Виды движений плоскости

Если на плоскости фиксирована некоторая прямая а, то для точек плоскости можно определить отношение, которое называют симметрией относительно прямой а: точка А′ симметрична точке А относительно а, если а является медиатриссой отрезка АА′. Пополнив это условие симметрии точек относительно прямой соглашением, что каждая точка прямой а симметрична самой себе, получаем возможность с помощью отношения симметрии задать отображение плоскости на себя, при котором всякой точке А плоскости соответствует точка А′, симметричная А относительно некоторой фиксированной прямой а. Такое отображение называют осевой симметрией в плоскости. Будем в дальнейшем обозначать это отображение σ_а. Ясно, что всякое σ_а является геометрическим преобразованием плоскости (двумерного пространства). Обратим внимание на то, что для всякой σ_а в плоскости существует бесконечное множество точек, каждая из которых соответствует сама себе. Такие точки называют двойными или неподвижными. Неподвижными точками плоскости для всякой осевой симметрии σ_а являются все точки прямой а, оси симметрии, и только эти точки плоскости. Осевые симметрии существуют, поскольку со всякой прямой а связано отношение симметрии для точек плоскости. В этом смысле можно говорить, что осевая симметрия σ_а однозначно определяется заданием прямой а, ее оси симметрии.

Очевидно и то, что осевая симметрия является движением плоскости, поскольку для любых точек А и В их образы А′ и В′ таковы, что А′В′  АВ.

Из того , что для любой точки А, если А А′, то А А, следует  _а◦ _а = 1.

Такие преобразования называют инволютивыми.

Поскольку осевая симметрия есть движение, произведение любого конечного числа осевых симметрий есть движение. Покажем теперь, что верно и обратное.

Теорема: Всякое движение плоскости можно представить произведением

осевых симметрий, причем для такого представления достаточно не более трех симметрий.

Возьмем три неколлинеарные точки А, В, С. Пусть их образами при данном движении δ являются А′, В′, С′ соответственно.

1. Если А=А′, В=В′ и С=С′, то согласно свойству 4 δ есть тождественное преобразование. В этом случае для любой прямой а σ_а ◦ σ_а = 1, а потому данное движение δ представимо произведением двух осевых симметрий, т.е. δ = σ_а ◦ σ_а.

2. Пусть δ ≠ 1, тогда из трех пар точек (А, А′), (В, В′) и (С, С′), по крайней мере, одна есть пара различных точек. Пусть А ≠ А′. Существует медиатриса отрезка АА′, которую обозначим а. σ_а отображает А → А′, В→ В₁ и С → С₁.

Может случиться:

1) В₁ = В′ и С₁ = С′, 2) В₁ = В′, но С₁ ≠ С′ и 3) В₁ ≠ В′ и С₁ ≠ С′

Рассмотрим последовательно эти три случая.

1). В₁ = В′ и С₁ = С′. В этом случае А А, В В и

С С. В силу свойства 4 в этом случае  = _а. Возьмем произвольную прямую b и соответствующую ей осевую симметрию _b.

 = _а ◦ 1 = _а◦ (_b ◦_b). Видим, что δ представлено произведением трех симметрий: _а◦ _b ◦_b.

Теорема для этого случая доказана.

2). В₁ = В′ , но С₁ ≠ С′ (рис.4). В этом случае прямая А′В′ – медиатрисса отрезка С₁С′, т.к. АС₁  АС и ВС₁  ВС. Поэтому С′ симметрична С₁

относительно прямой А′ В′. Обозначив прямую А′В′ буквой b, получаем:

(А, В, С) (А′, В′, С₁) (А′,В′,С′), т.е.

(А,В,С) (А′,В′,С′).

Согласно свойству 4  = _b◦ _а.

Как видим и в этом случае теорема доказана.

Рис.4

3). В₁ ≠ В′ и С₁ ≠ С′. В этом случае существует медиатрисса отрезка В₁ В′, которую обозначим через b (рис.5).

Рис.5

Осевая симметрия _b отображает А′ в А′, т.к. b проходит через А′

(А′ равноудалена от В₁ и В′), В₁ переходит в В′, а С₁ в С₂ .

