Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования Московской области

Московский государственный областной университет

кафедра высшей алгебры,

элементарной математики и

методики преподавания математики

Федяев О. И.

Элементарная геометрия

Часть I

Лекции по специальному курсу

Элементарной математики

Учебное пособие

для студентов педагогических вузов

Москва - 2010

УДК 514.1

ББК 22.151.0

Печатается по решению кафедры высшей алгебры,

элементарной математики и методики преподавания

математики и редакционно-издательского совета МГОУ

Федяев О. И. Элементарная геометрия. Часть I Лекции по специальному курсу элементарной математики. Учебное пособие для студентов педагогических вузов. – М., Издательство МГОУ, 2009, с.

Материал пособия разбит на шесть частей, называемых лекциями. В каждой из них рассматриваются основные вопросы соответствующего раздела элементарной геометрии, акцентируется внимание читателя на основных фактах этих разделов. В разделе «Введение» дан общий обзор истории возникновения и развития так называемой «Евклидовой геометрии».

Научный редактор: проф. Рассудовская М. М.

Рецензенты: проф. Куланин Е. Д.

доц. Птицына И. В.

 Московский государственный

областной университет, 2009

Предисловие.

Курс «Элементарной геометрии» – третья часть Специального курса элементарной математики, который изучается студентами педагогических ВУЗов, готовящихся стать учителями математики. Его целью является, с одной стороны, углубленное изучение основных фактов евклидовой геометрии, элементы которой составляют основное содержание школьного курса геометрии, а с другой – демонстрация роли и значения геометрических преобразований в этой геометрии.

Эти задачи курса определили и его структуру: первая часть – обзор основных фактов евклидовой геометрии, вторая – систематическое исследование места геометрических преобразований в этой геометрии. Естественно, что характер определенной оригинальности пособия связан с этой структурой: если в первой части она проявляется в методическом подходе и выборе тем разделов, то во второй части она связана не только со структурой изложения, но и с принципиально иными способами решения и представления конкретных фактов, определяющих эту структуру.

Автор считал необходимым формировать у будущего учителя математики интерес и умения критического анализа учебной и методической литературы, что невозможно осуществлять без глубоких знаний своего предмета. Именно эта цель, в первую очередь, определила характер избранных тем и последовательность их представления в пособии.

Кроме того, компактность изложения – дань требованию учебного плана, который на такой содержательный курс, крайне необходимый будущему учителю, отводит всего 24 часа аудиторного времени. Несомненно, читатель или студент, изучающий специальный курс «Элементарной математики» должен быть готов к серьезной самостоятельной работе, которая только и может обеспечить овладение этим основным для будущего учителя математики предметом.

Введение

Основные содержательные геометрические понятия и факты, принадлежащие так называемой евклидовой геометрии, своими корнями и происхождением уходят в глубокую древность и порождены потребностью в решении задач сугубо практического характера, вызванных к жизни естественными нуждами человеческого сообщества. В своем развитии вместе с усложнением общественных отношений, возникновением структур их регулирования, развитием производственной и духовной культуры складывались условия, вызвавшие к жизни потребности не-только и нестолько практического характера, но прежде всего умственного, духовного порядка, которые способствовали возникновению и формированию геометрической системы понятий и фактов, лишенных материальной основы, смысл которых состоит не столько в их практической приложимости, сколько в их логической связи, логической соподчиненности. Именно такого рода духовная, интеллектуальная потребность человека привела к возникновению геометрии как научной системы, в которой все понятия и факты структурированы и расположены в порядке их логических связей, логической соподчиненности. Именно в таком виде предстает геометрия в бессмертном творении Евклида под названием «Начала», именно здесь все начинается с основных понятий и фактов, а всякое утверждение выводится в соответствии с законами логики из этих понятий и фактов, истинность утверждения доказывается, а не проверяется опытным путем. «Начала» Евклида – первое из дошедших до нас подлинно научное сочинение в этой области.

