Преобразования подобия

Определение: Отображение множества всех точек пространства на себя, при котором произвольно взятые пары точек (А, В) и

(C, D) отображаются на такие пары (А, В) и (C, D), что (то есть пара отрезков (АВ, АВ) пропорциональна паре отрезков (СD, CD), называется преобразованием подобия пространства.

Основное понятие, используемое в определении – «пропорциональность пар отрезков», поэтому следствия этого определения базируются, в первую очередь, на понятии о пропорциональности с точки зрения его основных свойств, а не самого определения пропорциональности. Это означает, что теория подобия не зависит от трактовки пропорциональности отрезков, а значит, в частности, и не является следствием понятия длины отрезка, как это представляется при сложившейся в педагогической практике традиции построения теории подобия. Мы можем использовать ту трактовку пропорциональности, которая представлена в нашей третьей лекции (чисто геометрическая), явно демонстрируя, с одной стороны, независимость теории подобия от понятия длины, а значит и от понятия числа, а с другой стороны, получая отчетливую картину связи теории подобия с группой движений плоскости ее свойствами, обнаруживая в явном виде фундаментальную роль движений пространства в евклидовой геометрии.

Рассмотрим основные свойства подобий пространства:

Свойство 1. Если точка В лежит между точками А и С, то В лежит между точками Аи С.

Так как В лежит между А и С, то АС  АВ+ВС. С другой стороны, , а значит (в силу свойства 5 пропорций). Отсюда по свойству 8 пропорций . Заменяем первый член пропорции АВ+ВС на АС получаем (1). по условию. Отсюда в силу свойства 5пропорций (2). Сопоставляя (1) и (2), получаем пропорцию , которая согласно свойствам 4 и 5 ведет к АС  АВ + ВС. Эта конгруэнтность, в свою очередь, означает, что В лежит между А и С.

Свойство 2. Если В не лежит между А и С, то В не лежит между А и С.

Доказательство проводится методом от противного с использованием свойств пропорции так же, как это было сделано при доказательстве предыдущего свойства. Советуем читателю проделать это самостоятельно в качестве упражнения.

Ряд следующих свойств представляют собой следствия первых двух, поэтому будем называть их следствиями.

Следствие 1: Подобное преобразование пространства является взаимно однозначным отображением множества точек пространства на себя.

Доказательство опирается на признак принадлежности трех точек одной прямой и свойство 1.

Следствие 2: Образом прямой является прямая.

Пусть речь идет об образе прямой а. Возьмем на ней две различные точки А и В и пусть А′ и В′ – их образы. Существует прямая А′В′, которую обозначим а′. Теперь предстоит доказать: 1. образ каждой точки прямой а есть точка прямой а′ и 2. каждая точка прямой а′ является образом точки прямой а.

Пусть М  а и М → М′. Для точек А, М и В возможно одно из трех: М лежит между А и В, А лежит между М и В или В лежит между А и М. Для любого из этих случаев

М′ – точка, которая связана с А′ и В′ отношением «лежать между», а потому М′  а′.

Точно также доказывается и обратное.

Следствие 3: Образом плоскости является плоскость.

Пусть речь идет о образе плоскости . В этом случае отмечаем в  три точки А, В и С общего положения. Пусть А′, В′, С′ - их образы. Обозначим плоскость, проходящую через них через ′. Докажем, что ′ - образ плоскости . Для этого доказываем: 1. образ любой точки М плоскости  принадлежит ′ и 2. любая точка плоскости ′ является образом точки плоскости . Для точек принадлежащих прямым АВ, АС и ВС, А′В′, А′С′ и В′С′ утверждения справедливы в силу следствия 2. Пусть М не принадлежит ни АВ, ни АС, ни ВС, а М′ – образ точки М (рис.30).

Рис. 30

Прямая МС пересекает одну из прямых АВ, ВС или АС. Для определенности положим, что N – точка пересечения АВ и МС. Так как А′В′ образ прямой АВ, то N′ принадлежит А′В′. Так как М′С′ – образ прямой МС, то N′ принадлежит М′С′. Таким образом, N′ общая точка прямых А′В′ и М′С′. Точки N′и С′ принадлежат ′, значит М′ принадлежит . Первое утверждение доказано, образ любой точки  есть точка ′.

Второе утверждение доказывается точно так же.

Следствие 4: Образом отрезка является отрезок.

Следствие 5: Образом луча является луч.

Следствие 6: Образом полуплоскости с граничной прямой а является полуплоскость с граничной прямой а.

Следствие 7: Образом полупространства с граничной плоскостью  является полупространство с граничной плоскость ′.

Эти следствия доказываются аналогично предыдущим с использованием отношений: «лежать между» для точек, «лежать по одну сторону от прямой», «лежать по одну сторону от плоскости». Предлагается провести эти доказательства читателю самостоятельно, в качестве упражнения.

Свойство 3. Подобное преобразование отображает конгруэнтные между собой отрезки в конгруэнтные.

Пусть АВ  СD и АВ отображается на А′В′, а CD – на С′D′. Тогда . По свойству 5 . В силу свойства 3 отношения пропорциональности, с учетом данного условия: А′В′  С′D′.

Отметим три следствия из этого свойства.

Следствие 1: Если В – середина отрезка АС, то В′ середина отрезка А′С′.

Следствие 2: Если m – медиатриса отрезка АВ, то m′ – медиатриса отрезка А′В′.

Пусть М – середина АВ, тогда М′ (образ М) – середина А′В′ (предыдущее следствие). Пусть m – медиатрисса АВ. Значит Мm. Пусть m′ - образ m, тогда М′m′. Если М_i – произвольная точка m, то ее образ М_i′ - точка m′. Так как АМ_iВМ_i, то А′М_i′  В′М_i′. Иначе говоря, каждая точка М′_i прямой m′ равноудалена от А′ и В′, значит m′ - медиатриса А′В′.

Следствие 3:Образом окружности с центром О является окружность с центром О′.

Предлагаем читателю доказать это самостоятельно.

Будем обозначать подобные преобразования греческой буквой π (пи) с индексами, если это потребуется. Заметим, кроме того, что отношение пропорциональности обладает свойством транзитивности, а потому произведение двух подобных преобразований π₁ и π₂ будет представлять собой преобразование подобия, что можно записать в виде π₂ ◦ π₁= π.

Таким образом, на множестве подобных преобразований пространства определяется структура. Прежде всего, для всякого π найдется такое преобразование π^-1 , что π^-1 ◦ π = 1. Справедливость этого утверждения вытекает из того, что со всяким π, которое произвольную точку М отображает в М′, естественным образом связано отображение пространства, при котором М′ отображается в М. Нетрудно видеть, что это отображение в силу свойства 4 отношения пропорциональности является подобием. Если его обозначить π^-1, то для π и π^-1 мы получим, что

π^-1 ◦ π = 1. Естественно, что π^-1 – отображение обратное для π.

Вывод 1: Всякое подобное преобразование сопряжено с обратным преобразованием, причем 1 есть подобное преобразование (см.свойство 1 пропорций). Преобразование 1 играет роль нейтрального элемента при умножении подобий: для любого π 1 ◦ π = π ◦ 1 = π.

Ассоциативность умножения подобий очевидна:

π₃ ◦ (π₂ ◦π₁)=(π₃◦π₂) ◦ π₁ .

Вывод 2: Множество подобий пространства с операцией умножения является группой.

Группу подобий пространства обозначим П (большая буква π). Очевидно, что всякое движение является подобным преобразованием, а потому для пространства одной размерности D  П. В свое время мы увидим, что есть подобные преобразования, отличные от движений, и тогда мы сможем писать D  П. Отметим еще два важных свойства подобий пространства, которые позволят нам устанавливать совпадение подобных преобразований и обосновать один из способов конструктивного поиска образа точки при подобном преобразовании пространства. Ограничимся примером двумерного пространства (плоскости).

Свойство 5. Если подобное преобразование плоскости имеет три неподвижные точки общего положения, то оно является 1.

Пусть А, В и С – неподвижные точки плоскости при данном подобном преобразовании. Пусть М – произвольная точка плоскости, отличная от точек А, В, С, и М′– ее образ. Может быть два случая положения М относительно прямой АВ: М  АВ и МАВ. В первом случае М  М, так как в силу следствия 2 свойств 1 и 2 прямая АВ отображается на себя.

Во втором случае МАВ. Кроме того М не может быть общей точкой прямых АС и ВС, а потому не принадлежит либо АС, либо ВС. Положим для определенности М АС. Так как АМ  АМ и ВМ  ВМ, то АВ – медиатриса отрезка ММ. По такой же причине АС – медиатриса ММ. Получили: отрезок ММ имеет две медиатрисы, что невозможно. Это противоречие заставляет принять, что М  М. Таким образом, всякая точка плоскости неподвижна относительно рассматриваемого . Значит оно тождественно ( = 1).

Свойство 6. Если два подобных преобразования плоскости ₁ и ₂ переводят какие-либо три ее точки общего положения А,В и С в одни и те же точки А′, В′ и С′, то ₁= ₂.

В этом случае А А′ А, В В′ В и С С′ С. Таким образом, в силу свойства 5 ₂^-1 ◦ ₁=1. Умножив обе части этого равенства слева на ₂ мы и получим требуемое: ₁ =₂.

Отметим один из способов построения образа точки М, если известны точки А и А′, В и В′ и указан образ полуплоскости  с границей АВ, полуплоскость ′ с границей А′В′ (рис.31).

Рис.31

М – произвольная точка плоскости, в которой содержится . М либо принадлежит АВ, либо не принадлежит АВ (это представлено на рисунке). Строим А′М′ для которого , т.е. четвертое пропорциональное к трем данным (А′В′, АВ и АМ). Точно так же строим В′М′. Теперь строим две окружности (А′, А′М′) и (В′, В′М′), которые либо касаются друг друга, если М принадлежит АВ, либо пересекаются в двух точках, если М не принадлежит АВ. Одна из этих точек лежит в полуплоскости ′, а другая ей не принадлежит. Из этих двух точек та является образом точки М (т.е. точкой М′), которая принадлежит ′, если М, или которая не принадлежит ′, если М не принадлежит .

Обоснованием такому построению являются свойства преобразования подобия, рассмотренные выше.

Рассмотрим теперь преобразование, которое обладает единственным базовым свойством: оно отображает всякую прямую в ей параллельную прямую. В зарубежной литературе такое преобразование называют дилатацией, в отечественной, хотя оно встречается довольно редко, называют растяжением. Латинское слово дилатация в переводе – расширение.

Итак, геометрическое преобразование, отображающее всякую прямую в ей параллельную, назовем растяжением пространства. Обратим внимание, что параллельность прямых здесь имеет расширенное толкование.

Свойство 1. Если точке Р соответствует точка Р′, отличная от Р, то прямая

РР′ – двойная (неподвижная) прямая растяжения.

Растяжение должно отобразить прямую р, содержащую точки Р и Р в прямую р, параллельную р. С другой стороны, РР и Р  р, поэтому

Р р.

