Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекция 2

.doc
Скачиваний:
15
Добавлен:
16.12.2014
Размер:
362.5 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 2. МОДЕЛЬ МАГИСТРАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Это пример анализа довольно сложной системы. Однако при её анализе удается остаться в рамках аналогового моделирования и получить аналитическое решение. Даже небольшое усложнение задачи приводит к необходимости численного уравнения уравнений и использования методов дискретного моделирования.

В этой модели рассматривается поведение потока автомобилей в условиях загруженности магистрали. В качестве стимула рассматривается поведение первого автомобиля (с индексом ноль). Он может трогаться, ускоряться, тормозить и совершать периодическое измерение своей скорости.

В качестве реакции рассматривается движение произвольного автомобиля в потоке машин (с индексом n). Особо интересен случай (наблюдаемый в реальной жизни), когда незначительные колебания скорости первого автомобиля усиливаются, передаваясь от одной машины к другой. В результате последующие автомобили то разгоняются, то полностью останавливаются.

Экспериментально установлено, что в условиях загруженной магистрали ускорение автомобиля , – скорость автомобиля; - скорость предшествующей машины; – константа, характеризующая реакцию водителя.

Обычно ; =0.8 – соответствует хорошей реакции, k=0.2 – плохой реакции. При этом необходимо не путать термины: реакция системы – (скорости последующих автомобилей ) и реакция водителя (характеризуемая коэффициентом )!

Задача 1. Ускорение потока автомобилей

Пусть в начальный момент все автомобили стояли . Первый автомобиль начал двигаться с ускорением .

Как будет меняться скорость других автомобилей? Какая в этой ситуации должна быть реакция водителей?

Решение. Рассмотрим автомобили, движущиеся по магистрали, как динамическую систему. Найдём скорость второго автомобиля .

или

Собственная реакция системы , вынужденную реакцию ищем в виде . Подставляя в уравнение, определим коэффициенты b и c, . Находим полную реакцию и определяем коэффициент A=a0/k.

Получаем , установившаяся реакция .

П оясним на примерах, что означает эта формула. Пусть м/. Если k=0.2 , м/с=18км/час. Скорость второго автомобиля во время разгона на 18 км/час меньше скорости первого.

Если k=0.8, м/с=4,5км/час.

Скорость второго автомобиля на 4,5 км/час меньше второго.

При k0 (очень плохая реакция) , В пределе автомобиль не тронется или тронется очень поздно.

При k (очень хорошая реакция) - автомобиль повторяет движение первого автомобиля.

Обычно k1 и даже при очень хорошей реакции водителя во время разгона скорость последующей машины меньше скорости предшествующей машины. Последующий автомобиль всегда позже трогается, и интервал между машинами нарастает (т.е. водители не специально трогаются позже, чтобы ехать с большим интервалом, а интервал получается больше вследствие задержки реакции).

Найдём установившуюся реакцию остальных автомобилей.

. Вынужденная реакция ,

Окончательно Vn =

Зависимости скоростей автомобилей приведены на графике (при этом учитывается, что ведущий автомобиль рано или поздно начнёт двигаться с постоянной скоростью), а последующий автомобиль во время разгона отстал от предыдущего

Положение автомобилей , а интервал .

Вывод 1. Желательно, чтобы водители имели быструю реакцию. Поток машин быстрее трогается и быстрее набирает скорость.

Вывод 2. Интервал между машинами возрастает, если скорость ведущей машины увеличивается. После того, как скорость первого автомобиля перестаёт меняться, интервал остаётся постоянным. Если первый автомобиль тормозит, интервал между машинами уменьшается.

Вывод 3. Интервал между машинами зависит от достигнутой скорости и реакции водителей.

Вывод 4. Не рекомендуется искусственно сокращать интервал на скорости (догонять, когда предыдущий автомобиль движется с постоянной скоростью), так как при торможении интервал сократится.

Задача 2. Колебания скорости автомобилей

Пусть скорость первого автомобиля периодически изменяется . Как будет меняться скорость n-го автомобиля? Будут ли повторяться колебания? Колебания будут возрастать или затухать? Какая должна быть реакция водителя?