Возможны два случая: С₂=С′ (левая часть рис.5) или С₂ ≠ С′ (правая часть рис.5). В первом случае имеем:

А А′ А′, В В₁ В′ и

С С₁ С′, что согласно свойству 4 означает: δ=σ_b ◦ σ_a.

Во втором случае существует медиатриса отрезка С₂С′, которую обозначаем с. В этом случае имеем:

А А′ А′ А′, т.к. А′ принадлежит и b и с.

В В₁ В′ В′, т.к. с есть прямая А′В′, т.е. В′с.

С С₁ С₂ С′, т.к. с - медиатриса отрезка С₂ С′.

Таким образом, А А′, В В′, С С′.

Согласно свойству 4 это означает, что  = _c ◦ _b ◦ _a.

Видим, что возможны два случая представления δ:

1. δ = σ_b ◦ σ_a, включая случай δ = σ_a ◦ σ_a;

2. δ = σ_c ◦ σ_b ◦ σ_a.

Таким образом, теорема доказана полностью.

Заметим, что теорема легко обобщается на случай пространств любой размерности. В частности, для трехмерного пространства δ представимо произведением плоскостных симметрий, причем возможны три случая таких представлений:

1. произведением двух симметрий,

2. произведением трех симметрий

3. произведением четырех симметрий.

Если обозначить плоскостную симметрию в виде , где

α – плоскость, относительно которой рассматриваются пары симметричных точек пространства, то эти случаи предстанут в виде:

1. δ = σ_ ◦ σ_ , включая совпадение β и α;

2. δ = σ_ ◦ σ_ ◦ σ_;

3. δ = σ_ ◦ σ_ ◦ σ_ ◦ σ _ .

Доказанная теорема позволяет классифицировать движения плоскости и перечислить все их возможные виды.

Сделаем обзор этой классификации для случая плоскости.

С точки зрения рассмотренного выше представления движений имеем два вида движений: движения, представимые произведениями двух осевых симметрий, и движения представимые произведениями трех осевых симметрий.

Рассмотрим первый вид: δ = σ_b ◦ σ_a. Прямые а и b могут быть параллельны, включая случай их совпадения, или прямые а и b пересекаются в некоторой точке.

Первый случай а║b.Если при этом а = b, то σ_b ◦ σ_a = 1.

Пусть а и b – различные прямые. Возьмем две различные точки М и N (рис.6) Так как ММ′ и NN′ перпендикулярны к а и b, то ММ′║N N′.

Рис.6

Докажем, что и М′N′║МN, методом «от противного». Допустим, что прямые МN и М′N′ пересекаются в некоторой точке L. Поведем через L прямую l

перпендикулярно к а и b. Тогда точка L может рассматриваться как точкa пересечения прямых МN и l или М′N′ и l.

Имеем: L = MN ∩ l M′N′ ∩ l = L

Иначе говоря, L L или L L₁ L.

Это означает, что а и b одновременно являются медиатрисами LL₁, что противоречит свойству медиатриссы, как серединного перпендикуляра отрезка. Противоречие оказалось следствием допущения «прямые MN и M′N′ пересекаются». Значит, его нужно отбросить, иначе говоря принять, что M′N′║MN.

Итак, рассматриваемый случай δ характеризуется двумя свойствами:

1. М′М ║ N′N и 2. M′N′║MN для любой пары точек (М, N) плоскости. Такое преобразование называют параллельным переносом. Итак, параллельным переносом называют геометрическое преобразование пространства, при котором любой паре точек (М, N) соответствует такая пара точек (М′, N′), что: 1. ММ′║ NN′ и 2. М′N′║МN.

Если для некоторой точки А указан ее образ А, то для любой точки пространства ее образ может быть найден конструктивно, построением образа точки циркулем и линейкой.

Итак, пусть А → А′, М – произвольная точка пространства. Рассмотрим два случая положения М относительно прямой АА′.

1.М  АА′ (рис.7). Так как для М′ ММ′║ АА′ и А′М′║АМ, то М′ – точка

пересечения прямых параллельных АА′ и АМ и проходящих соответственно через точки М и А′. Отсюда основные шаги построения

точки М:

1.построение прямой m, проходящей через М параллельно АА′;

Рис.7

2. построение прямой а′, проходящей через А′ параллельно АМ.