Таким образом ,параллельные прямые р и р имеют общую точку Р. Это возможно лишь в случае, когда р = р.

Свойство 2: Если S – неподвижная точка пространства при его растяжении, то любая прямая, проходящая через S – неподвижная прямая.

Пусть через S проходит прямая а и А – произвольная точка этой прямой. Если А – образ А, то SA образ SA, то есть прямой а. Таким образом, прямые SA и SA параллельны, что означает в этом случае их совпадение. Таким образом,А  а, то есть а – неподвижная прямая.

Следствие. Если при растяжении пространства две его различные точки неподвижны, то растяжение – тождественное преобразование пространства.

1. Пусть М – произвольная точка пространства, не принадлежащая прямой ТР, у которой Т и Р – данные неподвижные точки.

М = ТМ  РМ. В силу свойства 2 ТМ и РМ – неподвижные прямые, поэтому ТМ  РМ  ТМ  РМ = М, то есть при растяжении пространства ММ.

2. Пусть М принадлежит ТР. Вoзьмем N, не принадлежащую ТР. В силу пункта 1. N – неподвижная точка. М не принадлежит TN. Отсюда в силу первого случая М – неподвижная точка.

Итак, все точки пространства неподвижны.

Рассмотренные свойства растяжений пространства позволяют сделать

Вывод: Если растяжения существуют, то они, не считая тождественного преобразования, могут быть двух видов:

1). Растяжения, не имеющие ни одной неподвижной точки;

2). Растяжения, имеющие единственную неподвижную точку.

Исследуем некоторые свойства этих двух видов растяжений.

Первый случай - растяжение не имеет неподвижных точек.

Пусть А  А и В  В. В силу определения растяжения АВ║ АВ, а это означает, что точки А, В, А, В принадлежат одной плоскости.

Так как прямые АА и ВВ - неподвижные прямые (свойство 1), то их непараллельность означала бы наличие неподвижной точки, что противоречит условию. Значит, АА║ ВВ (включая, конечно, случай совпадения АА и ВВ).

Вывод: В рассмотренном случае для любой пары (А, В) пара образов этих точек (А, В) такова, что: 1. АВ║АВ и 2. АА║ ВВ. Значит, в этом случае растяжение – параллельный перенос.

Второй случай – S – единственная неподвижная точка растяжения.

В этом случае все неподвижные прямые проходят через S. Таким образом, если А  А, то прямая АА проходит через S.

Если В – точка, отличная от А, то АВ║ АВ и при этом, если В не принадлежит АА (рис.32), то пары отрезков (SA, SA) и (SB, SB) пропорциональны по определению (см. лекцию 3), то есть (рис.32).

Рис.32

Если же В принадлежит АА, то и В принадлежит АА, прямые АА и ВВ совпадают (рис.33).

Рис. 33

Возьмем точку М не принадлежащую АА, пусть М – ее образ. В силу первого случая для точек А, А, М и М и для точек В, В, М и М . По транзитивности .

Итак, в рассматриваемом случае растяжение имеет:

1. единственную инвариантную точку S,

2. пучок инвариантных прямых и при этом для любой пары точек

(А, В) их образы (А, В) таковы, что . Такое преобразование называют гомотетией. Таким образом, растяжение с единственной инвариантной точкой – гомотетия.

Вывод: Растяжение пространства (любой размерности) – это или параллельный перенос, включая тождественное преобразование, или гомотетия.

Обратим внимание еще и на то, что для любой пары точек (А, В), соответствующая ей пара (А, В) такова, что , а потому для двух пар (А, В) и (C, D) их образы (А, В) и(C, D) удовлетворяют условию , то есть гомотетия – это преобразование подобия.

Рис.34

Итак, А  А и В В

1-ый случай: В  SA (рис.34). Проводим через В и В прямые, параллельные SA, а через S – прямую, параллельную АВ. На этой прямой получаем две точки В₁ и В₁ для которых ВВ₁║ ВВ₁. Тогда треугольники АВВ₁ и АВВ₁ находятся в условиях теоремы Дезарга, в следствие чего АВ₁║АВ₁. Это означает, что . По построению SB₁  AB,

SB₁  AB. Поэтому .

2-ой случай: В  SA. (рис. 35)

Рис.35

Возьмем точку М вне прямой AS и соединим ее с S. Проводим прямые АМ, ВМ, АМ и ВМ, где М – образ точки М, при гомотетии.

1. По доказанному выше .

2. Через точки А и В проводим прямые, параллельные SM. Пусть А₁ и В₁ – точки пересечения этих прямых с АМ и ВМ соответственно. Тогда

А₁В₁ ║ АВ, а значит и АВ ║ А₁В₁. Поэтому , а потому и в силу случая 1. Отсюда . Но по случаю 1 , таким образом и в рассматриваемом случае.

Теперь, если (А, В) и (C, D) – две пары точек, а (А, В) и (C, D) – их образы в гомотетии, то из и следует . Но эта пропорция, имеющая место для любых пар (А, В) и (С, D), и говорит о том, что наша гомотетия является подобием.

Всякая гомотетия вполне определяется указанием ее центра S и одной пары соответствующих друг другу точек А и А. На рисунках 36 и 37 представлено построение образа произвольно взятой точки М.

Рис.36 Рис.37

В первом случае М не принадлежит SA, а во втором – точка М принадлежит SA. Конструкция, позволяющая найти образ любой точки пространства, одновременно позволяет сделать утверждение о существовании гомотетии, так как представленное выше построение задает отображение пространства, являющееся растяжением с единственной неподвижное точкой. Гомотетия – представитель подобий, не являющихся движениями.

Множество всех растяжений пространства с операцией умножения будет представлять группу, которая есть подгруппа группы подобий. Группы движений и растяжений имеют общую подгруппу – группу параллельных переносов. Группа параллельных переносов обозначается буквой T , группа растяжений – R, группа подобий – П, гомотетии обозначаем греческой буквой  (гамма).

Как и для движений, для подобных преобразований пространства возникает вопрос о возможных их видах. Ответ на него дает в целом ниже следующая теорема, которую можно назвать основной теоремой о подобиях. Поскольку ее доказательство в определенной степени зависит от размерности пространства, ограничимся примером двумерного пространства – плоскости (в формулировке теоремы размерность пространства не отражена).

Теорема: Всякое подобное преобразование пространства есть либо движение, либо произведение гомотетии и движения.

Пусть π – подобное преобразование плоскости, А, В, С – тройка неколлинеарных точек и А, В и С – их образы (рис.38).

Рис.38

Пусть π не является движением, тогда АВ АВ, АС АС и ВС ВС. Поэтому из трех пар точек (А, А), (В, В) и (С, С), по крайней мере две – пары различных точек. Пусть это (А, А) и (В, В). Через А проведем прямую, параллельную АВ, и отложим на ней АВ₁  АВ. Если при этом А не принадлежит АВ, то прямые АВ и А В₁ различны. В этом случае прямые АА и ВВ₁ пересекаются. Точку их пересечения обозначим S. Принимая S за центр некоторой гомотетии, а пару (А, А) – за пару соответствующих точек этой гомотетии, мы тем самым задаем гомотетию , которая отобразит треугольник АСВ в треугольник АВ₁С₁, конгруэнтный треугольнику АВС. Пусть  - движение, отображающее АВ₁С₁ в треугольник АВС. Тогда имеем:

(А, В, С) (А, В₁, С₁) (А, В, С). В силу свойства 6: π =  ◦ .

В случае, когда А принадлежит прямой АВ, В₁ принадлежит АВ. Тогда С₁, для которой треугольник АВ₁С₁ конгруэнтен треугольнику АВС, не принадлежит АВ, поэтому прямые АА и СС₁ имеют единственную общую точку, которую и обозначаем S (рис.39). И в этом случае подобие π предстает в виде произведения гомотетии и движения, которые задаются как и в предыдущем случае.

Рис.39

Теорема доказана полностью. Общий вывод: либо π = , либо π =  ◦ .

Используя этот факт, обратимся к более детальному исследованию возможных видов подобий на примере случая двумерного пространства.

Итак, пусть π  , тогда π =  ◦ . Учитывая возможные виды движений плоскости, для подобия плоскости получаем четыре возможных представления:

1. π = , 2. π =  ◦ , 3. π = ◦ , 4. π = .

Как наиболее простой, по причине принадлежности  и  к одному виду преобразований (к растяжениям), рассмотрим первым случай π =  ◦ .

Докажем, что  ◦  - растяжение с единственной инвариантной точкой.

Рис.40

Пусть S – центр гомотетии , а – инвариантная прямая , проходящая через S. Точка В не принадлежит а и отображается  в В₁, которая отображается  в В. Так как а проходит через S, то а – инвариантная прямая . С учетом указанного выше выбора а, эта прямая инвариантна относительно  ◦  (рис.40).

Прямая ВВ - инвариантная прямая  ◦  в силу свойства 1 растяжений. Таким образом, точка пересечения ВВ с а есть неподвижная точка  ◦ , обозначим ее Т (ВВ и а пересекаются, так как точки В, В₁ и В не принадлежат одной прямой в следствие выбора точки В). Так как В и В – различные точки, то  ◦  – нетождественное растяжение с единственной неподвижной точкой, а значит гомотетия. Центром этой гомотетии является точка Т, пара точек (В, В) – пара точек этой гомотетии, иначе говоря,  ◦  - гомотетия, которая вполне определяется точкой Т и парой (В, В). Построения, которые мы выше использовали, представляют конструктивное решение задачи о нахождении произведения  ◦ .

Заметим теперь, что четвертый случай представления подобия сводится к первому: π =  = _а ◦ ( ◦ ) = _а◦ ₁. Поэтому нам остается рассмотреть случаи 1. и 3.

Итак, пусть π = . Пусть а – ось симметрии _а, S – центр гомотетии . Существует единственная прямая, неподвижная как относительно , так и относительно _а – это прямая l, проходящая через S перпендикулярно а (см. рис.41).

Рис.41

Пусть В – произвольная точка, не принадлежащая l, и В₁ – ее образ при отображении . Так как В и В₁ – различны, то существует середина С отрезка ВВ₁. Пусть l пересекается с а в точке L. Соединяем прямой С и L и через точки В и В₁ проводим прямые, параллельные СL. Эти прямые пересекают l в точках Т и Т₁ соответственно. Очевидно, что L – середина отрезка ТТ₁, а гомотетия  отображает Т и Т₁. С другой стороны, точки Т и Т₁ симметричны относительно прямой а, поэтому Т₁ Т. Отсюда имеем: Т Т₁ Т, то есть Т – неподвижная точка преобразования . Рассмотрим прямую t, проходящую через Т перпендикулярно l. Для нее получаем: t t₁ t, то есть t t. Нашли вторую неподвижную прямую для преобразования . Произведение _t ◦ _a – параллельный перенос (t║a). Поэтому

(_t ◦ _a) ◦  - гомотетия (см. предыдущий случай), обозначим ее ₁. Таким образом, получаем: (_t ◦ _a) ◦  = ₁. Из этого равенства следует, что _а ◦  =

=_t ◦ ₁. Так как t – инвариантная прямая _t ◦ ₁, то t – инвариантная прямая ₁, а значит проходит через ее центр. Так как точка Т неподвижна для _t и _t ◦ ₁, то она неподвижна и для ₁, а значит является центром гомотетии ₁.

