Лекция 1

ЛЕКЦИЯ 1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И УРАВНЕНИЯ

1. Система – это нечто целое, но составленное из частей, где все составные части образуют некоторое единство, так что система воспринимается как целое, обладающее определенными свойствами.

2 . Стимулы и реакции:

x(t)- стимул, входной сигнал, y(t)- реакция системы, выходной сигнал.

3. Системы непрерывного и дискретного времени

1. Системы непрерывного времени: x(t) и y(t) – непрерывные функции.

2. Системы дискретного (прерывистого) времени: время дискретно, стимул и реакции описываются последовательностями x_n, y_n.

4. ЛИВ-системы

Система линейная: если реакция на стимул равна , а на равна , то реакцией на стимул будет .

Любая реальная система при учете всех факторов не линейна, но нелинейность обычно слаба, в технических устройствах предпочитают работать на линейном участке. Поэтому стараются свести систему к линейной или пренебречь нелинейностью. Например, зависимость выходного сигнала от сигнала на входе любого усилителя принципиально не линейная, есть пороговое напряжение, область насыщение и так далее. Но можно выбрать центр линейного участка, ввести «напряжения смещения», то есть перенести начало координат и получить характеристику близкую к линейной.

Нелинейная линейная

везде в центре

Система инвариантная во времени:

Если реакция на равна , то и реакция на будет равна , т.е. свойства системы не меняются со временем.

Реакция ЛИВ–систем полностью определяется тремя факторами:

1) свойствами самой системы,

2) видом (формой) стимулирующего воздействия ,

3) состоянием системы в момент начала воздействия (если анализировать реакцию с момента ).

5. Виды стимулов

Отсутствие стимулирующего воздействия может рассматриваться как нулевое воздействие . Реакция при нулевом воздействии называется собственной реакцией системы.

Даже в системе, где отсутствуют внутренние источники энергии, реакция при нулевом воздействии может быть не равна нулю.

Систему можно изучит достаточно полно, если проанализировать;

С тупенчатое воздействие

Гармоническое воздействие

Реакция на единичное гармоническое воздействие типа . Реакция системы при таком воздействии обычно устанавливается со временем к виду . Амплитуда и фаза выходного сигнала не зависят от времени, но зависят от частоты входного сигнала .

Зависимость – называется амплитудно-частотной зависимостью, - фазо-частотной зависимостью.

Экспоненциальное воздействие

Особое место в изучении поведения систем занимает анализ реакции системы на экспоненциальное воздействие x(t)=x₀e^pt.

После нахождения реакция на экспоненциальное воздействие будет охватывать следующие процессы.

При p = 0, – реакция на постоянное воздействие.

При p > 0, – реакция на возрастающее воздействие.

При p < 0, - реакция на убывающее воздействие.

При мнимом p (, ) – реакция на гармоническое воздействие. Действительно .

При комплексном (, )

.

При >0 мы получаем затухающие колебания.

При <0 колебания с нарастающей амплитудой.

Несмотря на использование комплексных переменных, суммарная величина действительная.

6. Активные и пассивные системы

Система, не содержащая источника энергии, называется пассивной.

Система, содержащая внутри себя источник энергии, называется активной

7. Устойчивые и неустойчивые системы

Четкого единообразия в определении устойчивости систем нет.

Устойчивая система

при малом входном воздействии – малая реакция: при ,

при конечном (ограниченном) входном воздействии реакция системы тоже конечна (ограничена) - y(t)<N.

Неустойчивая система

при малом и конечном воздействии, реакция может неограниченно возрастать. Например <

Устойчивые

Пассивные системыУстойчивые, Активные системы

Неустойчивые

Пассивные

Устойчивые системы Неустойчивые системыАктивные

Активные

При оценке устойчивости компьютерной модели под стимулами часто понимают вариации модельных параметров: временной шаг, пространственный шаг, число частиц, начальное состояние, последовательность случайных чисел.

8. Динамические уравнения

Системы, в которых стимулы и реакции связаны дифференциальными уравнениями, называются динамическими системами, а сами уравнения, связывающие реакцию и стимул, называются динамическими уравнениями.

ЛИВ-системам обычно соответствуют линейные уравнения с постоянными (не зависимыми от времени) коэффициентами:

Обычно для описания систем достаточно ограничиться производным не выше 2-го порядка .

9. Виды реакций

В большинстве случаев (при x(0)=0) реакцию системы удается представить в виде f(t) = РНВ = РНС.

Первый член – зависит от свойств системы и начальных условий и называется собственной реакцией, или РНВ – Реакцией при Нулевом Входе (т.е. реакцией при x(t)=0).

Второй член – зависит от свойств системы и вида входного сигнала и называется вынужденной реакцией, или РНС – Реакцией при Нулевом начальном Состоянии (т.е. реакцией при ).

При х(0)=0 и х'(0)=0 совпадение между собственной реакцией и РНВ, вынужденной реакцией и РНС полное, но если стимул в начальный момент отличен от нуля, то собственная реакция будет зависеть и от начального состояния стимула. Это проявляется при решении в том, что все коэффициенты определяются только после нахождения полной реакции.

10. Собственная реакция и собственные частоты системы

Для определения собственной реакции необходимо найти ОРОУ

.

Решение ищут в виде получаем характеристическое уравнение

.

Корни характеристического уравнения называются собственными частотами системы, или собственными модами системы: . Действительная часть  характеризует затухание в системе, мнимая часть  является частотой колебания в привычном понимании.

Возможны следующие собственные реакции (с точностью до постоянных коэффициентов): 1, e^t, te^t, e^tsint, e^tcost, sint, cost и т.д.,

Все многообразие возможных собственных реакций удобно изобразить на комплексной плоскости корней характеристического уравнения.

Таким образом, определив только собственную частоту (или хотя бы её знак) мы можем уже судить о собственной реакции системы.

Это особенно важно для качественного исследования системы, например для быстрого (предварительного) анализа или для случая, когда полный количественный анализ невозможен или затруднен.

11. Вынужденные реакции

Вынужденную реакцию можно найти в виде произвольного частного решения неоднородного уравнения (ЧРНУ) по виду правой части. Такое решение может не отвечать заданным начальным условиям.

Отметим:

1.Вынужденная реакция по виду совпадает со стимулом.

2.Корни вынужденной реакции можно наносить на комплексную область собственных частот.

3.При совпадении частоты внешнего воздействия с собственными частотами возможно явление резонанса, например, или .

12. Полные и установившиеся реакции системы

Для нахождения полной реакции системы необходимо сложить собственную и вынужденную реакции (ОРОУ и произвольное ЧРНУ, и определяя коэффициенты, найти ЧРНУ, удовлетворяющее начальным условиям).

Реакция может содержать члены в виде , которые определяют состояние системы лишь в начальный момент и со временем затухают. Для определения стационарного процесса ими можно пренебречь. Если в реакции не учитываются быстро затухающие члены, то реакция называется установившейся реакцией. Для устойчивых систем установившаяся реакция часто совпадает с вынужденной реакцией. Это сильно упрощает анализ систем - достаточно найти произвольное ЧРНУ по виду правой части.

5