2. М  АА′(рис.8). Построение М′ такое же как и в первом случае, повторенное дважды:

Рис.8

сначала строится N′ для точки N, не лежащей на АА′, затем строится М′ с опорой на пару точек (N, N′).

В этом случае лишь возникает естественный вопрос: не зависит ли при этом конечный результат построения, точка М′, от выбора точки N? Ответ положительный: не зависит.

Основанием этого результата является теорема Дезарга. Представим это на рисунке (рис.9)

Рис.9

1.∆ АNР и ∆ А′N′Р′ – в условиях теоремы Дезарга. Поэтому N′Р′ ║ NР .

2. ∆ МNР и ∆ М′N′Р′ - в условиях теоремы Дезарга, а потому МР ║ М′Р′.

При построении образа точки М с опорой на пару (Р, Р′) через Р′ проводится прямая, параллельная РМ. Но таковой по доказанному будет именно прямая Р′М′.

Именно возможность построения образа любой точки пространства при условии задания пары соответствующих друг другу точек (А, А′) и имеют в виду говоря, что параллельный перенос определяется заданием пары соответствующих друг другу точек.

Отметим еще, что множество параллельных переносов пространства (любой размерности) включая 1, с операцией умножения (как их последовательного выполнения) представляет группу и при том коммутативную (см.рис.10). Стрелки на рисунке указывают два способа последовательного выполнения двух параллельных переносов.

А

А´´

А´₁

А Будем параллельные переносы обозначать греческой буквой τ (тау) при необходимости с индексами. Группу параллельных переносов обозначим латинской буквой T.

Рис. 10

Рассмотрим второй случай а ∩ b = О .

В этом случае, прежде всего, можно отметить, что точка О – двойная (неподвижная) точка преобразования σ_b ◦ σ_a . Покажем, что никаких других двойных точек в плоскости прямых а и b нет. Допустим противное, некоторая точка Р, отличная от О – двойная, т.е. Р Р.Положим, что Р  а, тогда Р Р₁ и Р ≠ Р₁ Р₁ Р, иначе не имело бы места сделанное допущение. Для пары (Р, Р₁) а и b – медиатриссы отрезка РР₁. Получили противоречие: с одной стороны, известно, что у отрезка медиатриса единственна, а в силу сделанного допущения отрезок обладает двумя медиатрисами. Это заставляет нас отбросить допущение, т.е. нет двойных точек, отличных от О и не принадлежащих а. Точно также получается, что среди не принадлежащих b так же нет двойных точек относительно рассматриваемого преобразования.

Предположим теперь, что Р  а (или b), но отлична от О.

Тогда Р Р Р′, причем Р  Р′, т.к. Р  b, если Р  а. Таким образом, Р в этом случае не двойная точка. Итак, О – единственная неподвижная точка плоскости относительно движения σ_b ◦ σ_a.

Отсюда следует, что для любой точки М, отличной от О, М′ такова, что

ОМ′  ОМ. Второе: для любой пары точек (М, N) пара соответствующих точек (М′, N′) такова, что МОМ′  NОN′, т.к. каждый из них конгруэнтен удвоенному углу между прямыми а и b (рис.11).

Заметим, что доказательство этого утверждения должно использовать операцию сложения углов. Наглядно ясная процедура формализуется весьма непросто.

Рис.11

Таким образом, в наглядном смысле каждая точка плоскости, поворачивается относительно точки О на один и тот же угол, равный удвоенному углу между прямыми а и b. Именно поэтому для названия этого преобразования плоскости используется термин «вращение».

Итак, σ_b ◦ σ_a при условии пересечения прямых а и b является вращением плоскости с центром О (точка пересечения прямых а и b). Обозначать вращение плоскости будем греческой буквой  (омега) с нижним индексом, обозначающим центр вращения. Вращение это движение плоскости с единственной инвариантной точкой, называемой центром вращения.

Обратимся теперь ко второму случаю, когда движение представляется произведением трех осевых симметрий: δ = σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a . Делим этот случай на два, полагая в основу условие принадлежности трех прямых одному пучку прямых. Итак, первый случай: прямые а , b и с принадлежат одному пучку, т.е. либо все три параллельны, либо все три проходят через одну точку.

