компьютерное моделирование / Диск-мод / Пример 1

2

Дополнение к вопросу о численных методов.

Рассмотрим простой пример.

Пусть требуется провести моделирование системы, которая описывается дифференциальным уравнением

П араметр x(t)- это воздействие на систему. Его считаем известным. Требуется определить реакцию системы y(t). Для решения задачи необходимо также знать начальное условие y0.

Пусть x(t)=1,y=0. Для этого случая мы можем получить аналитическое решение, чтобы сравнить его с численным.

y’+y=1, y0=0. Решение y=1-e^-t.

^У

1

^t

Такое поведение характерно для многих процессов. Например, заряд конденсатора, включенного к источнику постоянного напряжения, наполнение резервуара, соединенного с другим ранее наполненным резервуаром и т.д.

Теперь решим эту задачу численно. Воспользуемся простым методом Эйлера вперед:

y ’_n+y_n=1 ,

Тогда y_n+1=t+(1-t)y_n.

Зная y0=0 нетрудно получить все значения y.

Рассмотрим поведение системы с различными значениями шага t.

t=0.5, yn+1=0.5+0.5yn.

yn=0;0.5;0.75  1 при n=0,1,2…

Результаты численного моделирования оказываются близки к реальному процессу.

t=1, yn=1,

yn=0,1,1…1 при n=0,1,2…

Модель очень грубо описывает поведение системы в начальный период, но дает правильное значение в установившемся состоянии.

t=1.5, yn=1.5-0.5yn.

yn=0,1,5,0,75…1 при n=0,1,2…

Также получаем правильное значение y в установившемся состоянии, но в решении появляются колебания, которых нет в реальном процессе.

t=2, yn=2 –yn,

yn=0,2,0,20…при n=0,1,2…

Это граница устойчивости модели.

t=3, yn=3 -2yn,

yn=0,3,-3,9… при n=0,1,2…

Модель оказывается неустойчивой, достаточно быстро наступает переполнение порядка. В то же время эти результаты не имеют никакого отношения к реальному процессу.

Вывод: необходимо уменьшить шаг моделирования (t<1).

Это приведет к увеличению машинного времени. Когда на каждом шаге решается большое число сложных дифференциальных уравнений увеличение времени счета может создать серьезную проблему.

Попробует сменить метод интегрирования. Воспользуемся неявным методом (Эйлера-назад).

yn’+yn=1.

У величим нумерацию на единицу

П усть t=3,

y 0=0,

yn=0,0.75,0.94… при n=0,1,2…

Система стала устойчивой при том же шаге t=3.

Теперь модель описывает процессы близко к реальной ситуации с достаточно грубым шагом.