Первые математические факты были накоплены в период с третьего по первое тысячелетия до нашей эры, прежде всего, в Вавилоне и Египте. Вавилоняне далеко ушли в области числового счисления (шестидесятеричная система), алгебры и геометрических вычислений. Египтяне же имели менее приспособленную систему счисления и в алгебре отстали, но геометрические задачи, которыми они занимались, требовали гораздо более значительных геометрических познаний. Однако, логическая обработка накопленного материала отсутствовала, математические сведения представляли лишь свод правил решения некоторых конкретных задач практического характера.

Появление геометрии в Греции согласно Проклу (410-485 г.г. н. э.), комментатору «Начал» Евклида, связано с именем Фалеса Милетского (7-6 столетия до н. э.). В Греции сложилась возможность уйти от утилитарной потребности в геометрических фактах и акцентировать внимание на далеко идущей абстракции, от геометрии измерения перейти к учению о пространственных формах. Уже в следующем столетии после Фалеса большие успехи в этом направлении были достигнуты Пифагором и его школой (6-5 в.в. до н. э.). Метафизический характер рассуждений способствовал формированию потребности в абстрагировании и возникновению абстрактных понятий.

Требование логического обоснования геометрии связывают с именем Платона, первого философа идеалистического направления (5-4 столетия до н. э.). Согласно Платону во главу всякой отрасли знания и деятельности должны быть поставлены понятия и положения, из которых все остальное вытекает как следствие по законам логики. Основная установка Платона, научное обоснование всякого знания, крепла в течении всей истории развития науки и была существенно развита и углублена в первую очередь его учеником Аристотелем (384-322 гг. до н. э.). Именно он становится действительным родоначальником настоящей науки. Сама теория логического вывода принадлежит Аристотелю («Органон» – собрание сочинений Аристотеля, составленное Андроником Родосским в середине 1-го столетия до н. э.). Таким образом, уже в 4-ом веке до н. э. была установлена логическая схема, по которой должна строиться всякая выводная наука. Именно она и реализована в знаменитых «Началах» Евклида Александрийского (4-3 в.в. до н. э.). В контексте исторического процесса развития математических знаний «Начала» Евклида предстают образцом их научного построения в соответствии с требованиями Аристотелевской логики. Греческий текст «Начал» дошел до нас в большом числе манускриптов, большинство из которых ведет свое начало от Теона Александрийского, жившего в Александрии в 4-ом в. н. э. и преподававшего математику по Евклиду. Первое издание «Начал» в Европе появилось в 1482 году в Венеции и выпущено Ратдольтом, основавшим там крупное по тем временам издательство. «Начала» Евклида в течении веков служили учебным источником математических знаний для многих поколений учащихся. До середины 19 века в Англии и Германии изучали геометрию по школьным изданиям «Начал» и даже в начале 20 века можно было ещё встретить английские школы, в которых «Начала» оставались учебным пособием. Таким образом, именно «Начала» Евклида можно считать первоисточником становления и развития математических знаний, первоисточником мощного метода научного познания, во многом определившего ход развития не только математики, но и мировой науки в целом.

«Начала» состоят из тринадцати книг, из которых первые шесть посвящены тому, что мы называем планиметрией. Книги с 7-ой по 9-ую содержат начала теории чисел (Элементы учения о целом числе). Книга 10-я – геометрическая теория иррациональных величин, 11-13 книги содержат стереометрический материал. К тринадцати книгам «Начал» примыкают две монографии, обыкновенно называемые их 14-ой и 15-ой книгами. Однако, как выяснилось одна принадлежит Гипсиклесу Александрийскому, ученику Евклида, автор же другой книги остался неизвестным.