Вывод: _а ◦  можно представить произведением таких ₁ и _t, для которых центр гомотетии принадлежит оси симметрии. Такое подобие плоскости называют центрально подобной симметрией. Это преобразование имеет одну неподвижную точку и две взаимно перпендикулярные инвариантные прямые, которые проходят через неподвижную точку.

Рассматриваем теперь последний случай, когда π =  ◦ . Пусть S – центр гомотетии , Р – центр вращения . На прямой SP существует единственная пара точек (А, А₁) для которой и Р – середина отрезка АА₁. Для доказательства этого построим окружности с диаметром SA и SA₁ (рис.42). Эти окружности будут касаться друг друга в точке S (так как S принадлежит линии центров этих окружностей).

Рис.42

Пусть О – центр первой окружности, а О₁ – центр второй окружности.

 отображает окружность (O, R) в окружность (О₁, R₁). Проведем через S произвольную прямую m, пересекающую окружности (O, R) и (О₁, R₁) в точках М и М₁ соответственно. Так как , то .

Отсюда А₁М₁║АМ. Если N – точка пересечения прямой, проходящей через Р параллельно АМ и А₁ М₁, то NP  SM и N – середина отрезка ММ₁. Поэтому Р равноудалена от М и М₁. Иначе середина АА₁ – точка равноудаленная от любой пары гомотетичных точек окружностей (O, R) и (О₁, R₁) в гомотетии .

Представим вращение  с центром Р произведением осевых симметрий, принимая за ось первой симметрии прямую SА и обозначая ее для краткости буквой s. Ось р второй симметрии определяется при этом однозначно.

Итак,   _р ◦ _s (рис. 43).

Рис. 43

Через S проводим прямую перпендикулярно р. Она пересекает

(O, R) и (О₁, R₁) в точках В и В₁, которые образуют гомотетичную пару

(В, В₁) гомотетии . Эта пара точек симметрична относительно прямой р (так как р проходит через середину отрезка АА₁).

Пусть (О₁, R₁) – окружность, симметричная (О₁, R₁) относительно прямой р. Эта окружность проходит через точку В, так как В симметрична В₁ относительно р. Таким образом, окружности (O, R) и (О₁, R₁) имеют общую точку В, в которой они не могут касаться, так как в общем случае В не совпадает с А (это возможно лишь, когда p  s), а потому ОО₁ не перпендикулярна р. Значит (O, R) и (О₁, R₁) имеют еще одну общую точку (конечно в случаях, когда р не перпендикулярна s), которую обозначим Т. Пусть , тогда Т₁ принадлежит (О₁, R₁). Пусть и . Так как Т(О₁, R₁), а (О₁, R₁) (О₁, R₁), то Т₂ (О₁, R₁). Таким образом, тройка точек Т₁, Т₂, Т₂ принадлежит

(О₁, R₁). Но точки Т и Т₁ одинаково удалены о точки Р, как точки пересечения окружностей (O, R) и (О₁, R₁) прямой, проходящей через S. С другой стороны, Т₁ и Т₂ одинаково удалены от Р, т.к. Р принадлежит s. Точки Т₁ и Т₂ одинаково удалены от Р, т.к. Р принадлежит s, точки Т₁ и Т₂ одинаково удалены от Р, так как Р принадлежит р. Отсюда Т₁ и Т₂ равноудалены от Р, а потому и Т₂ и Т₂ равноудалены от Р. Но тогда три точки Т₁, Т₂, Т₂ лежат на окружности с центром Р. Учитывая их принадлежность к окружности (О₁, R₁), мы должны заключить, что эти окружности совпадают, а потому их центры О₁ и Р совпадают. Последнее невозможно, так как Р – середина отрезка АА₁, а О₁ – середина отрезка SA₁, причем А лежит между S и A₁, либо S лежит между А и А₁. Это противоречие возникло в следствии допущения различия точек Т₂ и Т₂. Значит Т₂ совпадает с Т₂. Таким образом имеем: , то есть . Получаем: , то есть Т – неподвижная точка подобия  ◦ . Других неподвижных точек это преобразование не имеет, так как не является движением.

Обозначим прямую ТР через t.

Тогда _t ◦ ( ◦ ) = _t ◦ ((_p ◦ _s) ◦ ) = (_t ◦ _p ◦ _s) ◦ . Прямые s, p, t проходят через одну точку Р, а потому _t ◦ _p ◦ _s = _d, в следствие чего

_t ◦ ( ◦ ) = _d◦ . При этом Т – неподвижная точка _t ◦ ( ◦ ), так как

Т  t и Т – неподвижная точка

 ◦  по доказанному выше. Значит, Т неподвижная точка и _d◦ .

Тогда _d ◦  представляется в виде _h ◦ ₁, таким образом, что Т – центр

₁, а h проходит через Т. Получаем равенство _t ◦ ( ◦ ) = _h ◦ ₁.

Отсюда  ◦  = (_t ◦ _h) ◦ ₁ =₁ ◦ ₁, где ₁ - вращение с центром Т, так как t и h пересекаются в Т. Итак, исходное подобие оказывается представленным произведением гомотетии и вращения с общим центром Т.

Вернемся теперь к отброшенному ранее случаю, когда p  s. В этом случае  ◦  = _Р ◦ , где Р – точка пересечения p и s. _Р и  – растяжения, а потому и  ◦  в этом случае – растяжение, причем растяжение не являющееся движением, то есть оно не является параллельным переносом. Но тогда  ◦  – гомотетия. Таким образом, в этом случае мы имеем дело уже с известным нам преобразованием.

Вывод: Подобие, являющееся произведением гомотетии и вращения в общем случае сводится к произведению таких гомотетии и вращения, у которых центры совпадают. Такое подобие называют центрально-подобным вращением. Оно имеет единственную инвариантную точку, которую можно назвать центром подобия.

Подводя итог исследованию преобразований подобия для случая двумерного пространства, можно сказать, что существуют подобия трех видов: движения, центрально-подобные симметрии и центрально-подобные вращения, включающие в себя и гомотетии, когда составляющее вращение представляет собой центральную симметрию. При более детальном членении видов подобий следует перечислить возможные виды движений плоскости. Поэтому можно говорить о 9 видах подобных преобразований плоскости, включая тождественное преобразование. Из них три, не являющихся движениями, всегда имеют одну единственную неподвижную (инвариантную) точку, а поэтому могут называться центральными подобиями.

В заключении этой лекции отметим, что как и группа D, группа П распадается на два непересекающихся подмножества, если будем относить к гомотетиям и 1: {δ⁺ ◦ } и {δ^- ◦ }, обозначающие множества подобий, представимых произведениями гомотетий и движений первого и второго рода.

Можно легко убедиться, что {δ⁺ ◦ } – группа, {δ^- ◦ } группой не является. В результате ({δ⁺ ◦ }, ◦) – подгруппа группы П , фактор-группа по которой имеет порядок 2.

Все подобия, представимые в виде δ⁺ ◦ , назовем подобиями первого рода, их множество обозначим П⁺. Все подобия, представимые в виде

δ^- ◦ , назовем подобиями второго рода, их множество обозначим П^-. Элементы множеств П ⁺ и П ^- обозначим  ⁺ и ^- соответственно.

Лекция 5

Некоторые понятия в свете свойств подгрупп группы подобий.

1⁰. Группа растяжений и структура векторного пространства.

Пусть R – группа растяжений пространства. Она имеет подгруппу – группу параллельных переносов T. Подмножество гомотетий группы R незамкнуто относительно операции умножения, а потому группы не образует (произведение гомотетий может оказаться параллельным переносом). Элементы группы R будем обозначать греческой буквой ρ (ро), если потребуется, будем использовать и индексы.

Теорема: Для любого ρ и любого τ ρ ◦ τ ◦ ρ^-1 – параллельный перенос.

Если ρ или τ являются тождественными преобразованиями, то ρ ◦ τ ◦ ρ^-1 есть либо τ, либо 1, то есть является элементом T.

Пусть ρ ≠ 1 и τ ≠ 1. Прежде всего, ρ ◦ τ ◦ ρ^-1 – растяжение. Допустим, что имеется неподвижная точка Р. Это означает: Начало и конец этой цепочки указывают на то, что Р₁ = Р₂, то есть τ имеет неподвижную точку. Но это противоречит условию: для любой М τ (М) ≠ М. Это противоречие и заставляет отбросить допущение. Таким образом, ρ ◦ τ ◦ ρ^-1 – растяжение без неподвижных точек, то есть параллельный перенос.

Итак, всякое растяжение определяет отображение T в себя:

τ = ρ ◦ τ ◦ ρ^-1. Это отображение группы T является ее автоморфизмом (оно взаимнооднозначно и сохраняет структурное отношение на T). Автоморфизмы группы T обозначим буквой k, если потребуется, то и с индексами. Образ τ при автоморфизме k будем обозначать kτ, а если

ρ – растяжение, определяющее k, то kτ = ρ ◦ τ ◦ ρ^-1 , что сокращенно записываем как , в следствие этого kτ = .

Если (А, А) – пара точек пространства, соответствующих друг другу в τ, то (А₁, А₁), из которых А₁ = ρ(А) и А₁ = ρ(А) – пара точек параллельного переноса . Таким образом, для нахождения достаточно взять произвольную пару (А,А) для τ , найти образы ρ(А) и ρ(А), тогда пара (ρ(А), ρ(А)) определит .

Теперь покажем, что различные растяжения могут определять один и тот же автоморфизм k.

Найдем условие, при котором : ρ₁ ◦ τ ◦ ρ₁^-1 = ρ₂ ◦ τ ◦ ρ₂^-1 отсюда получаем (ρ₂^-1 ◦ ρ₁) ◦ τ ◦ (ρ₂^-1 ◦ ρ₁)^-1 = τ. Обозначив ρ₂^-1 ◦ ρ₁ через ρ, представляем это равенство в виде ρ ◦ τ ◦ ρ^-1  = τ. Отсюда получаем

ρ = τ ◦ ρ ◦ τ ^-1 

Допустим, что ρ имеет инвариантную точку Р, тогда . Из заключаем, что . Значит Р₁ = Р₂. Итак, ρ имеет кроме Р еще одну неподвижную точку Р₁, а потому ρ = 1, то есть ρ  T.

Если же ρ не имеет инвариантных точек, то ρ  T как параллельный перенос.