Пусть а ║ b║ с. Если а = b или b = с, то σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a = σ_с ◦ 1 = σ_с, либо

σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a = 1 ◦ σ_а = σ_{a .} Таким образом, в этих случаях произведение трех симметрий есть симметрия. Рассматриваем общий случай, когда а  b и b  с. Если прямая l не перпендикулярна и не параллельна осям симметрии, то ее образ l′ не параллелен l. Иначе говоря l и l′ пересекаются.

Рис.12

Обозначим точку пересечения буквой L (рис.12).

l l₁ l₂ l′ , l║l_{2 ,} l₂ не параллельна l′. Поэтому l и l′ не параллельны.

Проводим через точку L прямую n, перпендикулярно а, b и с.

n n n n , т.е. n n, l l′.

Отсюда L = n ∩ l n ∩ l′ = L. Таким образом, L – неподвижная точка преобразования σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a..

Прямая р, проходящая через L параллельно а, b и с, отображается на себя, так как ее образ должен проходить через точку L (она неподвижна) и при каждом отражении в прямых а, b и с переходит в прямую им параллельную. Используя неподвижность р таким же способом, что и для точки L, мы докажем, что любая точка этой прямой неподвижна при движении σ_с◦σ_b◦σ_a. т.е. р – инвариантная прямая инвариантных точек рассматриваемого движения. Других неподвижных точек кроме указанных выше при σ_с◦σ_b◦σ_a на плоскости нет, иначе движение было бы тождественным преобразованием. Движением с такими свойствами может быть лишь осевая симметрия, в рассмотренном выше случае с осью р, таким образом σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a = σ_р. Заметим, что проведенное выше доказательство существования неподвижной прямой р, каждая точка которой неподвижна, дает способ нахождения прямой р.

Итак, в первом случае, когда а║b║с, σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a – осевая симметрия.

Второй случай: а, b и с пересекаются в точке S, причем а  b , b  c.

Через произвольную точку А прямой а (отличную от S) проведем прямую l перпендикулярно к а. Пусть l′ – образ l в рассматриваемом движении σ_с◦σ_b◦σ_a.

Возможны два случая: а) l ║ l′ и 2) l ∩ l′ в некоторой точке L. Рассмотрим эти случаи последовательно.

а) l ║ l′ (рис.13)

а

Рис.13

В этом случае а а, т.к. из ортогональности прямых а и l и того, что l l′ , следует что образ прямой а ортогонален к l′. Но образ а проходит еще и через S. Получаем две прямые, проходящие через одну точку и перпендикулярные к параллельным прямым. Это возможно лишь при условии их совпадения.

Для прямых l и l′, в свою очередь, может быть одно из двух: l = l′ или

l и l′ различны.

В первом случае А= l ∩ а l ∩ а =А, т.е. каждая точка прямой а неподвижная для движения σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a.

Это означает, что оно есть симметрия σ_a: σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a = σ_a.

Отсюда σ_с ◦ σ_b = 1. Но рассматривается случай, когда b  с.

Значит, в рассматриваемом случае l не может совпадать с l′

Итак, l  l′. Проведем через S прямую, параллельную l и l′ обозначим ее буквой р (на рисунке - штриховая линия). Нетрудно доказать, что р р (рекомендуем это сделать читателю). Поэтому произвольная точка Р прямой р отображается σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a в точку принадлежащую прямой р.

Пусть Р Р₁ . Движение σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a отобразит точку Р либо в Р₁, либо в себя (точку Р). Допустим, что имеет место первое.

Тогда (S, А, Р) (S, А′, Р₁). С другой стороны, очевидно, что

(S, А, Р) ( S, А′, Р₁). При этом S, А, Р – точки общего положения. Тогда в силу свойства 4 σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a = σ_р ◦ σ_a. Отсюда после умножения обеих частей равенства на σ_a получаем σ_с ◦ σ_b = σ_р , что невозможно: для движения из правой части равенства есть только одна неподвижная точка плоскости (точка S), а для σ_р таких точек бесконечно много (каждая точка прямой р). Приходится отбросить допущение о том, что Р отображается σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a в Р₁.

Остается одна возможность: Р отображается в Р.

