Z преобразование и структурные схемы

Отметим, что Z- преобразование устраняет из схем накопитель и элемент единичной задержки, что упрощает анализ структурных схем.

Пусть Перейдем кZ-преобразованию

,

Структурная система приобретает вид ХY.

Пусть или. При переходеZ- преобразованию

получаем z(Y-y₀)=X, .

Структурная схема имеет вид Х Y.

Представление узла численного интегрирования в частотной области

Непрерывная система

Метод Эйлера-вперед

. Такой же результат можно было получить, если бы записали , нарисовали бы структурную схему и заменили накопитель или элемент единичной задержки на усилитель и сумматор.

Метод Эйлера-назад ,

_.

Метод трапеции

Метод парабол

Во всех случаях узел численного интегрирования представляется в виде

Х Y Для непрерывной системы для дискретной системы Н(z) зависит от метода.

Выводы

Разные методы могут привносить в систему свои плюса и нули, которые характеризуют метод, а не систему. Для определения правомерности перехода от непрерывной системы к дискретной можно записать для непрерывной системы Н(р), убедиться, что Re p0. Далее необходимо просто заменить р на z:

метод Эйлера вперед, метод трапеции,

метод Эйлера назад, метод парабол.

Мы сразу получим Н(z), после чего необходимо найти полюса и выбрать метод и шаг так, что бы все полюса  1.

Пример I

Рассмотрим пример: необходимо записать алгоритм для численного решения дифференциального уравнения y’+y=x

Потом проведем его проверку для x≡1, y₀=0. Так как решение уравнения можно найти аналитическиy=1-e^-t (причем y1 при t), то это позволит оценить ошибку численного решения.

Проверим, что даст рассмотренная методика.

полюс система устойчивая.

Проверим метод Эйлера вперед:

Небольшое отступление: прервемся и проверим правомерность такой замены. Пусть ,

Системная функция получилась такая же, как и путем заменыp на z . Вывод: такую замену p на z можно делать.

Теперь найдем полюса .

z^*-1+t=0, z^*=1-t. При z = z* = 1 - t системная функция

Для устойчивости необходимо  1. Найдем ∆t, z^*=(тогда не надо будет умножать на –1). Окончательно получаем -1(t-1)<1 , 0t 2, так как t0, получаем t  2. Если шаг t 2 решение устойчиво, иначе система становится неустойчивой.

Проведем дополнительные исследования. Так как в непрерывной областиIm (p)=0, то система не совершает собственных колебаний. Чтобы колебаний не было и в дискретном решении необходимо, чтобы полюс был действительным и больше нуля,  0, t  1. При  1 результаты численного решения должны быть близки к решению непрерывной задачи.

Следует отметить, что все выводы не зависят от проверочного примера так как для выводов мы это не использовали (стимул и начальные условия могут быть любыми).

Теперь проверим выводы на контрольном примере.

Мы использовали метод Эйлера вперед .

Полагая можно найтидля разных t по формуле y_n+1=y_n(1-t)+t.

Это можно сделать проще, так как уравнение имеет простое аналитическое решение

устойчивые решения, но при t>1 появ-

ляются колебания, которые отсутствуют

в строгом аналитическом решении,

-грань устойчивости,

- система превращается в неустойчивую.

Контрольный пример полностью подтвердил сделанные выводы.

Добавления:

1. Поясним аналитическое решение уравнения y_n+1 – (1-∆t)y_n =∆t.

ОРОУ: y_n+1 – (1-∆t)y_n =0, подставляем y_n = Azⁿ, находим z=(1-∆t), следовательно, y_n = A(1-∆t)ⁿ.

ЧРНУ: ,пробуем подставляем, получаем с=1, следовательно, y_n=1.

ОРНУ: (сумма ОРОУ и ЧРНУ).

ЧРНУ: так как находимокончательно, что мы и использовали при проверке.

_{2. Как отмечалось выше, аналитическое решение можно было и не проводить. Тогда используя формулу yn+1=yn(1-∆t)+ ∆t и y0=0 можно было получить значения для n=1,2…}

_{∆t = 0.5 yn+1=0.5+0.5 yn=0.5; 0.75…}

_{∆t = 1 yn+1=1, 1…}

_{∆t = 1.5 yn+1=1.5 - 1.5 yn=1.5; 0.75…}

_{∆t = 2 yn+1=2 - yn=2, 0, 2…}

_{∆t = 3 yn+1=3-4 yn=3, -3, 9, -9…}

_{т.е. получили бы то же самое.}