Итак, ρ₁ и ρ₂ определяют один и тот же автоморфизм тогда и только тогда, когда ρ₂^-1 ◦ ρ₁ (или ρ₁ ◦ρ₂^-1) – параллельный перенос. Это условие определяет на R отношение эквивалентности, поскольку:

1. для любого ρ  R ρ^-1 ◦ ρ  T ;

2. если ρ₂^-1 ◦ ρ₁  T , то (ρ₂^-1 ◦ ρ₁ )^-1  T, а потому ρ₁^-1 ◦ ρ₂  T;

3. если ρ₂^-1 ◦ ρ₁  T и ρ₃^-1 ◦ ρ₂  T, то ρ₃^-1 ◦ ρ₁  T.

Для доказательства достаточно перемножить первое и второе произведения.

Это отношение эквивалентности на R разбивает его на непересекающиеся подмножества, классы эквивалентности. Один из классов есть множество всех параллельных переносов, включая 1. Все другие классы состоят из гомотетий. Как мы знаем, каждый класс эквивалентности полностью определяется одним любым своим элементом. Выберем множество представителей классов эквивалентности.

Отметим, прежде всего, что никакие две гомотетии из множества гомотетий с общим центром неэквивалентны как растяжения. Если допустить обратное для двух различных ₁ и ₂, то это означает, что

₁ ◦ ₂^-1  T . Так как у ₁ ◦ ₂^-1 общий центр гомотетий, то

он – инвариантная точка ₁ ◦ ₂^-1 , а потому ₁ ◦ ₂^-1 = 1 и ₁ = ₂, что противоречит условию. Таким образом, гомотетии с общим центром представляют различные классы эквивалентных растяжений.

Пусть теперь  – гомотетия, представляющая произвольное растяжение, отличное от 1. Можно показать, что среди гомотетий с общим фиксированным центром S существует гомотетия, эквивалентная . Конструктивно задача поиска такой гомотетии связана с задачей построения отрезка, равного данному, параллельного заданной прямой, у которого концы должны принадлежать сторонам данного угла

(см. рис. 44).

Рис.44

LL₁ – данный отрезок, который мы отложим на данной прямой l. Берем произвольную точку H на стороне h угла hk и строим ее образ H₁ при параллельном переносе, отображающем L и L₁.

Прямая h₁ параллельная h и проходящая через H₁ – образ h в рассматриваемом параллельном переносе. Отмечаем М₁ – точку пересечения k и h₁. Ее прообраз М на h и определяет вместе с М₁ отрезок ММ₁, равный данному LL₁ и параллельный прямой l.

Пусть О – центр  и (А, А) и (В, В) – две пары соответствующих друг другу точек. (рис.45).

Рис.45

Проводим: SA и SB. Через А проводим прямую параллельно ОВ и отмечаем точку А₁ ее пересечения с АВ. Через А₁ проводим прямую параллельно SB и отмечаем точку А₁ ее пересечения с SA. Через А₁ проводим прямую, параллельно АВ. Точка В₁ – пересечение этой прямой с SB.

Гомотетия с центром S, отображающая А₁ в А и будет гомотетией эквивалентной гомотетии . Гомотетии с центром S с присоединенным к ним тождественным отображением представляют все классы эквивалентных растяжений, потому этого множества растяжений достаточно для определения всех возможных автоморфизмов группы T . Обозначим множество этих гомотетий, включая 1, в виде H_s . Все автоморфизмы T связываем только элементами H_s.

Символом K обозначим множество автоморфизмов группы T . Определим на K две операции, одну из которых назовем умножением, а другую сложением.

Определение 1: Произведением автоморфизмов k₁ и k₂ из K называем такой автоморфизм k, для которого найдется такой параллельный перенос τ, что kτ = k₂ (k₁τ).

Отметим, что произведение k₁ и k₂ не зависит от выбора τ. Всякий автоморфизм определяется элементами группы H_s. Поэтому, если ₁ порождает k₁, а ₂ – k₂, то k порождается  = ₂ ◦ ₁.

В самом деле: k₁τ = ₁ ◦ τ ◦ ₁^-1 , k₂(k₁τ) = ₂ ◦ (₁ ◦ τ ◦ ₁^-1) ◦ ₂ ^-1 =

= (₂ ◦ ₁) ◦ τ ◦ (₂ ◦ ₁)^-1. Если τ_i – любой другой элемент T, то

kτ_i =  ◦ τ_{i } ^-1 = (₂ ◦ ₁) ◦ τ_i ◦ (₂ ◦ ₁)^-1 = ₂ ◦ (₁◦ τ_i ◦ ₁^-1)◦ ₂^-1 = k₂(k₁τ_i). Произведение k₁ и k₂ будем записывать в виде k₁ · k₂. Таким образом, можно писать k = k₁ · k₂. Произведение k₁ и k₂ определено для любых k₁ и k₂.

Определение 2: Суммой k₁ и k₂ называем такой автоморфизм k, для которого kτ = k₂τ ◦ k₁τ.

Будем говорить, что τ₁ и τ₂ имеют параллельные направления, если они имеют общий пучок инвариантных прямых. Очевидно, что это отношение на T является отношением эквивалентности, поскольку оно связано с отношением параллельности на множестве прямых.

Для доказательства независимости суммы автоморфизмов от параллельного переноса τ фигурирующего в определении 2, докажем предварительно вспомогательные утверждения.

Лемма 1. τ₁ и τ₂ имеют параллельные направления тогда и только тогда, когда существует автоморфизм k, для которого τ₂ = kτ₁ или

τ₁ = kτ₂.

1). Пусть τ₁ и τ₂ имеют параллельные направления, то есть для пар соответствующих друг другу точек (А₁, А₁) и (А₂, А₂), отвечающих τ₁ и τ₂, А₁А₁ ║ А₂А₂. В этом случае прямые А₁А₂ и А₁А₂ либо параллельны, либо пересекаются в одной точке S (эти прямые лежат в одной плоскости).

В первом случае τ₁ = τ₂ и тогда их можно связать равенством: τ₂ = 1 ◦ τ ₁◦ 1. Обозначив автоморфизм, порождаемый 1, цифрой 1, получаем τ₂ = 1τ₁.

Во втором случае для гомотетии  с центром S и парой точек (А₁А₂) получаем τ₂ =  ◦ τ₁◦ ^-1. В самом деле: , то есть τ₂ = kτ₁, где k – автоморфизм, порождаемый .

2). Пусть существует автоморфизм k, для которого τ₂ = kτ₁. k – либо 1, либо k ≠ 1. В первом случае k порождается 1, а потому τ₂ = 1 ◦ τ ₁◦ 1, то есть τ₂ = τ₁. Это означает, что пары точек (А₁, А₁) и (А₂, А₂)- пары соответствующих точек одного и того же параллельного переноса, а потому А₁А₁ ║А₂А₂.

Если же k ≠ 1, то существует , для которой τ₂ =  ◦ τ₁ ◦ ^-1. Тогда , а потому А₂А₂║ А₁А₁ .

Итак, τ₁ и τ₂ имеют параллельные направления. Сформулированная лемма 1 доказана полностью.

Лемма 2. Произведение гомотетий с общим центром коммутативно.

Пусть ₁ и ₂ – гомотетии с общим центром S. Пусть и , а точка В отображается в В₂ произведением ₂ ◦ ₁ (рис. 46).

Рис.46

Если В не принадлежит SА, то имеем шестиугольник АВА₁В₂А₂В₂^, находящийся в условиях теоремы Паппа (АВ ║ В₂А₂ и ВА₁ ║ А₂В₂^). Поэтому А₁В₂║ В₂А. По условию и . Из

ВА₁ ║ А₂В₂ следует, что . Из В₂А ║ А₁В₂ следует, что . Таким образом, . Отсюда вывод ₂ ◦ ₁= ₁ ◦ ₂.

Обратим внимание на то, что коммутативность произведения гомотетий явилась следствием теоремы Паппа.

Теорема: Если для некоторого τ₀ kτ₀ = k₂τ₀ ◦ k₁τ₀, то kτ = k₂τ ◦ k₁τ для любого τ.

Пусть τ – произвольный нетождественный параллельный перенос. Для τ₀ и τ имеются две возможности: τ₀ и τ имеют параллельные направления или τ₀ и τ имеют непараллельные направления. Рассмотрим эти случаи.

1. τ₀ и τ имеют параллельные направления. Тогда согласно лемме 1 существует k₀ такой, что τ = k₀τ₀ . Это означает, что во множестве гомотетий с общим центром S существует гомотетия ₀, для которой τ=₀ ◦ τ₀ ◦ ₀^-1 или в степенной форме .

По условию kτ₀= k₂τ₀ ◦ k₁τ_0, что можно записать в виде . Из соотношения между τ и τ₀ можно получить выражение τ₀ через τ: . Подставим это в предыдущее равенство и получим . Используем свойства «степеней» с показателями, являющимися преобразованиями, тогда получим , что представляет следующее равенство:

( ◦ ₀ ^-1) ◦ τ ◦ ( ◦ ₀^-1)^-1 = (₂ ◦  ₀^-1) ◦ τ ◦ (₂ ◦ ₀^-1)^-1 ◦ (₁ ◦ ₀^-1) ◦ τ ◦ (₁ ◦ ₀^-1)^-1 = =(₂ ◦  ₀^-1) ◦ τ ◦ (₀ ◦ ₂^-1) ◦ (₁ ◦ ₀^-1) ◦ τ ◦ (₀ ◦ ₁^-1).

Так как все рассматриваемые гомотетии имеют общий центр, то их как сомножители можно менять местами (см. лемму 2). В результате соответствующего перемещения гомотетий как сомножителей, а также используя ассоциативный закон умножения преобразований, полученное выше равенство можно представить в виде

 ₀^-1 ◦ ( ◦ τ ◦ ^-1) ◦ ₀ =  ₀^-1 ◦ (₂ ◦ τ ◦ ₂^-1) ◦ (₁◦ τ ◦ ₁^-1 ) ◦ ₀ .

Умножая последовательно обе части этого равенства слева на ₀, а справа на ₀^-1 получаем  ◦τ ◦^-1 = (₂ ◦ τ ◦ ₂^-1) ◦ (₁◦ τ ◦ ₁^-1), что и означает

kτ =k₂τ ◦ k₁τ.

Теорема в первом случае доказана.

2. τ₀ и τ имеют непараллельные направления. Пусть τ₀ отображает некоторую точку А в точку В, а τ – в точку С. В силу условия точки А, В и С не принадлежат одной прямой (рис.47).

Рис.47

Пусть ₁ – гомотетия с центром S, порождающая автоморфизм k₁, а ₂ –гомотетия с центром S, порождающая k₂.

При этом (А,В,С) (А₁,В₁,С₁) и (А,В,С) (А₂,В₂,С₂).

Так как (А,В) пара переноса τ₀, (А,С) – пара переноса τ, то (А₁,В₁) – пара переноса k₁τ₀ или , (А₂, В₂) – пара переноса k₂τ₀ или , (А₁,С₁) – пара переноса k₁τ или и (А₂,С₂) – пара переноса k₂τ или .

