Лекция 3

ЛЕКЦИЯ 3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СХЕМЫ

3.1. Принцип эквивалентности

Один из методов анализа систем заключается в сопоставлении системы и эквивалентной электрической или электронной схемы, т.е. электрической цепи. Такое сопоставление делается для наглядности и упрощения задачи моделирования.

Пусть стимул x(t) вызывает в системе реакцию y(t), а входной сигнал U_вх(t) вызывает в электрической цепи выходной сигнал U_вых(t). Электрическая схема будет эквивалентна системе, если U_вых и U_вх связаны между собой такими же динамическими уравнениями, что и реакция y(t) и стимул x(t). Тогда и все зависимости y = f(x) и U_вых = f (U_вх) будут полностью совпадать. При этом x и y может измеряться в одних величинах (рублях, штуках), а U_вх и U_вых в других (вольтах, амперах).

В понятие электрических величин вкладывают более обобщенный смысл. Например, ток можно трактовать как любое перемещение, ёмкость – как любой элемент, где запасается энергия или ресурсы и т.д. Тогда эквивалентная электрическая схема будет представлять собой графическое изображение системы с помощью специальных символов и даже графическое изображение алгоритма решения, так как составить по электрической схеме динамические уравнения  задача несложная.

Потенциал и Напряжение

Потенциал - любая величина, связанная с каким-то состоянием в точке: электрический потенциал, потенциальная энергия, давление жидкости, механическое напряжение, температура, скорость тела, имеющийся запас товаров или денежной массы, популяция биологического вида.

При анализе электрических схем потенциал в какой-то одной точке принимают равным нулю («заземляют» схему), а под потенциалом понимают разность потенциалов между потенциалом в этой точке и «землёй».

Напряжение между точками U₁₂ = ₁ - ₂ - разность потенциалов в этих точках: разность давления, разность температур, разность запасов товара или денег.

Напряжение  скалярная величина, однако, напряжению приписывается направление. Например, U₁₂ = ₁₂ имеет направление от точки 1 к точке 2.

Контурное уравнение U_i = 0 – алгебраическая сумма (с учётом знаков) напряжений по замкнутому контуру равна нулю. Правило составления контурного уравнения: выбираем направление обхода контура, если направление обхода совпадает с направлением напряжения, берём слагаемое с плюсом, если не совпадет – с минусом.

Контурное уравнение более известно в виде второго уравнения Кирхгофа:  E_i =  I_iR_i -сумма ЭДС равна сумме падений напряжений. Необходимо также помнить, что ЭДС это работа сторонних сил против действия электрических сил, поэтому она противоположна по знаку разности потенциалов (и как следствие оказывается в другой части уравнения).

Ток

Ток это величина, характеризующая перемещение через поперечное сечение проводника в единицу времени: электрический ток (заряд, проходящий по сечению проводника в единицу времени), поток жидкости, теплопередача, ускорение (изменение скорости в единицу времени), поток товаров или денежной массы из одной точки в другую.

Узловое уравнение I_i = 0 - алгебраическая сумма токов в узле (в точке) равна нулю, или сумма входящих токов равна сумме выходящих токов.

Например, I₁ + I₂ = I₃ + I₄ или I₁ + I₂ - I₃ - I₄ = 0. Входящим токам приписывается знак «плюс», а выходящим – «минус» или наоборот.

Токи и напряжения могут менять направления в зависимости от времени, но для правильной записи даже переменных токов мы должны учитывать их выбранные (условные) направления. Тогда I < 0 будет означать, что I течёт в направлении, противоположном выбранному, U₁₂<0 будет означать, что U₂>U₁.

3.2. Пассивные элементы цепи

Пусть между точками 1 и 2 действует напряжение U=U₁-U₂ и протекает ток I:

Рассмотрим три самых простых и типичных случая:

где k – постоянный коэффициент.

Этим трём случаям в электрических схемах соответствуют три элемента цепи: сопротивление, ёмкость, индуктивность.

Сопротивление

Пусть I = gU =U/R, где g – проводимость, R – сопротивление.

Если R0, I – проходит большой поток, «короткое замыкание».

Если R, I0 – поток практически не пойдёт, «разрыв цепи».

Сопротивление R – электрическое сопротивление, аналог вязкому трению, расходу товара или денег при прохождении через какой-нибудь объект.

Следует обратить внимание на знаки. Если направление напряжения и тока выбрано от точки 1 до точки 2, то есть U₁₂ = ₁ - ₂, и ток течет от точки 1 к точке 2, то I=U/R, а если напряжение и ток имеют противоположные направления, то I= U/R.