Решение. Динамическое уравнение имеет вид . Найдём установившуюся реакцию системы, т.е. скорости автомобилей . Так как собственная реакция системы , то установившаяся реакция равна вынужденной реакции.

Если скорость первого автомобиля - , то соответствующее ему решение . Средняя скорость всех автомобилей равна .

Определим реакции на колебательное движение. Для этого удобнее перейти к комплексным переменным: пусть (без ).

Решение ищем в виде , А – амплитуда колебательного движения. Подставляя в уравнение, получим . Откуда

.

Решение найдено: .

Скорость n-го автомобиля

или ,

- амплитуда (размах колебаний),

- - фазовый сдвиг (задержка по времени).

Фазовый сдвиг даёт следующую информацию. При k (хорошая реакция) все автомобили синхронно повторяют колебания.

При k0 (плохая реакция) - каждый повторяет колебания предыдущего со сдвигом t=/2.

Рассмотрим амплитуду . Желательно, чтобы последующие автомобили не повторяли колебания первого автомобиля. Для этого необходимо, чтобы амплитуда затухала ( при n), т.е. . Так как , то ,

и колебания должны затухать, т.е. сглаживаться при любой реакции водителя (во всяком случае, колебания не возрастают).

При k, k, , т.е. при хорошей реакции все автомобили повторяют колебания одного, это плохо, т.к. ведет к повышенному расходу топлива и износу автомобиля.

При k0, k, , т.е. при плохой реакции колебания очень быстро затухают от машины к машине.

Вывод 1. В этой ситуации лучше плохая реакция водителя: колебания затухают быстрее.

Вывод 2. Чем больше частота колебаний, тем быстрее затухают колебания (водители не успевают реагировать).

Чем меньше частота, тем более вероятно, что последующие водители полностью повторят манёвр предыдущего автомобиля.

3. Усложнение задачи

Пусть связь между ускорением и скоростью предшествующей машины более реальная. Наряду с коэффициентом реакции k учтём время реакции Т (обычно Т=1). Чем лучше реакция лучше, тем больше k и меньше Т, и наоборот, при плохой реакции k мало, Т большое.

Но величина kT – не постоянная, а имеет сложную зависимость. В целом зависимость kT от реакции водителя носит сложный характер.

Зависимость ускорения автомобиля от его скорости и скорости предшествующей машины описывается более сложным уравнением:

, в частности: .

Задача. Решить предыдущую задачу, определить k и Т, при которых колебания первого автомобиля сглаживаются. Что будет, если характеристики водителей k и Т не будут удовлетворять требуемым условиям?

Решение. Найдем скорость автомобиля, следующего за машиной, совершающей колебания скорости. Динамическое уравнение , или .

Определим установившуюся реакцию. Пусть . Если , то , т.е. средняя скорость всех автомобилей будет равна средней скорости первого автомобиля.

Пусть . Решение ищем в виде :

; .

, где - фазовый сдвиг. Окончательно получаем:

.

Для n-го автомобиля:

Если , то , и размах колебания нарастает.

Если , то , и все машины повторяют колебания.

Если , то , и колебания затухают.

Чтобы колебания затухали всегда, необходимо, чтобы , или при всех .

Вспомогательный рисунок для решения неравенства:

Неравенство верно для всех только при , т.е. или . Если это условие не выполняется, то , и колебания нарастают. На практике часто наблюдается, что автомобили то стоят, то начинают двигаться с большой скоростью, а потом тормозят. Незначительные колебания, передаваясь от одной машины к другой, превращаются в колебания скорости с большой амплитудой.

Вывод 1. При (это соответствует хорошей, но не слишком нервной реакции) колебания затухают. При kT>0.5 амплитуда колебаний цепочки автомобилей может нарастать.

Вывод 2. Не надо сразу разгоняться, когда разгоняется автомобиль впереди. Надо «гасить» колебания и двигаться с постоянной скоростью.

7

Соседние файлы в предмете Аналоговое моделирование