3 Кинетическая энергия вращательного движения

Для элементарной массы кинетическая энергия равна:

Для всего тела кинетическая энергия находится суммированием кинетических энергий элементарных масс, из которых состоит тело:

где - кинетическая энергия тела,

- момент инерции тела,

- угловая скорость.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг своей оси, равна половине произведения момента инерции тела на квадрат угловой скорости. Полная кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

4. Основной закон динамики вращательного движения

Из опытов было получено, что при вращательном движении угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции. Используем уравнение касательного ускорения:

если умножить обе стороны уравнения на - , то получим

·J

То есть для элементарной массы:

Проведя суммирование по всем элементарным массам, получаем для тела:

Момент силы, приложенный к телу, равен произведению момента инерции на угловое ускорение.

Движение тела может происходить не только вокруг неподвижной оси, но и вокруг незакреплённой оси (свободной оси). Например, движение акробата при исполнении сальто. Для однородных тел свободные оси полностью геометрически симметричны, например летящий мяч, ось волчка, земная ось. Это главные оси симметрии. У них сохраняется пространственное направление без закрепления.

5. Закон изменения момента импульса

По основному закону динамики вращения:

,

так как

или .

Моментом импульса называется произведение момента инерции тела на его угловую скорость:

.

Произведение момента силы на время называется импульсом момента силы

.

Изменение момента импульса тела за некоторый промежуток времени равно импульсу момента силы (за то же время).

Закон изменения момента импульса тела аналогичен закону изменения импульса.

Все вектора - импульс момента ,

- момента импульса , - вращающий момент

– приложены к центру вращения и направлены по оси вращения в соответствии с правилом правого винта.

6. Закон сохранения момента импульса

Аналогично закону сохранения импульса для поступательного движения выполняется закон сохранения момента импульса при вращательном движении. В изолированной системе сумма моментов импульсов всех тел – величина постоянная:

,

где - момент импульса;

- момент инерции;

- угловая скорость.

^Или:

То есть:

Этот закон обнаруживается во многих явлениях природы и используется в технике. Вращающиеся с большой скоростью массы, сохраняют вектор момента импульса постоянным, то есть сохраняют неизменной ось своего вращения. На этом основана устойчивость положения земной оси, продольной оси летящего снаряда или пули, вертикальная устойчивость велосипеда, устойчивость гироскопа (прибор, заменяющий компас на самолётах). Гимнаст, выполняющий сальто в начальной фазе сгибает колени, прижимает к груди, тем самым уменьшается радиус вращения и момент инерции тела, скорость вращения при этом увеличивается; в конце сальто он разгибается, тем самым увеличивается радиус вращения и момент инерции тела, а скорость вращения уменьшается. Аналогичная ситуация у конькобежца: во время вращения он прижимает руки к туловищу, тем самым уменьшает радиус вращения и момент инерции тела, но увеличивается скорость вращения. В конце вращения всё наоборот: руки разводят, и скорость вращения уменьшается до остановки конькобежца. Демонстрация на опыте этого явления производится с помощью так называемой «скамьи Жуковского».