Вывод: _c ◦ _b ◦ _a оставляет каждую точку Р прямой р на месте, что и

означает: _c ◦ _b ◦ _a = _р

Случай b): прямые а, b и с пересекаются в точке S (рис.14).

a

l

L₂

A

c

L

p

b

a

A

L₁

l

S

Рис. 14

Пусть l ∩ l = L, р – медиатрисса отрезка АА′, , где А′ – образ А при движении σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a . В силу этого р проходит через S. В рассматриваемом случае а а′ и а′ не совпадает с а, но

а′ l′ , т.к. по условию а  l. При σ_р А  А′, S  S или SA  SA′ . Значит а  а′. Это влечет за собой l  l′.

Если допустить, что l и р не пересекаются, то не пересекаются и их образы при σ_р l и р, а значит l║l′ , что противоречит условию рассматриваемого случая. Таким образом, l ∩ р l ∩ р. Значит, l, l′ и р проходят через одну точку. Таковой для l и l′ по условию является точка L. Значит, L  р, а потому прямая р совпадает с прямой SL. Пусть L₁ симметрична L относительно а, тогда L₁ l , т.к. l l. Пусть L₁ L₂, тогда L₂  l′, т.к. при σ_р ll′.

Так как а – медиатрисса отрезка LL₁, то а′- медиатрисса отрезка LL₂.

σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a переводит точку L в точку L′, которая лежит на l′, так как Ll по условию и l отображается этим движением в l′.C другой стороны

А А′ .Значит, АL  A′L′, но и A′L  A′L₂  AL. Следовательно, L′ есть одна из точек L или L₂. Иначе говоря, σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a отображает L либо в себя, либо в L₂.

Если допустить, что L L₂, то (А, S, L) двумя движениями σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a и σ_р ◦ σ_а отображается в одну и ту же тройку точек (А′, S, L₂), а потому σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a = σ_р ◦ σ_а. Тогда σ_с ◦ σ_b = σ_р, что, как отмечалось ранее, невозможно. Полученное противоречие и заставляет отбросить допущение. Остается только L L.

На прямой р две неподвижные точки относительно σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a , а потому и каждая точка прямой р неподвижная. Поскольку при этом

σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a  1, то σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a = σ_р.

Общий вывод: если а, b и с – прямые одного пучка, то σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a - осевая симметрия.

Р ассматриваем теперь случай, когда а, b и с не принадлежат одному пучку. В этом случае хотя бы две из трех прямых не параллельны, а потому либо а ║ b , либо b ║ c. Пусть а ∩ b = А. Через А проводим прямую d перпендикулярно к с (рис.15). Существует и притом единственная прямая g такая, что σ_d ◦ σ_g = σ_b ◦ σ_а. Для этого находим

σ_d ◦ σ_b ◦ σ_a, которое будет осевой симметрией, т.к. а, b и d проходят через одну точку. Ее ось и обозначаем через g: σ_g = σ_d ◦ σ_b ◦ σ_a отсюда

σ_d ◦ σ_g = σ_b ◦ σ_{a .} Тогда σ_с ◦ σ_b ◦ σ_a = =σ_с ◦ σ_d ◦ σ_g.

Рассмотрим σ_с ◦ σ_d . Оси симметрий σ_с и σ_d взаимно перпендикулярны.

Рис.15

Через точку пересечения прямых c и d проведем прямую h перпендикулярно g и прямую q перпендикулярно h. _c ◦ _d = _h◦ _q. Это следует из того, что при условии взаимной перпендикулярности осей симметрии, всякая точка плоскости отображается в точку, симметричную первой относительно точки пересечения осей симметрии. Таким образом: _c ◦ _b ◦ _a = _c ◦ _d ◦ _g = _h ◦ _q ◦ _g.

В последнем произведении симметрий оси соседних симметрий _g и _q параллельны, а потому _q ◦ _g = . Отсюда _c ◦ _b ◦ _а = _h◦ , причем ось h параллельна направлению переноса , то есть прямая h – инвариантная прямая .

Вывод: Всякая точка плоскости подвергается параллельному переносу вдоль прямой h с последующим отражением в прямой h

(см. рис.16).

Рис.16

Такое преобразование плоскости называют скользящей симметрией. Обратим внимание на то, что если _h◦  – скользящая симметрия, то сомножители коммутируют, то есть _h ◦  =  ◦ _h.

Итак, в последнем случае _c ◦ _b ◦ _а – скользящая симметрия.