Каждая книга «Начал» начинается с определений всех понятий, которые в ней впервые появляются, первой книге предпосланы аксиомы и постулаты. Изложение всех предложений-теорем строится по совершенно единой схеме: оно начинается формулировкой утверждения, за которой следует доказательство, в целом, имеющее тот же смысл и структуру, что и в наше время. Изложение носит строго догматический характер, автор излагает читателю содержание теоремы и развертывает перед ним доказательство. Характер всего сочинения сугубо теоретический. «Начала» не содержат того, что выражает само название математической теории – прямой метрики, т. е. теорем, устанавливающих в числах длины, площади и объемы фигур.

В своей структуре это сочинение несет явный отпечаток установок Платона и Аристотеля и для своего времени и, многих столетий спустя, отличается удивительным совершенством. «Неоспоримая крепость их догматов и их совершенство настолько абсолютны, что никакое другое сочинение по справедливости нельзя с ним сравнивать. Вследствие этого в них отражается такой свет истины, что, по-видимому, только тот способен отличать в сложных вопросах геометрии истинное от ложного, кто усвоил Евклида»(Г. Кардано,1501-1576 г.г.).

Несмотря на высокие достоинства «Начал», они вызывали и большое число возражений и обстоятельную критику со стороны математиков последующих за их появлением столетий. При всей последовательности структуры «Начал», при огромной роли в них логических выводов, сочинение Евклида все же не представляет выдержанной дедуктивной системы, как того требует аристотелевская схема. Рассуждения Евклида представляют собой смесь логических выводов и соображений основанных на наглядных представлениях, смесь логики и интуиции. Вследствие этого, вместе с их всеобщим признанием начинается и систематическая критика. Эта критика, с одной стороны, выявляет многие дефекты «Начал», а с другой приводит к осознанию существа аксиоматического метода и созданию образцов безупречной аксиоматики.

Первым крупным достижением в области аксиоматического построения геометрии явилось исследование Паша «Лекции по новой геометрии» (1882 год). Паш считал, что основные положения геометрии должны быть заимствованы из опыта, но выводы из них осуществляются только путем логических умозаключений. Паш подошел очень близко к системе аксиом, достаточной для логического построения геометрии, однако в его аксиоматической системе сильно преувеличено число аксиом, нужных, например, для установления порядка точек, его система не обладает структурой, позволяющей отчетливо структурировать и систему следствий.

Вторым значительный вклад в аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии внес итальянский математик Пеано своей работой «Логически изложенные основания геометрии» (1889 г.). У Пеано, однако, нет полной аксиоматической системы, им даны лишь аксиомы соединения и порядка. Зато в этой ограниченной области он достиг логической отточенности изложения.

Ученик Пеано Пиери стремился свести к минимуму число основных понятий, оставляя только два: точка и движение («Элементарная геометрия как дедуктивная система», 1893 год). Однако, стремясь к формальному упрощению системы основных понятий, он усложнил свою аксиоматику по существу. Многие из его аксиом очень тяжеловесны. Чрезмерно сократив число основных понятий, Пиери был вынужден вводить изгнанные понятия посредством искусственных и громоздких определений. В следствие этого исчезло естественное логическое членение аксиоматики по областям действия основных понятий, усложнились логические связи, система, в целом, приобрела тяжеловесный и трудно воспринимаемый вид.

Первое издание работы Д. Гильберта «Основания геометрии» появляется в 1899 году. В отличии от своих предшественников Гильберту удалось создать аксиоматическую систему настолько удачно расчлененную, что логическая структура геометрии предстала совершенно прозрачной, аксиомы сформулированы наиболее простым и кратким образом и так расчленены на отдельные группы, что становится возможным видеть как далеко можно развивать их следствия, обнаружить естественное логическое членение всей системы их следствий. Одновременно был проведен логический анализ, выявляющий роль отдельных групп аксиом.

