Министерство образования и науки РФ

Московский Государственный Областной Университет

Кафедра высшей алгебры,

элементарной математики и

методики преподавания математики

Федяев О.И.

Элементарная геометрия

Часть II

Лекции по специальному курсу

Элементарной математики

учебное пособие

для студентов педагогических вузов

Москва-2007

УДК… Печатается по решению кафедры высшей алгебры,

элементарной математики и методики преподавания

математики и редакционно-издательского совета МГОУ

Федяев О.И. Элементарная геометрия. Часть II Лекции по специальному курсу элементарной математики.

Учебное пособие для студентов педагогических вузов.

Материал учебного пособия разбит на части, называемые лекциями. Первые пять из них содержат подробную разработку теории подобий и движений евклидова пространства, а также исследование места и значения геометрических преобразований в геометрической системе Евклида. Достаточно подробно представлены примеры базовых геометрических понятий в свете свойств групп преобразований евклидова пространства. Шестая лекция посвящена теории геометрических построений, в частности, проблеме разрешимости конструктивной задачи циркулем и линейкой. Заключительная седьмая лекция посвящена общему обзору основных принципиально различных аксиоматических систем геометрии Евклида.

Научный редактор: проф. Рассудовская М.М.

Рецензенты: Птицына И.В. доц. к.ф.– м.н.

Куланин Е.Д. доц. к.ф. – м.н.

Предисловие

Одним из фундаментальных понятий геометрии является понятие о геометрическом преобразовании. Еще в ХIХ веке Ф.Клейн в своей вступительной лекции на должность профессора Гётингенского университета впервые достаточно четко определил роль геометрических преобразований, как, понятия, позволяющего структурировать геометрические системы на базе групп геометрических преобразований. С семидесятых годов двадцатого века элементы теории геометрических преобразований евклидова пространства становятся неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Более того, ставится задача максимально обеспечить связь этой теории с традиционным материалом евклидовой геометрии, представленном в школьном курсе теориями равенства и подобия основных геометрических фигур, а так же элементами теории измерения величин. С одной стороны, перед творчески работающим учителем открывается большое поле для проявления самостоятельной творческой педагогической деятельности, а с другой, для ее результативности требуются глубокие знания в области не только теории геометрических преобразований, но и отчетливое понимание их роли, места и значения, прежде всего, в той геометрической системе, элементы которой составляют содержательную часть школьного курса математики. Именно эти две задачи в отношении теории движений и подобий пространства составляют цель первых пяти лекций настоящего пособия. При этом используемые методы решения поставленных задач иллюстрируют связь основных алгебраических понятий с содержательными фактами евклидовой геометрии. Шестая лекция настоящего пособия посвящена теории геометрических построений и, прежде всего, вопросу разрешимости конструктивной задачи циркулем и линейкой, который в полном объеме решается лишь при использовании алгебраических методов.

Заключительная лекция содержит три принципиально разных системы аксиом так называемой евклидовой геометрии, которые связываются с именами Д.Гильберта, Г.Вейля и Ф.Бахмана.

Лекция 1