◦ - параллельный перенос, отображающий А₁ в В₁, а ◦ – параллельный перенос, отображающий А₁ в С₁. Проведем через В₁ прямую, параллельную SA и в пересечении ее с SB получим точку В. Поведем через В прямую, параллельную АВ и получим на SA точку А, образом которой при параллельном переносе ◦ будет точка В. Обозначим  гомотетию с центром S, отображающую А в А. Тогда параллельный перенос, отвечающий паре (А, В) или, что тоже самое, паре (А₁, В₁) есть образ τ₀ при автоморфизме, который определяется . Таким образом, τ₀^ = ◦ или kτ₀=k₂τ₀ ◦ k₁τ₀.

Параллельный перенос ◦ отображает А₁ в С₁. Проводим через С₁ прямую, параллельную SA и в пересечении ее с SC получаем точку С, которая является образом точки С в гомотетии, отображающей А в А, т.е. в гомотетии . Так как С – образ точки С в , то перенос, определяемый (А, С) есть τ^. Но пары (А,С) и (А_1,С₁) принадлежат одному переносу, т.е. и (А₁,С₁) – пара переноса τ^. Но пара (А₁,С₁) есть пара переноса

◦ .

Таким образом, или иначе kτ =k₂τ ◦ k₁τ.

Итак, наша теорема справедлива и во втором случае, а потому доказана полностью.

Рассмотрим теперь множество всех автоморфизмов группы T с операциями сложения и умножения, которые мы определили выше. Обозначим эти операции традиционно точкой  и знаком + (плюс). Таким образом, рассматриваем структуру (K +, ).

Прежде всего, напомним, что K замкнуто относительно + и  . По операции умножения в K существует нейтральный элемент, которым является автоморфизм, порождаемый 1. Мы обозначили его выше цифрой 1. Действительно, для любого автоморфизма k k1 есть автоморфизм

k(1τ)=  ◦ (1◦ τ ◦ 1) ◦ ^-1=  ◦ τ ◦  ^-1 = kτ . Это и означает, что k1=k . Точно так же и 1k=k.

Для введения нейтрального элемента по сложению рассматриваем отображение T в себя, при котором всякому τ соответствует 1. Это отображение обозначим  и присоединим его к K. Новое множество обозначим K . Из определения  следует, что для любого k K существует такой автоморфизм -k, для которого k + (-k) = (-k) + k=. Обозначим через -k автоморфизм, порождаемый растяжением _s ◦, где  порождает k, а S – общий центр гомотетий, порождающих автоморфизмы T, _s – частный случай гомотетий с центром S, т.к. _s – растяжение с единственной неподвижной точкой S .

Тогда: (k+ (-k))τ = -kτ ◦ kτ=τ^s◦ ◦ τ^=(τ^)^-1◦ τ^ = 1 для любого τ из T (докажите самостоятельно, что τ^s◦ =(τ^)^-1).

В силу определения 2 суммы автоморфизмов мы имеем дело с таким отображением T в себя, которое всякому элементу группы ставит в соответствие только 1. Именно его мы и обозначили выше через . Поэтому имеем для любого k из K что k + (-k)= . Точно так же мы придем к заключению, что и (-k)+k=.

Теперь обратимся к сумме k+. Для любого τ из T (k+)τ =τ◦kτ, но

τ = 1, а kτ=τ^ , поэтому (k+)τ= 1 ◦ τ^=τ^=kτ. Этот результат и означает, что k+=k.Точно так же получится и +k=k. Таким образом,  – нейтральный элемент по сложению в множестве K.

Возвращаясь к предыдущему результату, можно заключить: в K для любого элемента k существует противоположный элемент -k. Ассоциативность операции сложения очевидна.

Таким образом, (K, +) – группа, причем коммутативная, что является следствием коммутативности группы T .

Итак, (K, , +) – абелева группа структуры (K ,+, ).

Как мы видели выше, существует в K и нейтральный элемент по умножению – это автоморфизм 1. Есть ли в K обратный элемент по умножению для элементов K? Пусть k порождается . Для  в H_s существует обратная гомотетия, которую обозначим ^-1. Для любого τ  T его образ при автоморфизме, соответствующем ^-1, есть ^-1 ◦ τ◦(^-1)^-1 или

^-1◦ τ ◦ . Образом τ при k является ◦ τ ◦ ^-1. Тогда образом τ, при автоморфизме, являющемся произведением этих двух, будет

^-1(◦ τ ◦ ^-1) ◦  = τ, иначе говоря этот автоморфизм есть 1. Tаким образом, автоморфизм, порождаемый ^-1, следует обозначить как k^-1. Вывод: у любого k  K существует в K обратный элемент, которым является k^-1.

Ассоциативность умножения автоморфизмов очевидна. Таким образом, (K, ) – мультипликативная группа. В группах (K, +) и (K, ) операции связаны дистрибутивным законом: (k₁+k₂) k₃ = k₁  k ₃ + k ₂  k₃. Убедимся в этом. k₁ + k ₂ – это автоморфизм, для которого (k₁ + k ₂) τ =

= k ₂ τ ◦ k₁τ = ◦ .

С другой стороны, произведение k₁  k₃ – автоморфизм, для которого

k₁  k₃τ = k₃(k₁τ) = .Точно также k₂k₃ отвечает равенство k₂k₃τ =

= k₃(k₁τ) = .

Тогда k₁k₃ + k₂k₃ отвечает равенство (k₁k₃ + k₂k₃) τ = k₂k₃τ ◦ k₁k₃τ = = , но ◦ = k₂τ ◦ k₁τ = (k₁ + k₂) τ поэтому

(k₁k₃ + k₂k₃) τ = ((k₁ + k₂) τ) = k₃((k₁ + k₂) τ) = (k₁ + k₂) k₃τ.

Отсюда (k₁ + k₂)k₃ = k₁k₃ + k₂k₃.

Точно также дистрибутивность выполняется и при умножении слева:

k₃ (k₁ + k₂) = k₃ k₁ + k₃ k₂ .

В силу теоремы Паппа произведение гомотетий с общим центром коммутативно: ₂ ◦ ₁=₁◦₂ . Поэтому

Для k₁k₂ имеем: k₁k₂ τ = k₂(k₁τ) = = k₁(k₂τ)= k₂  k₁τ, что и означает равенство k₁  k₁ и k₂ k₁.

Таким образом, структура (K, +, ) – поле. Заметим, что без справедливости теоремы Паппа не выполнялась бы коммутативность умножения автоморфизмов группы T. Структура (K, +, ) была бы не полем, а более общей алгебраической структурой – телом. Теорема Паппа – геометрический эквивалент коммутативности умножения автоморфизмов группы T . Отсутствие коммутативности повлекло бы за собой разрушение всей теории подобия, а значит и геометрии Евклида в целом.

Полученные выше результаты позволяют вскрыть векторную структуру евклидова пространства. Прежде всего, изменим название и обозначение групповой операции группы T параллельных переносов, превращая ее в аддитивную группу (это часто делают для коммутативных групп).Вместо τ₂ ◦ τ₁ будем писать τ₂ + τ₁ и называть суммой элементов группы T.

Зададим отображение f: K  T  T , ставя в соответствие паре (k, τ) параллельный перенос kτ, который назовем произведением τ на элемент k поля K.Обратимся к свойствам этой операции.

1. k (τ ₁ + τ₂) = k τ₁ + kτ₂, так как (τ ₁ + τ₂)^ = (τ ₁ ◦ τ₂)^ = τ₁^ ◦ τ₂^ = τ₁^ + τ₂^,

т.е. k τ₁ + kτ₂.

2. (k₁ + k ₂ )τ = k₁τ + k₂τ, так как правая часть есть всего лишь другая форма выражения k₁τ ◦ k₂τ .

3. k₂ (k ₁τ)= (k₂ · k₁)τ , что следует из определения произведения k₁ и k ₂.

4. для любого τ  T 1τ=τ (здесь 1 K).

Вывод: (T, +, K) – векторное пространство над полем K (или телом K, если теорема Паппа не имеет места), В силу полученного результата элементы группы T называются векторами.

Так как в евклидовом пространстве, геометрию которого мы строим аксиоматически, всякая упорядоченная пара точек (А, А) однозначно связана с элементами группы T, то справедливо известное соотношение между векторами и точками геометрического пространства, которое при построении геометрической системы на векторной основе принимают за первую аксиому: для любой точки пространства А и фиксированного вектора τ в пространстве существует единственная точка А такая, что паре точек (А, А) однозначно соответствует вектор τ векторного пространства (T, +, K ), Легко убедится в том, что выполнена и вторая аксиома «откладывания» вектора от точки: если А, В и С – три различные точки прямой, то сумма векторов τ_АВ и τ_ВС равна вектору τ_АС.

Отметим еще, что полученное нами векторное пространство таково, что в нем существуют линейно независимые системы векторов, состоящие не более чем из трех векторов (мы имели дело с трехмерным евклидовым пространством). Если же мы рассматриваем растяжения и параллельные переносы в плоскости (плоскость отображалась на себя), то наше пространство (T, +, K) имеет размерность 2 – максимальное число линейно независимых векторов (параллельных переносов как элементов T) равно двум.

Для определения метрики нужно, конечно, задать еще в (T, +, K) и скалярное произведение элементов T, но этого мы здесь делать не будем, поскольку наша задача – лишь демонстрация связи соответствующих свойств групп преобразований с раскрытием векторной структуры евклидова пространства.

В заключении отметим лишь некоторые следствия полученных выше результатов. Будем говорить, что векторы τ₁ и τ₂ – неколлинеарны, если τ₁ и τ₂ как параллельные переносы имеют непараллельные направления.

Пусть τ₁ и τ₂ – неколлинеарные векторы и точка О – произвольная точка плоскости. Пусть О О₁ и О О₂. Возьмем в T произвольный перенос τ который точку О отображает в точку А (рис.48).

Рис.48

Парам (О, А₁) и (О, А₂) отвечают параллельные переносы τ_х и τ_у коллинеарные соответственно τ₁ и τ₂. Существуют единственные k_х и k_у в K, для которых

τ_х =k_х τ₁ и τ_у =k_у τ₂. Но τ = τ _х + τ_у или τ=k_хτ ₁ + k_уτ₂ . Таким образом, если фиксированы два неколлинеарных вектора τ₁ и τ₂, то всякому вектору τ ставится в соответствие строго определенная пара (k_х, k_у) элементов поля K. Ясно, что выполнено и обратное. Таким образом, пара элементов

K (k_х, k_у) может рассматриваться как координаты вектора τ в репере (τ_1, τ₂). Кроме того, эту пару можно считать и координатами точки А, представленными в соответствующей системе координат.

Пусть теперь l – некоторая прямая, проходящая через точку Q и инвариантная относительно параллельного переноса τ. Представим координаты точек прямой l в репере (τ₁, τ₂).

Рис. 49

Возьмем на l произвольную точку L (рис.49). Обозначим векторы, отвечающие парам точек (O, Q) , (O, L) и (Q, L), в виде , и . Тогда

= . Векторы и τ коллинеарны, а потому = kτ.