Итог: Произвольное движение плоскости может быть только одним из

четырех видов: осевая симметрия, параллельный перенос, вращение,

скользящая симметрия.

Такая классификация осуществляется, если тождественное преобразование плоскости причисляется к параллельным переносам. Часто произведение двух осевых симметрий с взаимно перпендикулярными осями выделяют в особый вид движений, что оправдано тем его особым свойством, которое можно выразить условием: всякая точка плоскости отображается в точку, ей симметричную относительно точки пересечения осей симметрий. Такое преобразование называют центральной симметрией и обозначают _А, _В, _С и т.п., где нижний индекс А, В, С и т.д. есть обозначение центра симметрии, точки пересечения осей соответствующих осевых симметрий.

Можно еще отметить, что сама осевая симметрия _а может быть отнесена к скользящим симметриям, если 1 относить к параллельным переносам (_а = _а ◦ 1).

Теперь можно сделать и положительное заключение о существовании движений плоскости: так как осевая симметрия существует для всякой прямой а, то существуют и параллельные переносы, вращения и скользящие симметрии, иначе говоря, существуют движения всех возможных видов.

Выше был указан способ конструктивного задания параллельного переноса. Обратимся к вращениям и скользящим симметриям. Кроме естественного способа задавать вращения путем задания двух осевых симметрий с пересекающимися осями, можно указать еще один общий способ: указываем 3 неколлинеарные точки О, А, А с условием ОА  ОА, из которых О принимаем за центр вращения, а А за образ точки А. Принимая ОА за ось первой симметрии, а медиатрису b отрезка АА за ось второй осевой симметрии, можем образ всякой точки М находить путем последовательного отражения точки М в прямых ОА и b. Заметим что выбор оси симметрии достаточно произволен. Можно выбрать ось первой симметрии произвольно, ось второй определяется однозначно. Можно ось второй симметрии выбрать произвольно, тогда ось первой определится однозначно (см. рис.17).

1. b)

Рис.17

При построении образа произвольной точки М, можно воспользоваться фундаментальным свойством вращения: М такова, что ОМ  ОМ и

МОМ  АОА и одинаково с АОА ориентирован. При этом угол ориентирован, если его стороны перенумерованы: ОА – первая сторона и ОА – вторая сторона, тогда и ОМ – первая сторона, а ОМ – вторая сторона МОМ. Об ориентации как отношении на множестве фигур будем говорить позже. В этом случае построение сводится к построению угла конгруэнтного данному.

Для задания скользящей симметрии общего вида (не являющейся осевой симметрией) нужно будет указать пару точек, определяющих параллельный перенос и ось симметрии, которая должна быть параллельна прямой, соединяющей данную пару точек.

В заключении отметим:

1) Всякое движение, которое можно представить произведением двух осевых симметрий, нельзя представить произведением трех симметрий и наоборот.

2) Всякое произведение четного числа осевых симметрий может быть представлено произведением двух осевых симметрий.

Всякое произведение нечетного числа осевых симметрий можно представить произведением трех симметрий.

Докажем эти утверждения.

Первое утверждение доказываем, сравнивая основные свойства движения

_{b } _a и движения _{c }_{d }_e.

Случай 1: _{b } _a =1, b = а.

Для _{b } _a все точки плоскости неподвижны.

 _{c }_{d }_e  1, не все точки плоскости неподвижны.

_{b }_a ≠ _{c }_{d }_e

Случай 2: b ≠ а

а) b ║ а. Для _{b } _a нет неподвижных точек, но бесконечно много инвариантных прямых.

Для _{c }_{d }_e : есть либо неподвижная прямая, каждая точка которой неподвижна, либо нет неподвижных точек, но есть единственная инвариантная прямая. Таким образом и в первом и во втором случаях

_{b } _a ≠  _{c }_{d }_e.

b) b ∩ а = О

Для _{b } _a О есть единственная неподвижная точка.

Для  _{c }_{d }_e повторяется то, что отмечено в пункте а).

И в этом случае _{b } _a ≠  _{c }_{d }_e.

Вывод: _{b } _a ≠  _{c }_{d }_e.

Для доказательства второго утверждения покажем, что произведение трех осевых симметрий можно заменить произведением осевой и центральной симметрии.