Прежде всего, принципиально важен отказ Гильберта от толкования прямых и плоскостей как бесконечных множеств, составленных из точек. У него точка, прямая и плоскость – самостоятельные понятия. В формулировках аксиом и в доказательствах теорем фигурирует лишь конечное число точек, прямых, плоскостей и понятие о бесконечном множестве остается праздным. Разбиение прямой на две части какой-либо принадлежащей ей точкой нет необходимости мыслить как разбиение точечного множества, достаточно лишь иметь возможность ответить на вопрос: лежат ли две произвольные точки прямой по одну или по разные стороны от фиксированной точки. Рассматривая шаг за шагом всю гильбертовскую систему, мы убеждаемся, что везде речь идет лишь о конечных конструкциях, законы которых дают нам аксиомы, ничто не принуждает нас прибегать к теории множеств.

Однако, совсем иначе обстоит дело с теми следствиями, которые опираются (или должны опираться) на аксиомы непрерывности (у Гильберта – это пятая группа аксиом). Эти аксиомы существенно предполагают, что речь идет о бесконечном множестве. Теоретико-множественная точка зрения оказывается лежащей в самой основе соответствующих понятий. Принимая аксиомы непрерывности, мы вынуждены иметь в поле зрения бесконечные множества, что вносит существенную неясность: хотим обосновать геометрию, а между тем используем понятия другой математической теории, которая сама нуждается в обосновании. В результате возникает необходимость расширения круга исследований, полная прозрачность конечных конструкций исчезает. Крупнейшим достижением Гильберта в области логического анализа геометрии как раз и явилось то, что он обнаружил возможность развития геометрии во всем существенном без обращения к аксиомам непрерывности.

С точки зрения завершенности анализа геометрической системы Евклида «Основания геометрии» Д. Гильберта поставили точку в вопросе полноты решения этой проблемы. В них представлены не только достаточные аксиоматические основания для формально-логического развития теории в целом, но и обеспечено естественное структурирование системы их следствий, возникает отчетливая картина связей между фундаментальными геометрическими системами. Педагогически важно и то, что базовые (основные) понятия гильбертовской аксиоматики, отвечая наглядному восприятию геометрических образов и их отношений, наиболее полно и естественно обеспечивают овладение не только содержательными фактами евклидовой геометрии, но и служат наиболее естественным средством обучения учащихся дедуктивному методу, лежащему в основе практически любого научного знания.

Результаты, достигнутые Гильбертом не остановили, однако, работу в области оснований геометрии и в его время и позднее вплоть до наших дней были предложены и другие варианты аксиоматических систем евклидовой геометрии. С одной стороны, это было следствием общего развития математики, поставившего задачу единого подхода к обоснованию геометрии в целом, а с другой – стремлением к осовремениванию и школьного курса математики и геометрии в частности через введение в него понятий и целых тем, отражающих базовые понятия современной математики. Соответствующие варианты аксиоматического построения геометрии Евклида на сегодняшний день можно разделить на три базовые случая, которые естественно связываются с именами Д. Гильберта, Г. Вейля и Ф. Бахмана. Предложенные ими аксиоматические системы будут в обзорном порядке рассмотрены нами в заключительной части курса.

Цели и задачи нашего обзорного по характеру курса элементарной геометрии не обязывают следовать той или иной точке зрения на построение современного школьного курса геометрии, но вынуждают акцентировать внимание на идейном значении центральных понятий и фактов и их логической взаимосвязи. Это прежде всего касается таких понятий современной математики как геометрическое преобразование и вектор. Содержательные факты евклидовой геометрии с учетом характера их представления в школьном курсе целесообразнее всего рассматривать в традиционном стиле, т. е. на базе аксиоматики Д. Гильберта или близкой к ней. Поэтому читатель вполне может считать основаниями нашего курса аксиоматическую систему Гильберта, хотя это и не означает скрупулезность вывода её следствий. Прежде всего это находит отражение в выборе базовых (основных неопределяемых) понятий, которыми как и у Гильберта у нас являются «точка», «прямая», «плоскость», «принадлежность (инцидентность)», «лежать между», «конгруэнтность».

Лекция 1.