Z – преобразование

Для ответа на возникшие вопросы: «Правомерность замены непрерывной системы на дискретную», «Какой метод адекватно описывает исходную систему?», «Какой допустимый шаг моделирования?» и другие может оказать помощь переход к Z–преобразованию.

Z–преобразование дискретный аналог L–преобразования (преобразования Лапласа)

Возможности и преимущества метода Z–преобразования:

1) позволяет сводить разностные уравнения к обычным алгебраическим уравнениям;

2) позволяет получать системную функцию, диаграмму полюсов и нулей и делать выводы относительно устойчивости системы;

3) позволяет определять правомерность замены непрерывной системы на дискретную путем сравнения системных функций L–преобразования и Z–преобразования.

Итак, перейдем к Z–преобразованию. По определению , где . Символ “→” означает “соответствует”, т.е. оригинал х_n соответствует изображению Х(z).

Напомним, L–преобразование: , где .

При переходе к дискретному преобразованию интеграл заменяется суммой, а вместо используется , т.е..

Свойства z–преобразования

1. Линейность: если , , то .

2. Геометрическая прогрессия:

.

Доказательство: Известно, что сумма членов геометрической прогрессии , следовательно(b₁=A, q=az^-1).

3. Константа (частный случай геометрической прогрессии при а=1)

4. Умножение на n. Если , то . Доказательство:

1) пусть , по определению Z–преобразования ,

2) с другой стороны .

Следствия:

, арифметическая прогрессия , Отметим аналогии сL–преобразованием :,, , .

Замечание. Коэффициент перед z определяет поведение последовательности:

,

При 1 последовательность расходится, при 1 сходится и стремится к нулю при n. При  0 последовательность без изменения знака, при  1 – знакопеременная, например, .

Если а комплексная , то=- периодическая или более сложная последовательность.

5. Умножение на а ⁿ. Если то.

6. Теорема задержки.

Если то, где,m=n-k

7. Символ Кронекера (аналог Дельта-функции)

_n =,_n-k =

Если , тоZ = 1; если , то

8. Формулы сведения разностных уравнений к алгебраическим.

Пусть тогда .

Доказательство: по определению , с другой стороны

Другие формулы (без доказательств):

, .

Отметим, что все формулы похожи на формулы преобразования Лапласа.

Пример: Банковская задача: ,y₀ =50000.

Используем для решения Z-преобразование:

.

После перехода к Z–преобразованию получаем алгебраическое уравнение

Выразим в явном виде Y(z):

_{С помощью выше приведенных формул можно перейти от изображения к оригиналу, т.е. к последовательности:}

_.

Далее из условия Y₃₆₀=0 получаем откуда легко определяетсях.

Замечания

Считается, что разностные уравнения описывают процессы в дискретной временной области дискретное время.

Считается, что с помощью преобразования (как и с помощьюL-преобразования) мы переходим в частотную область (в общем случае комплексную).

В случае непрерывного времени было , что соответствовало во временной областиВ случае дискретного времени _{соответствует во временной области .}

Таким образом, R (как и в непрерывной области) характеризует затухание, т.е. устойчивость или неустойчивость системы, а(как ив непрерывной области) характеризует периодичность процесса. Т.е.Rⁿ можно рассматривать как амплитуду, а nφ как частоту дискретного процесса.