуром, тогда фигура F принадлежащая контуру поверхности Р, называется линией, если F – такая область на Р, замыканием которой служит сама фигура F.

Определения понятию «линия» в современном расширенном смысле впервые были даны Г.Кантором (1845 - 1918 г.г.) и П.С.Урысоном (1898 – 1924 г.г.), причем Урысон обобщает определение Кантора (см., например, А.С.Пархоменко, «Что такое линия?», М. 1954г.).