Сложение гармонических колебаний, происходящих по однойпрямой с одинаковой частотой
Пусть имеются два гармонических колебания с одинаковой частотой:
1)
2)
Графическое сложение этих колебаний показано на рисунке:
Т.е. результирующий график (3) получается при сложении смещений стой же частотой, что и у исходных колебаний.
2) Аналитическое сложение амплитуд сложных колебаний.
Результирующая амплитуда равна диагонали параллелограмма, построенного на векторах амплитуд исходных колебаний.
и
-
амплитуда двухгармонических колебаний.
-
результирующая амплитуда,
- угол между
и
Из
формул тригонометрии получаем:
При
;
при
Сложение гармонических колебаний с кратными частотами
Если складываются два гармонических колебания различной частоты, то получается сложное колебание, период которого равен большему из периодов складывающихся колебаний. Возможен обратный процесс, который определяется теоремой Фурье:
Любое сложное колебание может быть представлено как сумма простых гармонических колебаний, периоды и частоты которых кратны периоду и частоте сложного колебания.
Совокупность простых колебаний, на которые раскладывается данное сложное колебание, называется гармоническим спектром. Обычно спектр изображается в виде графика. Если колебаний немного, то спектр линейчатый, а если много, то спектр сплошной.
10. Затухающие колебания
В реальных процессах энергия колебаний расходуется на преодоление трения.
Если колебание предоставлено самому себе, то его амплитуда постепенно уменьшается и в результате колебания затухают.
При этом действуют две силы – сила упругости и сила трения, в сумме равные ma:
,
где
- сила трения.
В дифференциальной форме:
,
где
- коэффициент затухания.
Амплитуда
изменяется по экспоненциальному закону:
-
отношение соседних амплитуд, отстающих
на один период называется декремент
затухающих колебаний (b).
– логарифмический
декремент затухания, для которого:
,
где
- период
Решением исходного уравнения является:
,
здесь
-
основание натурального логарифма;
- максимальная амплитуда.
Примеры затухающих колебаний: антенна, колебание моста, струны, качели и т.д.
11. Вынужденные колебания
Вынужденные колебания это колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы, которая тоже изменяется по синусоидальному закону:
Внешняя
сила, вызывающая и поддерживающая
колебания называется вынуждающей силой
(
).
Здесь:
- циклическая частота;
- максимальное значение вынуждающей
силы.
В дифференциальной форме уравнение вынужденных колебаний имеет вид:
где
- амплитуда колебаний для тела массой m.
- циклическая частота собственных колебаний.
Примеры вынужденных колебаний: раскачивание качелей, сбор ягод винограда методом встряхивания, в работе решета веялки и ножа жнейки.
12. Механический резонанс
Если частота вынужденных колебаний приближается к частоте собственных колебаний, то амплитуда резко возрастает теоретически до бесконечности. В действительности из-за наличия трения она является величиной конечной, но максимальной в соответствии с графиком:
,
Явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частот вынужденных и собственных колебаний называют механическим резонансом.
Резонанс играет большую роль в самых разнообразных явлениях. В одних – полезную, в других – вредную.
Примеры резонанса:
Обрушение моста при резонансном движении по нему.
«Танцующий» мост в Волгограде (2010г.).
Поезд должен проезжать мост или достаточно медленно или с большой скоростью, чтобы не спровоцировать резонанс.