Если (t₁,t₂) – координаты вектора τ в репере (τ₁, τ₂), то = kt₁τ₁ + kt₂τ₂. Если при этом (q₁, q₂) – координаты вектора , то

OL = (q₁τ₁+q₂τ₂) + (kt₁τ₁+kt₂τ₂) = (kt₁+q₁)τ₁ + (kt₂+q₂)τ₂ .

Следовательно, суммы в скобках при τ₁ и τ₂ являются координатами вектора , а значит и точки L. Обозначая ее координаты через х и у получаем знакомое по виду параметрическое представление условий принадлежности точки L прямой l

х = k t₁ + q₁

у = k t₂ + q₂

В заключении представим координатное задание линейных преобразований плоскости. Фиксируем две пары попарно неколлинеарных векторов (τ₁, τ₂) и (τ₁, τ₂) и две точки О и О. Всякой точке М плоскости ставим в соответствие такую точку М этой же плоскости, которая в системе координат, определяемой точкой О и парой векторов (τ₁, τ₂), имеет такие же координаты, какие точка М имеет в системе с началом О и репером (τ₁, τ₂) (рис.50).

Рис. 50

Пусть (х, у) – координаты точки М в системе с базисом (О, τ₁, τ₂), а

(х, у) – координаты М в системе координат (О,τ₁, τ₂), тогда х = х и у=у

= х₀τ₁ + у₀τ₂, где (х₀, у₀) – координаты О в системе (О, τ₁, τ₂).

= хτ₁ + уτ₂ = х τ₁ + у τ₂. С другой стороны .

Таким образом, = (х₀ τ₁ + у₀ τ₂)+ ( х τ₁ + у τ₂) . Пусть τ₁= k₁₁τ₁ + k₁₂ τ₂ и τ₂= k₂₁τ₁ + k₂₂ τ₂. Отсюда = ( х k₁₁ + у k₁₂ + х₀) τ₁ + ( х k₂₁ + у k₂₂ + у₀) τ₂ .

Э то означает, что х= х k₁₁ + у k₁₂ + х₀

у= х k₂₁ + у k₂₂ + у₀

Эти равенства (при переменных х, у, х, у – уравнения) позволяют находить образ любой точки М плоскости, если известны: координаты точки О и векторов τ₁ и τ₂ в заданной координатной системе (О, τ₁, τ₂).

Напоминаем, что аналитически стандартная форма представления, так называемых уравнений преобразования имеет непривычное толкование значений буквенных представлений как коэффициентов этих уравнений так и их переменных. И те и другие – элементы поля автоморфизмов группы параллельных переносов.

Далее можно ввести метрику путем определения скалярного произведения векторов и перейти к соответствующему описанию геометрии евклидовой плоскости. Таким образом, мы достаточно отчетливо видим, с одной стороны, фундаментальную роль группы движений в построении евклидовой геометрии, а с другой стороны, обнаруживаем и ключевое значение для этой геометрии теоремы Паппа в ее, так называемом аффинном варианте.

2. О понятии «ориентация».

Понятие ориентации в практике преподавания считается одним из трудных и чаще всего используется без математически строго определения, что приводит на деле к смешению, хотя и связанных, но все же разных понятий. Прежде всего, следует сразу обратить внимание, что слово «ориентация» используют в двух различных случаях: для выделения фигур, соответствующие точки которых упорядочены и для названия некоторого специфического отношения эквивалентности, задаваемого на множестве фигур. Эти два разных понятия, в названии которых используется слово «ориентация», математически связаны друг с другом, но все же различны. Эта связь и различие должны быть ясны, в первую очередь, преподавателю, он несомненно должен быть готов при необходимости разъяснить математическую суть понятий и их связь.

Рассматриваем ориентацию как отношение на множестве фигур. Ориентацией в этом случае называют бинарное отношение на множестве фигур, являющееся отношением эквивалентности, фактор-множество по которому имеет порядок 2 (или иначе, множество классов эквивалентности состоит ровно из двух элементов).

Такое отношение мы можем задавать, используя группы преобразований, обладающие, прежде всего, свойством аналогичным базовому свойству понятия ориентации.

Пусть G – группа преобразований пространства, которая обладает подгруппой G⁺, являющейся нормальным делителем группы G , фактор-группа по которому имеет порядок 2, Вторым элементом фактор-группы G/G ⁺, будет множество, которое обозначаем G ^-, таким образом фактор группа группы G состоит из двух элементов G ⁺ и G ^- .

Примером таких групп являются группа движений D и группа подобий П (см. лекции 2 и 4).

Приведем критерий ориентируемости множества фигур.

Теорема: Множество фигур F ориентируемо, т.е. на нем можно задать ориентацию, тогда и только тогда, когда существует группа преобразований G транзитивная на F и обладающая нормальным делителем, фактор-группа по которому имеет порядок 2, а фигуры из F отображаются на себе только преобразованиями первого рода.

1. Пусть F ориентируемо т.е. на F задана ориентация и кроме того группа G транзитивна на F. Доказать следует, что фигуры из F не могут отображаться на себя, преобразованиями второго рода из G. Отношение ориентации на F разбивает это множество на два класса эквивалентности F ⁺ и F ^-, не имеющие общих элементов. Допустим противное тому, что требуется доказать, т.е. существование в G преобразования g^- второго рода, которое отображает некоторую фигуру F из F на себя, т.е.

F F. Пусть, кроме того,

F⁺– образ F при некотором преобразовании g ⁺ первого рода из G . Тогда имеем: F F F ⁺ или F F⁺ .

g ⁺ ◦ g ^- – преобразование второго рода. Таким образом, с одной стороны, F и F⁺ принадлежат одному классу эквивалентности, т.к. F отображается на F⁺ преобразованием первого рода, а в следствии допущения та же фигура F отображается на F⁺ преобразованием второго рода, т.е. F и F⁺ должны принадлежать разным классам эквивалентности. Это противоречие и заставляет отбросить сделанное допущение.

2. Итак, G транзитивна на F и при этом любая фигура F из F отображается на себя только преобразованиями первого рода. Пусть множество образов фигуры F при всех возможных преобразованиях из G ⁺ обозначено  g ⁺(F), а множество образов фигуры F при всех возможных преобразованиях из G ^– – g ^-(F).

С одной стороны, очевидно, что  g ⁺(F)  g ^-(F)  F.С другой стороны, всякая фигура из F в силу транзитивности G на F есть образ фигуры F, а потому принадлежит либо  g ⁺(F), либо  g^- (F), следовательно их объединению. Иначе говоря, F  g ⁺(F)   g ^-(F).

Таким образом,  g ⁺(F)  g ^-(F)= F.

Покажем теперь, что рассматриваемые множества фигур не имеют общих элементов. Доказательство проводим методом от противного: допускаем, что g ⁺(F) и g ^-(F) имеют общий элемент. Это значит, что существуют преобразования g ₁⁺ и g ₂^- в G такие, что g ₁⁺(F)= g ₂^-(F).

Иначе F g ₂^- (F) F, если обозначить (g ₁⁺)^-1 через g₂⁺ (а это можно сделать, поскольку G⁺ – группа), то F F.

g ₂⁺ ◦ g ₂^-  G ^-, следовательно F отображается на себя преобразованием второго рода. Этот результат явился следствием сделанного допущения и он противоречит условию. Следовательно, допущение неверно.

Вывод: Если фигуры из F отображаются на себя преобразованиями первого рода из G, то F распадается на два непересекающихся подмножества, которые мы и примем за классы эквивалентности. Это разбиение F на непересекающиеся подмножества и определяет отношение эквивалентности на F представляющее отношение ориентации фигур из F.

Рассмотренная теорема с полным правом может быть названа критерием задания ориентации на множестве фигур.

Покажем на примерах использование этого критерия. Одновременно, получим материал объясняющий связь между ориентацией как отношением на множестве фигур и понятием ориентированной фигуры.

Пример 1.  – множество всех треугольников плоскости, конгруэнтных (или равных) неравнобедренному треугольнику АВС. На множестве этих треугольников транзитивна группа движений D. В этом случае всякий треугольник отображается на себя только тождественным преобразованием, так как, отображение АВС на себя означает, что

А  А, В  В, и С  С.

Такое движение согласно свойству 3 (см. лекцию 1) является тождественным преобразованием.

Таким образом, группа D транзитивна на . Эта группа имеет нормальный делитель D⁺, фактор группа D/D⁺ которого имеет порядок 2 (это группа с базовым множеством D⁺,D^-) и при этом всякая фигура из  отображается на себя только тождественным преобразованием, которое, как 1, принадлежит D⁺. Множества ⁺(АВС) и ^- (АВС) являются классами эквивалентности. Первый класс – класс треугольников одинаково ориентированных с треугольником АВС. Его естественно назвать классом положительной (или правой) ориентации. Второй класс – класс треугольников противоположно ориентированных с треугольником АВС. Его можно назвать классом отрицательной (или левой) ориентации. АВС – представитель первого класса. За представителя второго класса естественно принять треугольник АВС, симметричный треугольнику АВС относительно прямой а (произвольной прямой). Это возможно поскольку

АВС АВС, а преобразование _а D^-.

Пример 2: Множество треугольников плоскости, равных равнобедренному треугольнику АВС.

Пусть для определенности, у треугольника АВС равны стороны АВ и АС. Ясно, что тождественное преобразование отображает АВС на себя.

Однако, в отличие от случая, рассмотренного в примере 1, кроме этого преобразования существует еще и нетождественное движение, отображающее АВС на себя, это осевая симметрия, ось которой является медиатрисой отрезка ВС.

Таким образом, в этом случае множество равнобедренных треугольников не ориентируемо.

Обратим внимание на особенность отображения АВС на себя с помощью осевой симметрии. В отличии от тождественного преобразования, осевая симметрия не оставляет на месте все точки АВС, например, С отображается на В и т. п. (рис.51).

Рис.51

При осевой симметрии меняется не фигура, а направление обхода по ее контуру. Если этот обход зададим переходом от А к С через В, то при симметрии он меняется на обход от А к В через С. Понятие обхода по контуру фигуры формализуется путем введения понятия ориентированной фигуры, в частности, треугольник ориентирован, если множество его вершин упорядочено. Упорядоченность конечного множества может быть задана путем нумерации его элементов. Таким образом, мы обычно и говорим, что фигура ориентирована, если множество точек, ее определяющих, упорядочено, то есть перенумеровано. Ориентированный треугольник АВС – это треугольник АВС и упорядоченная тройка точек (А, В, С), или (В, А, С), или (В, С, А), или (С, В, А), или (С, А, В), или (А, С, В).

Всякое отображение ориентированного треугольника на себя можно представить в виде подстановки или, или, или, или, или . Как известно, число этих подстановок равно 3!. Именно столько существует преобразований, отображающих ориентированный треугольник АВС на себя. Как нетрудно понять, это справедливо лишь при условии, что преобразования, связанные с такими подстановками, не являются ни движениями, ни подобиями.

