Системная функция

Пусть дискретная система описывается разностным уравнением:

_.

Перейдем с помощью Z-преобразования к алгебраическому уравнению

_,

_откуда

или гденачальные условия.

РНС (реакция при нулевом состоянии) - зависит от свойств системы и входного сигнала.

РНВ (реакция при нулевом входе) - зависит от свойств системы и начального состояния.

Системные функции изависят только от свойств системы, т.е. имеется полная аналогия с непрерывными системами.

Обычно под системной функцией понимают только – H(z) и считают, что Y=HX, так как РНВ для устойчивых систем затухает. Кроме того, знаменатели и, следовательно, полюса всех системных функций исовпадают. А именно полюса определяют основные свойства системы.

Функции H(z) и H_i(z) и будут отличаться только нулями. Нули - показывают виды входных сигналов, на которые система не реагирует, а нули- начальное условие, при которых собственная реакция будет равна нулю. (Например, условия, при которых система не будет выведена из положения равновесия).

_{Представим системную функцию в виде ,}

и- нули системной функции, при которыхН=0 ,

и- полюса системной функции, при которыхН.

Свойства полюсов и нулей похожи на свойства полюсов и нулей систем функции непрерывных процессов Н(р). Поэтому остановимся только на тех свойствах полюсов Н(z), которые отличаются от свойств полюсов Н(р).

Диаграмма полюсов и нулей системной функции

Разложим H(z) на простые слагаемые. Чтобы сразу получить выражение, от которых легко перейти к оригиналу представим Н(z) в следующем виде (разделив на z):

. Тогда ее разложение на простые слагаемые будет

если полюса кратные, то будут члены

Такому изображению соответствуют оригиналы:

если полюса кратные Вn(z^*)ⁿ_.

_{Последовательно сходятся при n→∞ , если |z}^*_|<1.

_{Аналогия с непрерывными процессами:}

системной функцией

соответствуют во временной области . ПриRe(p^*)>0, экспоненты стремятся к нулю при t→∞.

Таким образом, дискретная система устойчивая, если 1, то есть все полюса лежат внутри единичного круга. В этом основное отличие системной функции H(z) от системной функции L-преобразования Н(р), где для устойчивости было необходимо, что бы все полюса лежали в левой _{полуплоскости. Но различия кажущиеся. Переходя от координаты p=α+jω к координате z=e}^p_=e^α_e^jω _{, мы проводим конформное отображение области на другую плоскость.}

Приведенные диаграммы иллюстрирует преобразование областей.

Например: область ипереходит в область 0<z<1, область переходит в областьz>1.

При и различныхполучаем различные точки внутри единичного круга. Поэтому в отличие отL- преобразования в случае Z-преобразования говорят вместо «правее» - «дальше от центра», вместо «левее» - «ближе к центру».

В остальном свойство полюсов и нулей Н(z) и Н(р) совпадают.

Способ определения устойчивости при переходе от непрерывной системы к дискретной

1. Сформулировать задачу для непрерывной системы. С помощью L- преобразования найти полюса системной функции. Если все р^0, система устойчивая и её можно моделировать (для любого значения вплоть до t).

2. Записать алгоритм решения в дискретной форме (выбрав метод замены производных и временной шаг t).

3. С помощью Z - преобразования найти полюса системной функции, если все  1, метод и шаг t выбраны правильно.

4. Если 1, дискретная система не устойчива, реакция может бесконечно возрастать, причем полюса 1 характеризуют не саму систему, а выбранный метод. Полюса привнесены за счет перехода к дискретности.

5. Тогда необходимо, сменить шаг или использовать другой метод, иначе численное решение не будет соответствовать исходной системе. Потом, провести проверку заново.

Замечания

1. Если , то система может быть устойчива, а может быть неустойчива. Лучше добиваться, чтобы 1.

2. Существуют более простые способы проверки устойчивости дискретных систем, которые рассматриваются ниже.