Емкость

Пусть I=C dU/dt, где С  характеристика элемента, запасающего потенциальную энергию (товар, деньги): электрическая ёмкость конденсатора, вместимость сосуда, теплоёмкостью, масса или момент инерции механической системы, место запаса (конденсации) денег или товара.

Из формулы I = C dU/dt следует, что ток протекает, если происходит расход запасённых средств (изменения разности потенциалов). С другой стороны, поток I влечёт за собой накопление или расход запасов dU/dt.

Запас накапливается прямо пропорционально потоку I и времени протекания тока .

При пользовании формулами необходимо быть осторожным со знаками.

Если направления напряжения и тока выбраны иначе, то в формулах могут меняться знаки.

Свойство напряжения на конденсаторе: U_c не может измениться скачком U_c(0) = U_c(0+). Иначе это бы вызвало бесконечный ток. Действительно, запасы не могут моментально исчезнуть или появиться. Это условие используется в качестве начальных условий при решении динамических уравнений.

Индуктивность

Пусть

Коэффициент L  характеризует инерционность системы, т.е. запасённую кинетическую энергию: электрическая индуктивность, инерционность массы тела или жидкости, величина, характеризующая задержку в прохождении товаров или денег.

При условии, что направления тока и напряжения совпадают:

Свойства тока через индуктивность:

ток не меняется скачком i_L(0) = i_L(0+). Поданное на элемент напряжение не может моментально вызвать ток I вследствие инерционных процессов. Например, движущуюся массу нельзя моментально остановить, так как потребовалась бы бесконечная сила и бесконечная энергия. Это условие также используется в качестве начальных условий при решении динамических уравнений.

Диод

Диод – нелинейный элемент. При анализе линейных систем рассматривают два случая.

Если U₁>U₂, через диод протекает ток I. Считают, что точки 1, 2 замкнуты “накоротко”, и диод заменяется обычным проводником, имеющим сопротивление R=0.

Если U₁<U₂, то точки 1 и 2 разомкнуты, I=0, просто «разрыв цепи».

В результате такого подхода нелинейность «убирается».

3.3. Динамические уравнения электрической цепи

Имеется однозначное соответствие между системой, динамическими уравнениями и эквивалентными схемами.

Системе можно подобрать несколько различных эквивалентных электрических схем, но они будут в свою очередь эквивалентны между собой.

Методы составления уравнений электрических схем.

1. Контурные уравнения. Выбирается любой замкнутый контур и записывается уравнение U_i = 0 с учётом знаков. Зная связи U и I на отдельных элементах, можно перейти к I. Число контурных уравнений равно числу элементарных контуров в схеме.

2. Узловые уравнения. Выбирается любой узел (точка) и записывается уравнение I_i = 0 с учётом знаков. Зная связи U и I на отдельных элементах, можно перейти к U. Число узловых уравнений на единицу меньше числа узлов в схеме.

3. Уравнения состояния. Составляются из контурных или узловых уравнений, но в качестве переменных должны быть напряжения на конденсаторах U_C и токи через индуктивности I_L. Тогда для них очень просто записываются начальные условия U_C(0+)=U_C(0-), i_L(0+)=i_L(0-), так как U_C и I_L не меняются скачком.

При составлении уравнений необходимо помнить простые формулы. Пусть между точками 1 и 2 включен пассивный элемент (сопротивление, индуктивность или емкость), пусть ток I – имеет направление от точки 1 к точки 2, а напряжение U = U₁-U₂, тогда в (зависимости от того элемента, который включен в цепь)

Рассмотрим простой пример:

E

Контурное уравнение: E = Ur + Uc = I*R + 1/C ∫I dt .

Уравнение неудобно использовать при скачкообразном изменении ЭДС, ток тоже изменится скачком. Трудно учесть начальные условия.

Уравнения состояния: перейдем к переменной Uc = 1/C ∫I dt , тогда I =C dUc/dt, подставляя в уравнение, получаем RC dUc/dt + Uc = E , условие Uc(0) не изменится, его можно использовать для задания начальных условий, например, Uc(0) = 0.

Узловые уравнения: рассмотрим два узла – точки с потенциалами E и Uc.

Получим одно уравнение Ir = Ic , или (E-Uc)/R = C dUc/dt .

Уравнения получились относительно Uc и совпало с уравнением состояния.

4