1. Произведение трех симметрий есть осевая симметрия с осью а. Берем на а точку А и проводим через нее прямую b перпендикулярную к а. Произвольная точка М отображается _b в точку М₁, а М₁ – _A в точку М′.

Точка М′ симметрична М относительно а (см.рис.18)

b

М₁ М

А а

М

Рис.18

Это и означает, что _a = _А◦_b. Точно так же получается и _a = _b ◦ _А. Алгебраически доказательство выглядит так: _А◦_b=(_a ◦ _b) ◦ _b=

= _a ◦(_b ◦ _b)= _a.

Точно также и для _b ◦ _А =  _b ◦ (_b ◦ _a) = (_b ◦ _b) ◦ _a = _а.

2. Произведение трех симметрий – скользящая симметрия, т.е _а ◦

(или  ◦ _а ). Представляем  произведением симметрий _{b } _{c .} При этом

1) b ║ c,

2) а  b и а  с (рис.19).

С В

а

с b

Рис.19

_{а }  = _{а } (_{b } _c) = (_{а } _b) _  _c = _{в }  _c, где В = а ∩ b

или

 _ _а = (_{b }  _c) _ _а = _{b } (_{c } _а ) = _{b } _С.

Переходим к доказательству утверждения 2)

1. Покажем, что представляется произведением двух осевых симметрий. Заменяем произведением _{b }_А. _А представляем _{p } _q c условием принадлежности р пучку прямых, который определяется прямыми а₄ и b. _{b }  _А = _{b } _{р }  _q .

Таким образом =( _  _b ◦ _р) _  _q = _{а }  _q ,

где _а = ◦ _{b }  _р (а₄, b и р принадлежат одному пучку). Если допустить, что утверждение верно для некоторого k, т.е.

= _{b } _а, то для следующего за k k+1 будем иметь

. По доказанному в первом шаге последнее есть произведение двух симметрий  _{c }  _d . В силу аксиомы математической индукции этот результат и означает: для любого четного числа осевых симметрий их произведение можно представить произведением двух осевых симметрий.

Вторая часть утверждения 2 доказывается с опорой на первый случай. В самом деле, если имеем , то это можно заменить

– три сомножителя.

Итак, для любого нечетного n (числа сомножителей).

Вывод: Множество всех движений плоскости распадается на два

непересекающихся подмножества: D⁺ – множество движений,

представимых произведениями двух осевых симметрий, D^- –

множество движений, представимых произведениями трех осевых

симметрий.

Если D – множество всех движений плоскости, то D = D⁺ D^- и

D⁺D^- = . D⁺ с операцией умножения представляет группу, D^- не замкнуто относительно операции умножения, а потому по этой операции группы не образует.

Элементы D⁺ будем называть движениями первого рода и обозначать ⁺. Элементы D^- называем движениями второго рода и обозначаем ^-.

С алгебраической точки зрения D⁺ есть нормальный делитель группы D

(   D и  ⁺  D⁺  ◦ ⁺ ◦ ^-1  D⁺).

D⁺ и D^- можно рассматривать как классы эквивалентности по некоторому бинарному отношению на D, связанному с понятием рода движения. На множестве классов эквивалентности можно определить операцию, превращающую его в группу:

D⁺ ◦ D⁺ = D⁺

D^- ◦ D⁺ = D^-

D^- ◦ D^- = D⁺

D⁺ ◦ D^- = D^-

Эта операция определяется на основе свойства операции умножения движений:

⁺ ◦ ⁺ = ⁺

⁺ ◦ ^- = ^-

^- ◦ ^- = ⁺

Группа D⁺,D^- есть фактор-группа группы D по нормальному делителю этой группы D⁺. Число элементов этой группы равно 2. Этот результат представляет собой свойство группы движений D, которое можно выразить так: группа D обладает нормальным делителем D⁺, фактор группа D∕ D⁺ по которому имеет порядок 2. Это алгебраическое свойство группы движений плоскости отражает в алгебраической форме фундаментальное свойство евклидовой плоскости, которое в наглядном смысле может быть интерпретировано как свойство ее двусторонности. В отличие от евклидовой плоскости, например, проективная плоскость таким свойством не обладает и в соответствии с ее моделью (лист Мебиуса) может быть названа односторонней.

Лекция 3