В рассматриваемом нами случае есть только два движения, отображающие АВС на себя, одному из которых соответствует подстановка

, это тождественное преобразование, а другому - это осевая симметрия. Значит, чтобы сделать множество равных между собой равнобедренных треугольников ориентируемым нужно, прежде всего, ориентировать (упорядочить вершины) каждый треугольник и исключить из множества равнобедренных треугольников все правильные треугольники. Только в этом случае всякий треугольник (ориентированный), указанного выше множества отображаться на себя будет только тождественным преобразованием, то есть преобразованием (движением) первого рода.

Уже рассмотренный выше пример дает почувствовать, в чем состоит связь между понятием ориентации, как отношением на множестве фигур, и понятием ориентированной фигуры. Последнее появляется лишь тогда, когда какое-либо множество фигур неориентируемо, а мы хотим иметь, по тем или иным причинам, ориентируемое множество фигур. Ориентированная фигура востребована лишь тогда, когда геометрическое пространство обладает фундаментальной группой преобразований, обладающей свойством, которое позволяет использовать понятие ориентированной фигуры.

Пример 3: Рассматриваем множество всех возможных треугольников в плоскости.

Так как для произвольно взятой пары треугольников может отсутствовать как движение плоскости, так и подобие, которые могли бы отобразить один из треугольников на другой, то ни группа движений плоскости, ни группа ее подобий не транзитивны на множестве всех треугольников плоскости, а потому эти группы преобразований не могут быть использованы для задания ориентации на таком множестве.

Обратимся к расширению группы подобий группе аффинных преобразований плоскости. Эта группа обладает таким же свойством как и группа подобий: у нее есть нормальный делитель, фактор-группа по которому имеет порядок 2. Если обозначить группу аффинных преобразований буквой А, а ее нормальный делитель через А⁺, то А / А⁺ – фактор-группа А и она имеет равно два элемента А⁺ – группа преобразований первого рода и А^- – множество преобразований второго рода.

Используя аналитическое задание преобразований, напомним, как делят аффинные преобразования на два вида. Итак, аффинное преобразование на координатной плоскости задается системой уравнений:

x = a₁x + b₁y + c₁

y = a₂x + b₂y + c₂

Определитель этой системы может быть только либо положительным, либо отрицательным.

Преобразования, которые задаются системой с положительным определителем образуют группу. Именно ее мы и обозначаем А⁺. Преобразования, системы уравнений которых имеют отрицательный определитель, группы не образует. Множество этих преобразований мы обозначаем А^-. А⁺ будет нормальным делителем группы А. Фактор-группой по А⁺ будет группа {A⁺, A^-}, имеющая только два элемента. Преобразования из А⁺ можно назвать преобразованиями первого рода, а из А ^- – преобразованиями второго рода.

Группа А транзитивна на множестве треугольников плоскости, но произвольный треугольник АВС отображается на себя шестью аффинными преобразованиями, которые можно представить шестью подстановками:

, , , , , . Эти преобразования объединяются в два множества, одно из которых состоит из аффинных преобразований первого рода, а второе – преобразований второго рода. К первым относятся подстановки , , , а ко вторым – подстановки , , . Таким образом, множество всех треугольников плоскости неориентируемо.

Если же треугольники плоскости ориентировать, то каждый ориентированный треугольник отображается в себя с сохранением ориентации только преобразованием первого рода. Следовательно, множество ориентированных треугольников плоскости ориентируемо. Для задания ориентации на множестве ориентированных треугольников пришлось использовать группу преобразований, не относящуюся к евклидовой геометрии. Возникает естественный вопрос о возможности определения ориентации на таком множестве фигур без обращения к группам преобразований, лежащим за пределами евклидовой геометрии.

Проиллюстрируем решение такой задачи на примере задания ориентации на множестве ориентированных треугольников плоскости. Прежде всего, обратим внимание на то, что с ориентированными треугольниками можно связать фигуры, на множестве которых средствами евклидовой геометрии определяется отношение ориентации.

Пусть (А, В, С) – упорядоченная тройка вершин треугольника АВС. Точка А, луч АВ и полуплоскость  с граничной прямой АВ, содержащая точку С, есть однозначно определенная тройка (А, АВ, ), называемая флагом. Именно этот флаг мы и поставим в соответствие ориентированному треугольнику АВС, когда его ориентация задана упорядоченной тройкой (А, В, С). Ясно, что каждому ориентированному треугольнику однозначно соответствует некоторый флаг.

Рассмотрим теперь множество всех возможных флагов плоскости и выясним, можно ли на нем задать ориентацию.

1. Группа D транзитивна на этом множестве. Для любых двух флагов

(O, h, ) и (O, h, ) существует движение, отображающее первый флаг на второй. Его легко представить в виде произведения осевых симметрий. Вариант такого представления приведен на рис.52.

Рис.52

В этом примере движение, отображающее (O, h, ) в (O, h, ) представлено произведением осевых симметрий _а и _b, где

а – медиатриса отрезка ОО, b – прямая, содержащая биссектрису h₁h.

.

2. Всякий флаг (O, h, ) отображается на себя только тождественным преобразованием из группы D, то есть движением первого рода.

3. Группа D обладает нормальным делителем (это D⁺), фактор-группа по которому имеет порядок 2 (это {D⁺, D^-}).

Для задания ориентации достаточно фиксировать некоторый флаг

(O, h, ), приписав ему положительную ориентацию: все флаги, являющиеся образами(O, h, ) при движениях первого рода положительно ориентированы, а флаги, являющиеся образами (O, h, ) при движениях второго рода, отрицательно ориентированы.

Возвращаемся к множеству ориентированных треугольников. С каждым из них однозначно связан флаг. Фиксируем некоторый ориентированный треугольник АВС с упорядоченной тройкой вершин (А, В, С). Ставим этой упорядоченной тройке, а значит и ориентированному треугольнику, в соответствие флаг (А, АВ, ) так, как это было описано выше. Два треугольника одинаково ориентированы, если им соответствующие флаги одинаково ориентированы, они противоположно ориентированы, если противоположно ориентированы соответствующие им флаги.

Таким образом, используя отношение ориентации на множестве

флагов, для задания которого используется группа D евклидовой плоскости, мы определяем отношение ориентации на множестве ориентированных треугольников.

Замечание: Таким же способом можно задать ориентацию на множестве ориентированных углов, или множестве ориентированных окружностей.

В заключении несколько замечаний по поводу понятия ориентированной плоскости.

Плоскость ориентирована, если ориентирован (упорядочен) ее симплекс. Для плоскости симплексом является всякая тройка неколлинеарных точек. Когда в плоскости задана система координат, ее симплексом является в частности тройка точек (0, 0), (1, 0), (0, 1). Пара плоскость и ориентированный симплекс – ориентированная плоскость. Две ориентированные плоскости различаются лишь ориентированными симплексами. Но множество ориентированных симплексов есть множество ориентированных треугольников, на котором, как было показано выше, определяется отношение ориентации, а потому для ориентированных плоскостей будем иметь два ориентационных класса, один из которых, как говорят в этом случае, имеет правую ориентацию, а второй – левую ориентацию. В большинстве стран за правоориентированный симплекс принимают упорядоченную тройку точек

((0, 0), (1, 0), (0, 1)).

3. Понятие угла и группа вращений плоскости.

Прежде всего, отметим, что понятие угла порождает в преподавании геометрии не мало споров и трудностей. Причина – в сложности понятия, его неоднозначности и, как следствие, – в разнообразии его толкований и определений: угол – пара лучей с общим началом; соответствующая часть плоскости; величина, характеризующая положение материальной точки, находящейся во вращательном движении. Некоторых трудностей удается избежать, когда углом называют пару лучей с общим началом, однако, при этом возникает существенное отличие аддитивной структуры углов от аддитивной структуры отрезков, например, в группе углов существуют углы , отличные от нулевого угла, для которых  +  или 2 является нулевым угол. Эта разница создает психологические затруднения в овладении понятием угла. Естественная связь углов с группой вращений позволяет в какой-то мере облегчить преодоление этих трудностей. Рассмотрим эту связь, представив одновременно еще одно из возможных толкований угла.

Итак, под углом понимаем фигуру, состоящую из двух лучей с общим началом. Лучи называем сторонами угла, а из общее начало – вершиной угла. Угол, образованный лучами h и k, обозначаем hk. Всякий угол hk можно связать с двумя вращениями, одно из которых отображает h в k, а другое – k в h. Поэтому соответствие между множеством углов с общей вершиной и одной общей стороной и множеством вращений с центром в общей вершине углов становится взаимнооднозначным, если углы будут ориентированы. По этой причине будем рассматривать ориентированные углы с общей вершиной и одной общей стороной, обозначая вершину углов буквой О, а общую сторону углов буквой h. При этом ориентированный угол hk обозначаем в виде (h, k), где h – первая сторона угла, а k – его вторая сторона.

Прямая, содержащая луч h, разбивает плоскость на две полуплоскости. Углы, вторые стороны которых принадлежат одной и той же полуплоскости, одинаково ориентированы (см. предшествующий пункт лекции), углы, вторые стороны которых принадлежат разным полуплоскостям, ориентированы противоположно.

Среди углов есть два особенных угла – это развернутый угол, его стороны – взаимно дополнительные лучи h и , и нулевой угол, его стороны совпадают в нашем случае, это луч h, который считается дважды. Ориентация этих углов не определена, поскольку каждый из них может быть отображен на себя как движением первого рода, так и движением второго рода: для развернутого угла – это центральная и осевая симметрии, для нулевого угла – это тожественное преобразование или осевая симметрия.

На множестве этих углов можно задать операцию сложения:

суммой углов (h, k₁) и (h, k₂) называем угол (h, k₃), у которого сторона k₃ – образ луча h при вращении ₂ ◦ ₁, где ₁ – вращение, отображающее h в k₁, а ₂ – вращение, отображающее h в k₂. Множество всех ориентированных углов с общей стороной h (а значит и общей вершиной О), пополненное развернутым и нулевым углами, будет коммутативной группой, которую мы обозначим Е₀. Замкнутость множества Е₀ относительно операции сложения, наличие в нем нейтрального элемента по сложению почти очевидны. Наличие у любого элемента Е₀ противоположного менее очевидно. Пусть имеем угол (h, k). Если этот угол нулевой, то k совпадает с h, и тогда соответствующее такому углу вращение есть тождественное преобразование, а потому

(h, h) + (h, h) =(h, h). Если (h, k) развернутый, то k – луч, противоположный лучу h. Обозначим его . Пусть  соответствует ( ), тогда , то есть .

Это означает, что ( ) + ( ) = (h, h), то есть нулевому углу. Таким образом, ( ) как элемент аддитивной структуры противоположен сам себе.

Пусть, наконец, (h, k) ненулевой и неразвернутый угол. Углу

(h, k) отвечает вращение . Обозначим ^-1 вращение, отображающее луч k в луч h (вращение с центром О). Пусть h отображается ^-1 в k*. Найдем сумму углов

(h, k) и (h, k*): , следовательно, эта сумма есть угол (h, h), то есть нулевой.

Вывод: Всякий угол из множества углов Е₀ имеет противоположный. В общем случае угол, противоположный (h, k), есть (h, k*), где k*– луч, симметричный лучу k относительно прямой, содержащей луч h. Для нулевого и развернутого угла противоположными углами будут эти же углы.

Отметим так же, что множество вращений с центром О превращается в группу, если его пополнить тождественным преобразованием, которое будет играть роль нейтрального элемента в умножении вращений. Обратим внимание на то, что такое пополнение – естественное следствие существования для всякого вращения  такого вращения ^-1, для которого  ◦ ^-1 =1. Группу вращений с центром О обозначим W₀.

Группы E₀ и W₀ изоморфны: взаимнооднозначное соответствие между элементами множеств E₀ и W₀ очевидно, как и сохранение структурных связей между элементами множеств E₀ и W₀ при взаимнооднозначном отображении одного из них на другое. Таким образом, эти структуры математически неразличимы, а потому при необходимости (или желании) свойства группы углов можно изучать, исследуя группу вращений. В этом случае под углом, правда ориентированным углом, мы можем понимать вращение.

Следует заметить, что в геометрии рассматриваются углы, вершинами которых могут быть различные точки плоскости. Замена же угла вращением предполагает использование групповой структуры соответствующих множеств. Операция сложения углов в сущности связана с существованием отношения эквивалентности на множестве углов, в том числе и на множестве ориентированных углов – это отношение конгруэнтности (или равенства) углов. Поэтому, говоря о вращениях плоскости, соответствующую операцию с ними следует поставить в зависимость от отношения эквивалентности, которое должно быть задано на множестве вращений плоскости. Это отношение можно задать, используя элементы группы T (группы параллельных переносов):

₁ эквивалентно ₂, если существует параллельный перенос , для которого ₂ =  ◦ ₁ ◦ ^-1. Отметим, что для любого :  ◦  ◦ ^-1 – вращение.

Действительно:  ◦  ◦ ^-1 =  ◦ (_b ◦ _a) ◦ ^-1 = ( ◦ _b◦ ^-1) ◦ ( ◦_а ◦ ^-1) =

= _b ◦ _a, при этом b и a пересекаются в точке О, являющейся образом точки пересечения прямых a и b, то есть образом центра вращения ,так что

Определенное таким образом отношение на множестве вращений плоскости обладает свойствами:

1. всякое  эквивалентно самому себе, что следует из 1◦  ◦ 1=  и того, что 1 принадлежит группе T;

2. если ₁ эквивалентно ₂, то и наоборот ₂ эквивалентно ₁,так как из

₂ =  ◦ ₁ ◦ ^-1 следует, что ₁ = ^-1 ◦ ₂ ◦  = ^-1 ◦ ₂ ◦ (^-1)^-1;

3. наконец, из ₂ = ₁ ◦ ₁ ◦ ₁^-1 и ₃ = ₂ ◦ ₂ ◦ ₂^-1 следует

₃ = (₂ ◦ ₁) ◦ ₁ ◦ (₂ ◦ ₁) ^-1 , то есть ₁ эквивалентно ₃ .

Таким образом, отношение, заданное выше на множестве вращений, действительно является отношением эквивалентности, а потому корректно его первоначальное название. Элементы группы W₀ являются представителями классов эквивалентности множества вращений плоскости, поэтому операцию на множестве вращений, которая соответствовала бы операции сложения углов, мы можем определить, используя операцию умножения вращений, имеющих общий центр О: для произвольно взятых вращений ₁ и ₂ ₁┬₂, где ┬ знак операции на множестве вращений, есть любое вращение, эквивалентное вращению

₀² ◦ ₀¹, где ₀¹ и ₀² – вращения соответственно эквивалентные ₁ и ₂.

В заключении вернемся к вопросу о сумме неориентированных углов. С углом hk однозначно связывается часть плоскости, которую называют внутренней областью угла – это пересечение (или общая часть) двух полуплоскостей, одна из которых содержит луч k и границей имеет прямую а, содержащую луч h, а другая содержит луч h, и имеет границей прямую b, содержащую луч k.

Рис. 53

На рисунке 53 внутренняя область hk часть плоскости, имеющая двойную штриховку.

Суммой углов hk и h′k′ называют hk₁, который определяется конструктивно следующим образом: строим угол kk₁,конгруэнтный h′k′ так, чтобы внутренние области hk и kk₁ не имели общих точек (рис. 54)

Рис. 54

Для наглядности на рисунке внутренние области углов заштрихованы. Сумма углов определяется с точностью до конгруэнтности, всякий угол, конгруэнтный h k₁, мы считаем суммой углов h k и h′ k′. Другой способ определения суммы углов базируется на связи углов с вращениями плоскости и использованием операции умножения вращений. Для использования этой связи, рассмотренной выше, придется лишь перейти от углов, как геометрических фигур, к углам ориентированным, т.е. соответствующим упорядоченным парам лучей. Это, однако, не ведет к изменению существа понятия суммы углов, как фигуры геометрической (рис.55).

Рис. 55

Ориентируем углы hk и h′k′ так, чтобы они имели одинаковую ориентацию. Выбираем произвольную точку, например, точку О, являющуюся вершиной hk, и задаем вращения ₁ и ₂ с общим центром О так, чтобы углы вращений ₁ и ₂ были соответственно конгруэнтны и одинаково ориентированы с углами hk и h′k′. Эти вращения задаются парами точек (Н, Н₁) и (Н₁, Н₂). Строим образ луча h при вращении плоскости ₂ ◦ ₁. Этим лучом будет k₁, который определяется точками О и Н₂. Угол hk₁ называем суммой углов hk и h′k′.

На примере с многоугольниками продемонстрируем, наконец, использование связи между углами и вращениями, о которой говорилось выше. Для удобства введем понятие угла пары лучей. Углом упорядоченной пары лучей h и k назовем ориентированный угол (h′, k′), вершиной которого является произвольно выбранная точка О′, а стороны h′ и k′ - образы лучей h и k соответственно при параллельных переносах, отображающих начала лучей h и k в точку О′. Угол пары лучей h и k обозначим (h,^k).

Пусть А₁А₂…А_n – плоский n – угольник, углы А_nА₁А₂, А₁А₂А₃,

А₂ А₃ А₄, …, А_n-1 А_n А₁ – внутренние углы этого n – угольника. Если обозначить лучи А₁А₂ , А₂А₃, …, А_nА₁ через h₁, h₂ , …, h_n а им дополнительные лучи – через , то внутренние углы n – угольника есть углы пар лучей

(h₁, ^ ) (h₂^, ), (h₃^, )…, (h_n ^, ).

Углы пар лучей (h_n^, h₁), (h₁^, h₂), (h₂^, h₃),…, (h_n-1,^ h_n) называют внешними углами n-угольника.

Сумма внешних углов n-угольника может быть представлена суммой ориентированных углов ( h_n′, h₁′), ( h₁′, h₂′), ( h₂′, h₃′),…, ( h_n-1′, h_n′) c общей вершиной О′, у которых стороны h_n′, h₁′, h₂′, h₃′,…, h_n-1′ есть образы лучей h_n, h₁, h₂, h₃,…, h_n-1 при параллельных переносах отображающих вершины А_n, А₁, А₂, А₃ ,…, А_n-1 в точку О′.

Поэтому сумма внешних углов n-угольника А₁А₂ А₃ …А_n равна сумме углов

(h_n′, h₁′), (h₁′, h₂′), (h₂′, h₃′),…, (h_n-1′, h_n′). Вращение, соответствующее этой сумме будет отображать h_n′ в h_n′, а потому является тождественным преобразованием. Значит, сумма внешних углов n-угольника равна нулевому углу. Если нулевой угол обозначить через , то можно записать:

( h_n′, h₁′) + ( h₁′, h₂′) + ( h₂′, h₃′) + … + ( h_n-1′, h_n′) .

Заметим, что для любого угла (h,^ k): . Угол пары ( ^, ) есть угол развернутый, который обозначим  (перечеркнутая буква омега), тогда (h^, k) + (k^, )  .

С уммируем внутренние и внешние углы n-угольника А₁, А₂, А₃ ,…, А_n как углы пар лучей. Их сумма будет иметь вид: (h₁^, h_n )+ + +…+ + (h_n^, h₁) + (h₁^, h₂) +…+ (h_n-1^, h_n).

Г руппируя соответствующим образом слагаемые, получаем:

((h_n, ^h₁) + (h₁^, )) + ((h₁^, h₂) +(h₂,^ ))+…+ ((h_n-1,^ h_n) + (h_n,^ h_n-1)).

Каждая скобка в этой сумме как сумма ориентированных углов представляет сумму смежных углов, а потому равна . Таким образом, сумма внутренних и внешних углов многоугольника равна  ◦ n . Но с другой стороны, по доказанному выше сумма внешних углов n-угольника есть нулевой угол. Таким образом, сумма внутренних углов n- угольника равна ◦n.

Если использовать вращения для нахождения суммы углов, то сумма двух развернутых углов равна углу нулевому, так как (h, h) + ( h, h) 

 ( h, h), а потому сумма внутренних углов n – угольника равна нулевому углу при n четном, или развернутому углу при n нечетном.

Замечание: в школьной практике, говоря о сумме тех или иных углов n –угольника, имеют в виду суммы их мер, а не углов, представляющих эти суммы.

При этом сумма внешних углов, как число, представляющее сумму мер внешних углов, будет равна 360^◦, если углы измеряются в градусах, а сумма внутренних углов окажется равной 180^◦(n-2). Вопрос лишь в том, представляют ли эти числа меры каких-либо углов как фигур геометрических или нет. Именно желание видеть аддитивную структуру углов такой же как и аддитивная структура чисел приводит к понятию об угле как объекте, не являющемся, в сущности, геометрической фигурой.

Понятие угловой меры должно существенно отличаться от меры отрезка в силу принципиальной разницы между аддитивной группой углов и аддитивной группой отрезков. Ради устранения этой разницы и вводятся

обобщенные понятии угла, например, обобщенный угол  (h, k) , где

g – внутренняя область  hk, как соответствующая часть плоскости,

n – кратность точек этой области (см., например, С.И.Бахвалов В.П.Иваницкая, Основания геометрии). В упрощенном виде этот трудно вообразимый объект трактуется как характеристика результата вращения подвижного луча относительно своего начала (движение спицы колеса при его вращении).Таким образом, при аккуратном и последовательном использовании понятия угла как соответствующей пары лучей, мера угла неизбежно окажется обладающей непривычными для нас свойствами, будет нарушено главное ее свойство, свойство аддитивности:

(+ ) =() +  (). Например, для прямого угла, который часто обозначают через d, (d)=0 : 4(d)= (4d)= ( )=0.

Лекция 6